例析對“投影向量”與“數量投影”的理解與應用-2024年高考數學復習（上海專用）

【原卷版】例析對“投影向量”與“數量投影”的理解與應用

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確了“向量的投影是從高維空間到低維子空間的一種線性變換”,

將平面向量投影的結果由“數量”變?yōu)椤跋蛄俊?，并引入了“投影向量”的概念；滬教?020數學必修第二冊新

增了“821向量的投影“，就：投影向量（簡稱為投影）與數量投影進行了詳解與比較；

一、對投影向量與數量投影的理解

1、投影向量的定義”8

如圖：如果向量A5的起點A和終點3在直線/上的投影分別為A和8,A（

那么向量彳萬叫做向量通在直線/上的投影向量（簡稱為：投影）；；」I

A'B'

理解：一個向量B在一個非零向量Z的方向的投影，就是向量B在向量Z的任意一條所在直線上的投影，因

為這些直線都是平行的，所以，向量B在一個非零向量3的方向的投影是唯一確定的;

特殊地，如圖，若兩個向量共起點。；

即：OA=a,OB=b,過點3作直線Q4的垂線，垂足為3’,

則而就是向量B在向量￡上的投影向量；

2、投影向量的計算公式

以一點。為起點，；

作：OA=a,OB=b,把射線Q4、08的夾角稱為向量￡、向量B的夾角，記作：＜%石＞；

<a,b>e[0,7r]；

/<a,b>e\0,—

0BA

BA

—>—*](_?_.,,

<a,b>=—,又稱向量垂直，記作Q_L/?；

2

O(B>A

B,

71

<a,b>E5'"

B

(1)0(5')(2)

當＜Z,B＞為銳角（如圖（1））時，。5’與Zo方向相同,

|b|cos<a.b>-

2=|OB|=|b|cos<a.b>,所以OB=|b\cos<a,b>ao-----------------a；

|。|

當＜Z,B＞為直角（如圖（2））時，2=0,所以礪=6；

當＜Z,B＞為鈍角（如圖（3））時，而與方向相反,

所以4=一|05|=-1|cosBOB=-1|cos(^--<a.b>)=\b\cos<a.b>

rri17I一7一Ib|cos<ab>-*

所以H06=|b|cos<a,b>ao=--------=；-------a；

|o|

當＜Z,B＞=o時，2=i^l,所以礪=|引￡。=口￡；

\a\

00

當<a,B>=?時，A,=—\b\,所以05=|B|cosJia。J"s冗a；

綜上可知，對于任意的＜。，石＞￡[0,"],都有OB=1B于os＜〃，B＞〃0J"c°s："，〃＞〃

|o|

3、數量投影的定義與求法

〃A

1

-為向量。的單位向量，那么

.h

向量B在向量a方向上的向量投影為：|B|cos<W,B>萬J>Icos：a,」>￡；

\a\

其中，實數囪cos<2,石〉(*)稱為向量B在向量￡方向上的數量投影；

理解：⑴當時；實數曲cos<￡,B〉(*)大于0；

(2)當<a,b>=—時；實數網cos<a,B>(*)等于0；

2

(3)當<4,B時；實數的cosva,B>(*)小于0；

特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應的數量投影的絕對值是該投影的模，因此,

這個數量投影等于0；

工典題例折

投影向量與數量投影相關題型例析

題型1、直接求投影向量與數量投影

求投影向量時，根據定義由投影向量與投影所在的向量共線，問題轉化為利用該向量的數量投影與投

影所在向量方向上單位向量的積；特別注意：投影向量與數量投影的本質區(qū)別與聯(lián)系；

例1、已知|a|=6,"為單位向量，當向量工的夾角<a,5〉分別等于(1)45。；(2)90°；(3)135°

時，求向量［在向量工上的投影向量；

【說明】本題考有了向量的投影的概念與運算，重點考直了運算能力；由投影向量與投影向量所在的向量

共線，問題轉化為求向量間的數量投影與投影所在向量方向上單位向量的積；

例2、在AABC中，已知|通|=5,|反。=4,|正|=3,求:

⑴ABBC^

(2)就在Z百方向上的投影向量;

(3)不目在前方向上的數量投影;

【說明】掌握投影向量與數量投影的概念與計算公式，是正確解答本題的基礎；

題型2、已知投影向量與數量投影求與向量相關

已知投影向量求解向量的模、數量積等；

例3、已知向量a=(2,0),I=sina,,若向量B在向量￡上的投影向量c=[g,o],則|a+1|=()

A.百B.77C.3D.7

【說明】本題考查向量投影的應用，考查分析理解的能力；

一一5-

例4、已知|a|=5,g|=4,與B同向的單位向量為e，若￡在石上的投影向量為-§e，則之與B的夾角6=

()

A.60°B.120°C.135°D.150°

【說明】本題考直向量的投影，此類問題熟記公式是關鍵；

題型3、已知投影向量與數量投影求參數

根據已知投影向量與數量投影及其相關表示與計算方法，構建等式或不等式求相關待定的參數；

例5、已知向量Z=(—4,3),點B(2,-1),記彳萬為通在向量￡上的投影向量，若45'=京，

則2=.

例6、對任意平面向量荏=(x,y),將荏繞其起點A沿逆時針方向旋轉。角后得到

向量AQ=(xcos"-ysin(p,xsincp+ycos。)，叫做把點3繞點A沿逆時針方向旋轉夕角得到點Q,

已知平面內兩點A(l,2),3(l+四，2—20)；

(1)若將點3繞點A沿逆時針方向旋轉乙后得到點尸，求點P的坐標；

4

(2)已知向量〃二(0,2),向量方是向量AQ在向量〃方向上的投影向量，若對于任意的0,-,不

等式|B|2+cos2。一加＞0恒成立，求實數加的取值范圍.

題型4、投影向量與數量投影與其他知識的交匯

注意向量的表示多樣性，構建與轉化與其他知識的交匯與綜合;

___.AZ?1

例7、已知非零向量薪與前滿足?3C=0,且鳥=則向量而在向量而

\AB\|AC|2

上的投影向量為（）

3-.3―?

A.-CBB.-CBC.——CBD.

222

【說明】本題整合了投影向量的概念與計算和平面幾何性質的交匯；

例8、如圖，設Ox,是平面內相交成。角的兩條數軸，/分別是與x軸、＞軸同方向的單位向量.若

向量而=E+,則把有序數對（蒼y）叫做而在斜坐標系中的坐標；

（1）若。=5，2=（1,1）3=（3,1）,求：B在G上的投影向量斜坐標.

(2)若Z=(l,l),b=(3,1),c=(2,-l),\c\<y/2,求cos?<a,I>的最小值.

【說明】關鍵點睛：利用平面向量數量積的運算性質，結合分式型函數的單調性是解題的關犍;

綜上，現(xiàn)行高中數學新教材強化平面向量投影的學習，體現(xiàn)了數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的

一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，有利于學生構建銜接自然、渾然一體的的高中數學知識體系；

臉|鞏固練習

1、己知|引=8,75=24,則向量7在向量B上的投影向