高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示示范教案 新人教A版必修4

高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示示范教案新人教A版必修4授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示。這部分內(nèi)容涉及到平面向量的線性運(yùn)算，包括向量的加法、減法、數(shù)乘以及向量坐標(biāo)的定義和運(yùn)算規(guī)則。具體內(nèi)容包括：

1.平面向量的基本定理：兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)成比例。

2.平面向量的坐標(biāo)表示：向量可以用有序數(shù)對(duì)表示，即向量的坐標(biāo)。

3.向量的線性運(yùn)算：向量的加法、減法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示和運(yùn)算規(guī)則。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：

1.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了初中數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)，對(duì)向量的概念和基本運(yùn)算有一定的了解。

2.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系和坐標(biāo)運(yùn)算，能夠理解和運(yùn)用坐標(biāo)表示向量。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示，學(xué)生能夠理解向量的抽象概念，并能夠運(yùn)用邏輯推理能力進(jìn)行向量的線性運(yùn)算。同時(shí)，學(xué)生能夠通過(guò)建立向量坐標(biāo)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模能力解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的思考方式，提高邏輯推理能力，并能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。學(xué)情分析考慮到本節(jié)課的對(duì)象是高中生，他們已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，包括初中數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)以及高中數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系和坐標(biāo)運(yùn)算。在學(xué)習(xí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示時(shí)，學(xué)生需要能夠?qū)⒁延械闹R(shí)與新的內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系和整合。

學(xué)生在知識(shí)方面，對(duì)于向量的概念和基本運(yùn)算應(yīng)該已經(jīng)有所了解，但可能對(duì)于向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算的規(guī)則不夠熟悉。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要幫助學(xué)生鞏固和擴(kuò)展已有的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將向量的抽象概念與坐標(biāo)運(yùn)算具體化，建立起向量坐標(biāo)模型的認(rèn)知。

在能力方面，學(xué)生需要具備一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示，學(xué)生能夠培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的思考方式，提高邏輯推理能力。同時(shí)，學(xué)生需要能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問(wèn)題，這要求學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的向量知識(shí)應(yīng)用到具體的情境中，建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行運(yùn)算和分析。

在素質(zhì)方面，學(xué)生應(yīng)該具備良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。對(duì)于本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要認(rèn)真聽(tīng)講、積極參與課堂討論，并能夠主動(dòng)進(jìn)行練習(xí)和思考。同時(shí)，學(xué)生應(yīng)該具備一定的自主學(xué)習(xí)能力，能夠通過(guò)自學(xué)和合作學(xué)習(xí)的方式，補(bǔ)充和完善自己的知識(shí)體系。

學(xué)生的行為習(xí)慣對(duì)于課程學(xué)習(xí)有著重要影響。如果學(xué)生能夠按時(shí)完成作業(yè)，認(rèn)真復(fù)習(xí)課堂內(nèi)容，及時(shí)解決自己的疑問(wèn)，那么他們的學(xué)習(xí)效果會(huì)更好。同時(shí)，學(xué)生在課堂上應(yīng)該保持專注和積極，與老師和同學(xué)進(jìn)行有效的互動(dòng)，這將有助于他們的理解和掌握。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：通過(guò)教師的講解，向?qū)W生傳授平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示的相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生理解向量的抽象概念和線性運(yùn)算的規(guī)則。

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生分享彼此對(duì)于向量坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算的理解，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和思維碰撞，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

（3）實(shí)踐操作法：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，例如填寫(xiě)坐標(biāo)表、繪制向量圖等，將所學(xué)的向量知識(shí)付諸實(shí)踐，加深學(xué)生對(duì)于向量概念和運(yùn)算規(guī)則的理解和記憶。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：利用多媒體課件和教學(xué)視頻，生動(dòng)形象地展示向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算的過(guò)程，幫助學(xué)生直觀地理解平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示。

（2）教學(xué)軟件：運(yùn)用教學(xué)軟件進(jìn)行課堂互動(dòng)，例如進(jìn)行向量運(yùn)算的實(shí)時(shí)演示，讓學(xué)生參與到課堂活動(dòng)中來(lái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

（3）在線學(xué)習(xí)平臺(tái)：引導(dǎo)學(xué)生利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)進(jìn)行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)和自主學(xué)習(xí)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源和練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和擴(kuò)展所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)：5分鐘）

教師通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題情境，例如在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)點(diǎn)A(2,3)和B(5,7)，求從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量AB。讓學(xué)生思考如何表示這個(gè)向量，引發(fā)學(xué)生對(duì)向量坐標(biāo)表示的興趣。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已知的向量加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)則，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

2.新課講授（用時(shí)：15分鐘）

（1）教師首先介紹平面向量的基本定理，即兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)成比例。舉例說(shuō)明，如果有兩個(gè)向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，則當(dāng)且僅當(dāng)存在非零實(shí)數(shù)k，使得a1=k*b1且a2=k*b2時(shí)，向量a和向量b相等。

（2）接著，教師講解平面向量的坐標(biāo)表示。明確向量可以用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示，其中x和y分別是向量在x軸和y軸上的投影。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)表示的引入是為了方便向量的運(yùn)算和應(yīng)用。

（3）最后，教師介紹向量的線性運(yùn)算。具體講解向量的加法、減法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示和運(yùn)算規(guī)則。例如，向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)的加法運(yùn)算表示為a+b=(a1+b1,a2+b2)，減法運(yùn)算表示為a-b=(a1-b1,a2-b2)，數(shù)乘運(yùn)算表示為ka=(ka1,ka2)，其中k是非零實(shí)數(shù)。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)：10分鐘）

（1）教師給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算題目，讓學(xué)生在紙上進(jìn)行計(jì)算。例如，計(jì)算向量a=(2,3)和向量b=(-1,2)的和、差和數(shù)乘。

（2）學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生的疑問(wèn)。

（3）教師選取部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行講解和點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)向量運(yùn)算的關(guān)鍵步驟和注意事項(xiàng)。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)：10分鐘）

（1）教師提出一個(gè)問(wèn)題：如何判斷兩個(gè)向量是否平行？讓學(xué)生進(jìn)行小組討論。

（2）學(xué)生通過(guò)討論和思考，得出判斷兩個(gè)向量平行的條件是它們的坐標(biāo)成比例，即存在非零實(shí)數(shù)k，使得一個(gè)向量的坐標(biāo)是另一個(gè)向量坐標(biāo)的k倍。

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判斷兩個(gè)向量平行的方法，并強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)：5分鐘）

教師對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)要回顧，強(qiáng)調(diào)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示的重要性。同時(shí)，教師提醒學(xué)生要加強(qiáng)對(duì)向量運(yùn)算規(guī)則的記憶和理解，并能夠熟練運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。

整個(gè)教學(xué)流程共計(jì)用時(shí)45分鐘。知識(shí)點(diǎn)梳理1.平面向量的基本定理：兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)成比例。具體來(lái)說(shuō)，如果有兩個(gè)向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，則當(dāng)且僅當(dāng)存在非零實(shí)數(shù)k，使得a1=k*b1且a2=k*b2時(shí)，向量a和向量b相等。

2.平面向量的坐標(biāo)表示：向量可以用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示，其中x和y分別是向量在x軸和y軸上的投影。這種表示方法有助于簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算和應(yīng)用。

3.向量的線性運(yùn)算：

-向量加法：兩個(gè)向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的和表示為a+b=(a1+b1,a2+b2)。

-向量減法：兩個(gè)向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的差表示為a-b=(a1-b1,a2-b2)。

-數(shù)乘運(yùn)算：向量a=(a1,a2)與非零實(shí)數(shù)k的乘積表示為ka=(ka1,ka2)，其中k是非零實(shí)數(shù)。

4.向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則：

-交換律：向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算中，向量的坐標(biāo)交換位置后，運(yùn)算結(jié)果不變。

-結(jié)合律：向量的加法和減法運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的向量坐標(biāo)分別相加或相減，不影響最終結(jié)果。

-分配律：向量的數(shù)乘運(yùn)算中，數(shù)與向量的坐標(biāo)分別相乘，不影響最終結(jié)果。

5.向量平行的條件：兩個(gè)向量平行當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)成比例，即存在非零實(shí)數(shù)k，使得一個(gè)向量的坐標(biāo)是另一個(gè)向量坐標(biāo)的k倍。

6.向量垂直的條件：兩個(gè)向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的點(diǎn)積為零，即a·b=a1*b1+a2*b2=0。這是向量垂直的充分必要條件。

7.向量的模長(zhǎng)：向量a=(a1,a2)的模長(zhǎng)表示為|a|=sqrt(a1^2+a2^2)，即向量的坐標(biāo)的平方和的平方根。模長(zhǎng)表示向量的大小，是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。

8.向量的方向：向量a=(a1,a2)的方向可以用反正切函數(shù)arctan(a2/a1)來(lái)表示，其中a1和a2不同時(shí)為零。這個(gè)角度是向量與x軸正方向的夾角。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)1.課堂小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們了解到兩個(gè)向量相等的條件是它們的坐標(biāo)成比例，向量可以用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示，向量的線性運(yùn)算包括向量加法、減法和數(shù)乘，以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則、向量平行的條件、向量垂直的條件、向量的模長(zhǎng)和方向等知識(shí)點(diǎn)。

2.當(dāng)堂檢測(cè)

（1）判斷題：

1.兩個(gè)向量相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)成比例。（）

2.向量的坐標(biāo)表示是為了方便向量的運(yùn)算和應(yīng)用。（）

3.向量加法的坐標(biāo)表示是a+b=(a1+b1,a2+b2)。（）

4.向量的模長(zhǎng)是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。（）

（2）選擇題：

1.向量a=(2,3)和向量b=(-1,2)的和是（）。

A.(1,1)B.(1,5)C.(-1,1)D.(-1,-1)

2.向量a=(1,1)的模長(zhǎng)是（）。

A.1B.sqrt(2)C.2D.3

（3）填空題：

1.向量a=(a1,a2)與向量b=(b1,b2)平行，當(dāng)且僅當(dāng)______。（填空）

2.向量a=(a1,a2)與向量b=(b1,b2)垂直，當(dāng)且僅當(dāng)______。（填空）

（4）計(jì)算題：

1.計(jì)算向量a=(2,3)與向量b=(-1,2)的點(diǎn)積。（計(jì)算）

2.計(jì)算向量a=(1,1)與向量b=(2,2)的和。（計(jì)算）

3.計(jì)算向量a=(3,4)的模長(zhǎng)。（計(jì)算）板書(shū)設(shè)計(jì)①平面向量的基本定理

-兩個(gè)向量相等：a1=k*b1且a2=k*b2

-向量坐標(biāo)表示：向量=（x，y）

-向量加法：a+b=(a1+b1,a2+b2)

-向量減法：a-b=(a1-b1,a2-b2)

-數(shù)乘運(yùn)算：ka=(ka1,ka2)

②向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則

-交換律：加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算中，向量的坐標(biāo)交換位置后，運(yùn)算結(jié)果不變

-結(jié)合律：加法、減法運(yùn)算中，括號(hào)內(nèi)的向量坐標(biāo)分別相加或相減，不影響最終結(jié)果

-分配律：數(shù)乘運(yùn)算中，數(shù)與向量的坐標(biāo)分別相乘，不影響最終結(jié)果

③判斷兩個(gè)向量是否平行和垂直

-平行：坐標(biāo)成比例

-垂直：點(diǎn)積為零（a·b=a1*b1+a2*b2=0）

④向量的模長(zhǎng)和方向

-模長(zhǎng)：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)

-方向：arctan(a2/a1)（a1和a2不同時(shí)為零）

2.藝術(shù)性和趣味性

-使用圖形、符號(hào)和色彩，使板書(shū)設(shè)計(jì)更具視覺(jué)吸引力

-通過(guò)有趣的例子和實(shí)際問(wèn)題，將向量知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

-設(shè)計(jì)一些互動(dòng)環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生參與板書(shū)設(shè)計(jì)，增加課堂參與度和趣味性教學(xué)反思首先，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力的關(guān)鍵。在導(dǎo)入新課時(shí)，我通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境引出向量的坐標(biāo)表示，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)過(guò)程中，我通過(guò)生動(dòng)形象的多媒體課件和教學(xué)視頻，幫助學(xué)生直觀地理解平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示。此外，我還設(shè)計(jì)了一些互動(dòng)環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生參與板書(shū)設(shè)計(jì)，增加課堂參與度和趣味性。

其次，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力對(duì)學(xué)習(xí)效果有重要影響。在教學(xué)過(guò)程中，我引導(dǎo)學(xué)生利用在線學(xué)習(xí)平臺(tái)進(jìn)行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)和自主學(xué)習(xí)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源和練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和擴(kuò)展所學(xué)的知識(shí)。同時(shí)，我鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上積