5.1豐富的圖形世界七年級數(shù)學(xué)上冊講義（蘇科版）

豐富的圖形世界知識點一、常見的幾何體PS：長方體和正方體都屬于棱柱，正方體的各條棱長均相等，各個面都是正方形.例：將圖中的幾何體進(jìn)行分類，并說明理由．【解答】見解析【解析】若按構(gòu)成劃分：(1)(2)(6)(7)是一類，組成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一類，組成它的面至少有一個是曲面．若按形狀劃分：(1)(2)(4)(7)是一類，是柱體；(5)(6)是一類，即錐體；(3)是球體．知識點二、幾何圖形1. 幾何圖形的定義：把從實物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形，幾何圖形由點、線、面組成. 其中，面有平面，也有曲面；線有直線，也有曲線.面與面相交得到線，線與線相交得到點. 幾何圖形是從實物中抽象得到的，只注重物體的形狀、大小、位置，而不注重它的其它屬性，如重量，顏色等.所以點無大小，線無寬窄，面無厚薄.2. 幾何圖形的分類：幾何圖形包括立體圖形和平面圖形.（1）立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體，圓柱，圓錐，球等.（2）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形．例：如圖所示，請說出它有幾個面，分別是什么樣的面，面和面相交的地方形成了幾條線，線和線相交的地方有幾個點.【解答】見解析【解析】是一個長方體，共有6個面，這些面都是平面，面和面相交成12條線，線和線相交成8個點.知識點三、柱體和椎體的特征棱柱與棱錐，如圖所示：1. 在棱柱、棱錐中，任何相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱；2. 棱柱的棱與棱的交點叫做棱柱的頂點；3. 棱錐的各側(cè)棱的公共點叫做棱錐的頂點；4. 棱柱的側(cè)棱長相等，棱柱的上、下底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面都是長方形；5. 棱錐的側(cè)面都是三角形；6. 若棱柱的底面是n邊形，則它的側(cè)棱有n條，所有棱有3n條，頂點有2n個，面有（n+2）個（n個側(cè)面，2個底面）；7. 若棱錐的底面是n邊形，則它的側(cè)棱有n條，所有棱有2n條，面有（n＋1）個（n個側(cè)面，1個底面）. 圓柱與圓錐，如圖所示：1. 圓柱：由兩個底面和一個側(cè)面組成，兩個底面是平面，側(cè)面是曲面；2. 圓錐：由一個底面和一個側(cè)面組成，底面是平面，側(cè)面是曲面，有一個頂點.例：如圖，一個正五棱柱的底面邊長為2cm，高為4cm．（1）這個棱柱共有多少個面？計算它的側(cè)面積；（2）這個棱柱共有多少個頂點？有多少條棱？（3）試用含有n的代數(shù)式表示n棱柱的頂點數(shù)、面數(shù)與棱的條數(shù)．【解答】（1）7個面，40cm2；（2）頂點共10個，棱共有15條；（3）n棱柱的頂點數(shù)2n；面數(shù)n+2；棱的條數(shù)3n【解析】（1）側(cè)面有5個，底面有2個，共有5+2=7個面；側(cè)面積：2×5×4=40（cm2）；（2）頂點共10個，棱共有15條；（3）n棱柱的頂點數(shù)2n；面數(shù)n+2；棱的條數(shù)3n．鞏固練習(xí)一．選擇題1．如圖，將矩形紙片ABCD繞邊CD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A． B． C． D．【分析】將矩形紙片ABCD繞邊CD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立體圖形是圓體．【解答】解：根據(jù)“點動成線，線動成面，面動成體”，將矩形紙片ABCD繞邊CD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到的立體圖形是圓柱．故選：A．【點評】本題考查生活中的立體圖形，理解“點動成線，線動成面，面動成體”，是正確判斷的前提．2．①～④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【分析】根據(jù)組合后的幾何體是長方體且由6個小正方體構(gòu)成直接判斷即可．【解答】解：由題意知，組合后的幾何體是長方體且由6個小正方體構(gòu)成，∴①④符合要求，故選：D．【點評】本題主要考查立體圖形的拼搭，根據(jù)組合后的幾何體形狀做出判斷是解題的關(guān)鍵．3．相同規(guī)格（長為14，寬為8）的長方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制作成底面為正方形的長方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，所得長方體體積分別記為：V甲和V乙．下列說法正確的是（）A．V甲＞V乙 B．V甲＝V乙 C．V甲＜V乙 D．無法判斷【分析】觀察圖形，分別利用一元一次方程組求出底面正方形的邊長和長方體的高，求出體積，比較大小即可得出答案．【解答】解：設(shè)甲方案中長方體箱子的正方形底面的邊長為a，長方體的高為b，則：4a=解得：a=2∴V甲＝2×2×10＝40，設(shè)乙方案中長方體箱子的正方形底面的邊長為m，長方體的高為7m，則，解得，則，∴V乙＝6×6×1＝36，∵40＞36，∴V甲＞V乙，故選：A．【點評】本題考查了認(rèn)識立體圖形，考查空間想象能力，求出底面正方形的邊長和長方體的高是解題的關(guān)鍵．4．有一種用于海水養(yǎng)殖的網(wǎng)箱，單體是一個無蓋的長方體，它的側(cè)面和底面用網(wǎng)布縫制，長，寬，高分別為a，b，c（如圖1所示），如果按照圖2所示的方式連續(xù)制作n個網(wǎng)箱（相鄰網(wǎng)箱間只用一層網(wǎng)布隔斷），那么這幾個網(wǎng)箱網(wǎng)布的總面積為（）A．bc+n（ab+bc+2ac） B．2n（ab+bc+ac） C．n（ab+2bc+2ac） D．bc+n（ab+2bc+2ac）【分析】分別計算1個，2個，3個網(wǎng)箱連在一起時所需網(wǎng)布的面積．找到規(guī)律即可．【解答】解：一個長方體的網(wǎng)布總面積為：ab+2ac+2bc．兩個連在一起的網(wǎng)布總面積為：2ab+3bc+4ac＝bc+2（ab+bc+2ac）．三個連在一起的網(wǎng)布總面積為：3ab+4bc+6ac＝bc+3（ab+bc+2ac）．依此類推，n個連在一起的網(wǎng)布總面積為：bc+n（ab+bc+2ac）．故選：A．【點評】本題考查幾何圖形的認(rèn)識，找到面積與n的規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵．5．如圖，把一個高6分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米．原來這個圓柱的體積是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【分析】根據(jù)近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米可求出圓柱體的半徑，再根據(jù)圓柱體的體積公式即可求得結(jié)果．【解答】解：∵近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米，∴圓柱體的半徑為：36÷2÷6＝3（分米），∴圓柱的體積為：π×32×6＝54π（立方分米），故選：B．【點評】本題考查了圓柱體體積公式的推導(dǎo)及公式的應(yīng)用，理解推導(dǎo)過程正確求得圓柱體的半徑是解決問題的關(guān)鍵．6．棱長為3英寸的正方體是由27個單位小正方體組成的，其中有21個紅色小正方體，6個白色小正方體，若讓大正方體的表面盡可能少的出現(xiàn)白色，則大正方體表面積中白色部分占整個正方體表面積的（）A．554 B．19 C．527 【分析】要想使大正方體的表面盡可能少的出現(xiàn)白色，可將8個紅色單位正方體放在大正方體的8個頂點處，每個棱上放2個，剩下1個放在外層，再根據(jù)大正方體的表面積54，用1減去紅色部分占整個表面積的多少即可求得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意：大正方體的表面盡可能少的出現(xiàn)白色，將8個紅色單位正方體放在大正方體的8個頂點處，每個棱上放2個，剩下1個放在外層，∵大正方體的表面積為6×32＝54∴紅色部分占整個表面積的8×∴白色部分占整個表面積的1-49故選：A．【點評】本題考查了幾何體的表面積，解決本題的關(guān)鍵是21個紅色小正方體的擺放問題．7．如圖1是一個水平桌面上擺放的棱長為1的小正方體木塊，圖2圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的幾何體，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第5個疊放圖形中，幾何體露在桌面外的表面積是（）A．117 B．118 C．119 D．120【分析】由于每個小正方體的每個面的面積為1，所以只要得出幾何體露在桌面外的面便可求得幾何體露在桌面外的表面積，因此可分前后左右四個部分得出露在桌面外的面，從上面分橫向與縱向兩個方向露在桌面外的面，然后相加，利用求和公式計算即可得解．【解答】解：從正面看，露在桌面外的面有：1+3+5+…+（2n﹣1）=n(2n-所以，從前、后、左、右看，露在桌面外的面有4n2，從上面看，露在桌面外的面有：2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，所以，第n個疊放的圖形中，露在桌面外的面有：4n2+4n﹣3＝（2n+1）2﹣4，露在桌面外的表面積是（2n+1）2﹣4．∴第5個疊放圖形中，幾何體露在桌面外的表面積是（5×2+1）2﹣4＝117，故選：A．【點評】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，立體圖形比較復(fù)雜，注意確定正方體的個數(shù)與幾何體露在桌面外的面數(shù)時按照一定的順序查找方可做到不重不漏，也是解題的關(guān)鍵．二．填空題8．一個圓柱削去2.4立方米后，正好削成一個與它等底等高的圓錐，圓柱原來的體積是3.6立方米．【分析】圓柱的體積是等底等高的圓錐體積的3倍，根據(jù)題意得出，圓錐的體積是圓柱削去體積的一半，即1.2立方米，再根據(jù)圓柱的體積＝等底等高的圓錐體積的3倍，求得結(jié)果．【解答】解：圓錐的體積為2.4÷2＝1.2（立方米），圓柱的體積為：1.2×3＝3.6（立方米）．故答案為：3.6．【點評】本題主要考查圓柱與圓錐的關(guān)系，熟練掌握圓柱的體積是等底等高的圓錐體積的3倍是解題關(guān)鍵．9．有6個棱長為1的小正方體，把它們拼成一個大的長方體，那么這個長方體的表面積為22或26．【分析】第一種拼法是6個排成一排；第二種是6個排成兩行，上下各3個．【解答】解：第一種拼法是6個排成一排，其表面積為2+4×6＝26；第二種是6個排成兩行，上下各3個，其表面積為3×6+2×2＝22．故答案為：22或26．【點評】本題考查了長方體的表面積的求法，關(guān)鍵是6個正方體有2種方法拼成長方體．10．把一張半徑為8厘米的圓形紙片剪成兩個半圓，這兩個半圓的周長之和比圓的周長增加32厘米．【分析】由一個圓剪成兩個半圓可知剪開后兩個半圓的周長比圓的周長增加4個半徑．【解答】解：∵半徑為8厘米的圓形紙片剪成兩個半圓，∴周長增加兩個直徑，∴周長增加8×4＝32（cm），故答案為32．【點評】本題考查認(rèn)識平面圖形，掌握圓的周長的求法，半圓周長的求法是解題的關(guān)鍵．11．如圖1，把一個半徑是7cm的圓分成20等份，然后把它剪開，按照圖2的形狀拼起來，拼成圖形的周長是57.96cm．【分析】由圓的面積推導(dǎo)過程可知：將圓拼成近似的長方形后，長方形的長就等于圓的周長的一半，寬就等于圓的半徑，從而可知這個長方形的周長，據(jù)此即可求解．【解答】解：因為將圓拼成近似的長方形后，長方形的長就等于圓的周長的一半，寬就等于圓的半徑，所以這個長方形的周長比原來圓的周長多出了兩個半徑的長度，即多出了一個直徑的長度，3.14×2×7+7×2＝57.96（cm），故答案為：57.96．【點評】本題考查了圖形的拼接，解答此題的主要依據(jù)是圓的面積推導(dǎo)過程．12．如圖，5個邊長為1cm的正方體擺在桌子上，則露在表面的部分的面積為16cm2．【分析】5個邊長為1cm的正方體的表面積之和是30cm2，因為被蓋住的面有14個小正方形，其面積之和是14．【解答】解：根據(jù)以上分析故露在表面的部分的面積為16cm2．故答案為16．【點評】正方體的表面積＝6×棱長的平方．13．如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔的正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是222．【分析】根據(jù)正方體6個外表面的面積、6個內(nèi)孔內(nèi)壁的面積和，減去“孔”在外表面的面積即可．【解答】解：由正方體的6個外表面的面積為5×5×6﹣2×6＝138，6個內(nèi)孔的內(nèi)壁的面積為4×5×6﹣2×2×6＝96，因此這個有孔的正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）為138+96﹣2×6＝222，故答案為：222．【點評】本題考查正方體的表面積，求出“內(nèi)孔”的內(nèi)壁面積是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖，一個正方體由27個大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個小立方塊，得到一個新的幾何體．若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走16個小立方塊．【分析】根據(jù)表面積不變，只需留11個，分別是正中心的3個和四角上各2個．【解答】解：若新幾何體與原正方體的表面積相等，最多可以取走16個小正方體，只需留11個：①正中心的3個和四角上各2個，如圖所示；②其中一個角3個，其余三個角和中心是2個（圖略）．故答案為：16．【點評】此題主要考查了幾何體的表面積，熟知幾何體表面積的定義以及正方體的表面積公式是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，有一次數(shù)學(xué)活動課上，小穎用10個棱長為1的正方體積木搭成一個幾何體，然后她請小華用其他棱長為1的正方體積木在旁邊再搭一個幾何體，使用小華所搭幾何體恰好和小穎所搭幾何體拼成一個無空隙的大正方體（不改變小穎所搭幾何體的形狀）．那么：按照小穎的要求搭幾何體，小華至少需要17個正方體積木．按照小穎的要求，小華所搭幾何體的表面積最小為48．【分析】最小的大正方體是由小方塊組成的3×3×3的大正方體，據(jù)此可得小華至少需要27﹣10＝17個正方體積木．根據(jù)題意得到題中堆積體的俯視圖，并進(jìn)行標(biāo)數(shù)（地圖標(biāo)數(shù)法），即可得出小華所搭幾何體的表面積為（8+8+8）×2＝48．【解答】解：由題可知，最小的大正方體是由小方塊組成的3×3×3的大正方體，所以按照小穎的要求搭幾何體，小華至少需要27﹣10＝17個正方體積木．根據(jù)題意得到題中堆積體的俯視圖，并進(jìn)行標(biāo)數(shù)（地圖標(biāo)數(shù)法）：上圖的俯視圖可知，能將其補充為完整的3×3×3的大正方體的剩余部分的俯視圖為：由此可得，小華所做堆積體的三視圖，主、左、俯三視圖面積皆為8，所以小華所搭幾何體的表面積為（8+8+8）×2＝48，故答案為：17，48．【點評】本題主要考查了幾何體的表面積，由三視圖判斷幾何體的知識，能夠確定所搭幾何體的形狀是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題16．將如圖幾何體分類，并說明理由．【分析】根據(jù)立體圖形的分類：柱體，錐體，球體，可得答案．【解答】解：根據(jù)幾何體的概念可得，柱體：①正方體，②長方體，③圓柱體，⑥四棱柱，⑦三棱柱；錐體：④圓錐；球體：⑤球．【點評】本題考查了認(rèn)識立體圖形，立體圖形分為三大類：柱體，錐體，球體．17．求各圖中陰影部分的面積．（結(jié)果用π表示）（1）（2）【分析】（1）由圖可知，陰影部分的面積等于邊長為10的正方形面積減去半徑為5的圓的面積；（2）由圖可知，陰影部分的面積等于正方形面積的一半．【解答】解：（1）由題意可得：陰影面積＝（2×5）2﹣π×52＝（100﹣25π）平方分米，答：陰影部分的面積為：（100﹣25π）平方分米；（2）由題意可得：陰影面積＝102÷2＝50平方分米，答：陰影部分的面積為：50平方分米．【點評】本題考查了認(rèn)識平面圖形，根據(jù)題目的已知并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．18．大小兩種長方體紙盒的尺寸如圖所示（單位：cm）：（1）制作1個大紙盒和制作2個小紙盒的用料差是多少cm2？（2）當(dāng)|6﹣2a|+（b﹣2）2＝0時，求（1）問中的用料差．【分析】（1）根據(jù)長方體的表面積公式可列式化簡得；（2）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a＝3，b＝2，再代入（1）中式子求值即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)長方體的表面積公式可得：（2×5a×3+2×5a×2b+2×3×2b）﹣2（2×2.5a×b+2×2.5a×4+2×b×4）＝30a+20ab+12b﹣2（5ab+20a+8b）＝﹣10a+10ab﹣4b（cm2）．（2）由題意知：6﹣2a＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，故﹣10a+10ab﹣4b＝﹣10×3+10×3×2﹣4×2＝22（cm2）．【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、長方體的表面積、化簡求值．用代數(shù)式表示出用料差是關(guān)鍵．19．如圖，一個用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，長25米，橫截面是一個半徑為3米的半圓．（1）這個大棚的種植面積是多少平方米？（2）覆蓋在這個大棚的塑料薄膜（不計半圓部分）有多少平方米？（π取3.14）（3）大棚內(nèi)的空間有多少立方米？（π取3.14）【分析】（1）大棚的種植面積即為長方形的面積，代入數(shù)據(jù)解答即可；（2）根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，塑料薄膜的面積即為圓柱側(cè)面積的一半，代入數(shù)據(jù)解答即可；（3）根據(jù)圓柱的體積公式，即可得出答案．【解答】解：（1）25×（3×2）＝150（平方米），答：這個大棚的種植面積是150平方米；（2）2×3.14×3×25÷2＝235.5（平方米），答：覆蓋在這個大棚的塑料薄膜為235.5平方米；（3）3.14×32×25×12=353答：大棚內(nèi)的空間有353.25立方米．【點評】本題主要考查有關(guān)圖形的體積和面積，掌握圓柱的側(cè)面積公式和體積公式是解題的關(guān)鍵．20．在推導(dǎo)圓的面積計算公式時，是將一個圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼成一個近似的長方形，如圖2所示．（注：本題中的π取3.14）（1）若圓的半徑為3cm，則拼成的近似長方形的周長比圓的周長多多少厘米？（2）若拼成的近似長方形的周長為33.12cm，則圓的半徑為多少？（3）在（2）的條件下，求此圓的面積．【分析】（1）根據(jù)圓和矩形的周長公式即可得到即可；（2）設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）拼成的近似長方形的周長比圓的周長多3×2＝6厘米；（2）設(shè)圓的半徑為r，由題意得，2πr+2r＝33.12，解得：r＝4，答：圓的半徑為4cm；（3）此圓的面積＝3.14×42＝50.24（cm2）．【點評】本題考查認(rèn)識平面圖形，圖形的拼組及圓的面積公式的推導(dǎo)過程．21．已知一個小正方體的棱長是5cm，要做一個大正方體，使它的體積是小正方體體積的8倍，求這個大正方體的表面積是多少cm2？【分析】設(shè)大正方體的棱長為xcm，根據(jù)題意得出方程x3＝8×53，求出方程的解即可；求出一個面的面積乘6，即可求出答案．【解答】解：設(shè)大正方體的棱長為xcm，依題意，得x3＝8×53＝8×125＝1000，x＝10，6x2＝600∴這個大正方體的表面積是600cm2．【點評】本題考查了幾何體的表面積，能根據(jù)題意得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵．22．有一根長72米的線，明明想將它繞到一個圓柱形的線軸上，繞了20圈還剩9.2米．（π取3.14）（1）這個圓柱形線軸的直徑是多少米？（2）已知（1）直徑，圓形面積是多少平方米？【分析】（1）根據(jù)圓周長公式可得r=C（2）根據(jù)圓的面積公式S＝πr2求解．【解答】解：（1）（72﹣9.2）÷20÷3.14＝1（米）答：這個圓柱形線軸的直徑是1米．（2）（1÷2）2×3.14＝0.785m2答：圓形面積是0.785m2．【點評】本題考查圓的周長與面積，解題關(guān)鍵是根據(jù)實際問題正確列出算