高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步章 末檢測（B）蘇教版必修2

第1章立體幾何初步(B)(時間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．等邊三角形的邊長為a，它繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________．2．若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________．3．如圖，是一個正方體的展開圖，在原正方體中，相對的面分別是________．4．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△AOB的面積是________．5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于________．6．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是BB1、BC的中點．則圖中陰影部分在平面ADD1A7．對于平面α和共面的直線m、n，下列命題中真命題是________(填序號)．①若m⊥α，m⊥n，則n∥α；②若m∥α，n∥α，則m∥n；③若m?α，n∥α，則m∥n；④若m、n與α所成的角相等，則m∥n．8．給出以下四個命題①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．其中真命題為________(填序號)．9．設α、β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是________．(填序號)①若l⊥α，α⊥β，則l?β；②若l∥α，α∥β，則l?β；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β．10．如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D11．設α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直線AB與CD交于O，若AO＝8，BO＝9，CD＝34，則CO＝________．12．空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．①若AC＝BD，則四邊形EFGH是______；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH是______．13．在邊長為a的等邊三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝eq\f(1,2)a，這時二面角B－AD－C的大小為________．14．如圖，四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點，當點E滿足條件：________時，SC∥平面EBD．二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，且滿足eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2．(1)求證：四邊形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位線的長．16．(14分)某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥面AGC；②證明：面PBD⊥面AGC．17．(14分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點．(1)若CD∥平面PBO，試指出點O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD．18．(16分)如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來一個扇形環(huán)ABCD，作圓臺形容器的側面，并且余下的扇形OCD內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺形容器的下底面(大底面)．試求：(1)AD應取多長？(2)容器的容積．19．(16分)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．(1)求證：OD∥平面PAB；(2)求直線OD與平面PBC所成角的正弦值．20．(16分)如圖(1)，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G、H分別為線段PC、PD、BC、CD的中點，現(xiàn)將△PDC沿DC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(圖(2))．(1)求證：AP∥平面EFG；(2)求證：AH⊥GF；(3)求四棱錐P－ABCD的外接球的表面積．第1章立體幾何初步(B)答案1．eq\f(1,4)πa3解析如圖，正三角形ABC中，AB＝a，高AD＝eq\f(\r(3),2)a，∴V＝eq\f(1,3)πAD2·CB＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2·a＝eq\f(1,4)πa3．2．27π解析若正方體的頂點都在同一球面上，則球的直徑d等于正方體的體對角線的長．∵棱長為3，∴d＝eq\r(3·32)＝3eq\r(3)?R＝eq\f(3\r(3),2)．∴S＝4πR2＝27π．3．①與④，②與⑥，③與⑤解析將展開圖還原為正方體，可得①與④相對，②與⑥相對，③與⑤相對．4．12解析△OAB為直角三角形，兩直角邊分別為4和6，S＝12．5．4解析由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4．6．①7．③解析關鍵在于“共面的直線m、n”，且直線m，n沒有公共點，故一定平行．8．①②④9．③解析當l⊥α，α⊥β時不一定有l(wèi)?β，還有可能l∥β，故①不對，當l∥α，α∥β時，l?β或l∥β，故②不對，若α∥β，α內(nèi)必有兩條相交直線m，n與平面β內(nèi)的兩條相交直線m′，n′平行，又l⊥α，則l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正確，若l∥α，α⊥β，則l與β相交或l∥β或l?β，故④不對．10．eq\f(\r(10),5)解析如圖所示，在平面A1B1C1D1內(nèi)過點C1作B1D1eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(C1E⊥B1D1,C1E⊥BB1))?C1E⊥平面BDD1B1．∴∠C1BE的正弦值就是所求值．∵BC1＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，C1E＝eq\f(2×2,2\r(2))＝eq\r(2)．∴sin∠C1BE＝eq\f(C1E,BC1)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．11．16或272解析當AB與CD的交點O在兩平面之間時CO＝16；當AB與CD的交點O在兩平面之外時，CO＝272．12．菱形矩形13．60°解析如圖所示可知，∠CDB為二面角B－AD－C的平面角，由CD＝BD＝BC＝eq\f(1,2)a，可知∠CDB＝60°．14．E是SA的中點解析連結AC交BD于O，則O為AC中點，∴EO∥SCEO?面EBD，SC?面EBD，∴SC∥面EBD．15．解(1)因為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD，且EH＝eq\f(1,3)BD．因為eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)＝2，所以FG∥BD，且FG＝eq\f(2,3)BD．因而EH∥FG，且EH＝eq\f(1,2)FG，故四邊形EFGH是梯形．(2)因為BD＝a，所以EH＝eq\f(1,3)a，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)a，所以梯形EFGH的中位線的長為eq\f(1,2)(EH＋FG)＝eq\f(1,2)a．16．(1)解該幾何體的直觀圖如圖所示(2)①證明連結AC，BD交于點O，連結OG，因為G為PB的中點，O為BD的中點，所以OG∥PD．又OG?面AGC，PD?面AGC，所以PD∥面AGC．②證明連結PO，由三視圖，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．因為AO?面AGC，所以面PBD⊥面AGC．17．(1)解∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形．則BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點O是靠近點D的線段AD的一個三等分點．(2)證明∵側面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．18．解(1)設圓臺上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x，則OD＝72－x，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πR＝\f(60·π,180)×72,72－x＝3R))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝12,x＝36))．即AD應取36cm(2)∵2πr＝eq\f(π,3)·OD＝eq\f(π,3)·36，∴r＝6cm，圓臺的高h＝eq\r(x2－R－r2)＝eq\r(362－12－62)＝6eq\r(35)．∴V＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π·6eq\r(35)·(122＋12×6＋62)＝504eq\r(35)π(cm3)．19．(1)證明如圖，∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD∥PA．又PA?平面PAB，OD?平面PAB，∴OD∥平面PAB．(2)解∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC．又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC．取BC的中點E，連結PE，OE，則BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，連結DF，則OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．設AB＝BC＝a，則PA＝PB＝PC＝2a，OA＝OB＝OC＝eq\f(\r(2),2)a，PO＝eq\f(\r(14),2)a．在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，∴PE＝eq\f(\r(15),2)a．∴OF＝eq\f(\r(210),30)a．又∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD＝eq\f(PA,2)＝a．在Rt△ODF中，sin∠ODF＝eq\f(OF,OD)＝eq\f(\r(210),30)．∴OD與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(210),30)．20．(1)證明取AD的中點M，連結FM、GM．∵EF∥CD，GM∥CD，∴EF∥GM．∴EF、G