浙江省麗水、湖州、衢州三地市2024年高考4月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

浙江省麗水、湖州、衢州三地市2024年高考4月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

1.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件2="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點"，事件B="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，則

A與B的關(guān)系是（)

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.相等

2

2.雙曲線久2一」=:1（小〉0）的漸近線方程為了=±2久，則TH=（）

A-IB.孚C.V2D.2

3.復(fù)數(shù)z滿足|iz|=l（i為虛數(shù)單位），則|z-4+3i|的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知平面向量N、了滿足歷|=2|同=2,若Ml他+方），則方與石的夾角為（）

A兀B5"「衛(wèi)

A?6口,%"J3口D.—3

*=(

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為%,且滿足。6,3a4,-應(yīng)成等差數(shù)列，貝)

A.3B.9C.10D.13

6.將函數(shù)f（x）=cos2x的圖象向右平移0（0<8<*）個單位后得到函數(shù)。（尢）的圖象，若對滿足

7T

-。（工2）|=2的久1，久2，有|%1—X2\min=石，則0=（）

A5兀gZ￡C工n-

123J46

7.已知橢圓C；烏+^1=l（a>b>0）?為左、右焦點，P為橢圓上一點，在止?2=60°,直線

a乙b乙

I：y=-久+t經(jīng)過點P.若點或關(guān)于［的對稱點在線段的延長線上，則C的離心率是（）

A-IB.孚C.1D.|

X2X3

8.已知正實數(shù)%1，%2,%3滿足妊+2%1+1=%2+3%2+1=X23,%3++1=X34,則

打，％2,%3的大小關(guān)系是（）

A.%3<%2<%1B.工1<%2<%3C.<%3<%2D.%2<<%3

9.有一組樣本數(shù)據(jù)%1，%2,%3,%4,%5,%6的平均數(shù)是反，方差是s2,極差為R,則下列判斷正確的

是（）

A.若a%i+b,ax2+b,ax3+b,ax4+b,ax5+b,。汽+力的平均數(shù)是％o，貝丘o=a%+b

B.若％i，2x?,3冷，4x4,5x5,6汽的極差是％,則%>R

C.若方差S2=0,貝！J%1=%2=%3=%4=%5=%6

1/9

D.若<%2<%3<%4<%5<%6，則第75百分位數(shù)是"4**5

10.已知直三棱柱4BC—4/1的中，2B1BC且=BC=2,直線&C與底面2BC所成角的正弦值為

孚，則()

A.線段&C上存在點O,使得AR1AD

B.線段41c上存在點。，使得平面OB/1平面DCCi

C.直三棱柱/BC—々Big的體積為g

D.點/到平面&BC的距離為企

11.已知函數(shù)f(X)的定義域為R,且/(%+y)?/(%-y)=產(chǎn)(K)一產(chǎn)。)，y(i)=2,/'(久+1)為偶函數(shù),

則()

A.f(3)=2B.fO)為奇函數(shù)

C.-2)=0D.￡鑿4/出=0

12.在aZBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,B=%c=&，BC邊上的高等于5a,貝!MABC

的面積是,sinA-.

13.已知圓C：mx2+(2m—l)y2—lax—a—2=0,若對于任意的aeR,存在一條直線被圓C所截

得的弦長為定值Ji,則TH+n-.

14.已知正四面體2-BCD的棱長為1,若棱長為a的正方體能整體放入正四面體2-BCD中，則實數(shù)

Q的最大值為.

15.設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為d,記5?是數(shù)列｛an｝的前n項和，^S5=a3+20,Si5=a2a3a8.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)若d>0,6n=彳普-(nCN*),數(shù)列也｝的前n項和為Tn,求證：Tn<n+1.

16.如圖，三棱錐4一BCD中，AD1CD,AD=CD,AADB=ABDC,E為線段ZC的中點.

(1)證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)ZB=BD=3,麗=2而，麗?麗=0,求直線CF與平面2BC所成角的正弦值.

17.設(shè)函數(shù)/(%)=e*-In(久+a),aER.

2/9

（1）當(dāng)a=l時，求/'（￡）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（x）\a,求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知拋物線E：產(chǎn)=4%,點2,B,C在拋物線E上，且4在%軸上方，B和C在%軸下方（B在C左側(cè)），

A,C關(guān)于久軸對稱，直線交x軸于點M,延長線段CB交支軸于點Q,連接QA.

（1）證明：假為定值（。為坐標(biāo)原點）；

（2）若點Q的橫坐標(biāo)為-1,且通?流=務(wù)求A/IQB的內(nèi)切圓的方程.

19.為保護森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機監(jiān)測器對指定區(qū)域進行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有

珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為Pi；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但

監(jiān)測器認(rèn)為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為P2.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為02現(xiàn)

用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進行獨立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器

識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.

（1）若pi=0.8,P2=0.02.

（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；

（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到

0.001）；

（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當(dāng)0.8Wpi<0.9時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動

物活動時，該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實

沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求P2的范圍（精確到0.001）.

（參考數(shù)據(jù)：氣°，=09866,空空=0.9861,0.982=0.9604）

3/9

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】A,C

10.【答案】A,B,D

n.【答案】B,C,D

12.【答案】|；誓

13.【答案】1+V7

15.【答案】(1)解：由S5=Q3+20,55=馴1產(chǎn))=5的，得5%=%+20,解得的=5,

由S15=Q2a3a8，S15=__15(18，所以15a8=5a2a8，所以。8=?；?。2=3,

當(dāng)。8=0時d=-—1,此時a九=a+(n—3)d=8—n；

"gO—I33

當(dāng)。2=3時d=%—=2,此時冊=恁+(九-3)d=2n—1；

綜上可得數(shù)列｛冊｝的通項公式為a九=8-九或冊=2n-1；

(2)證明：因為d〉0,所以冊=2幾—1,則sn=a±與二如=層，

Ulll6—4s幾一4足一4九2-1+1

人」分―an-an+1-(2n-l)(2n+l)一(2n-l)(2n+l)

1111

=1+(2n-l)(2n+l)=1+2Zn=T-2n+l^

11111111111

所以7\=1+2(1—§)+1+2(§—耳)+1+2(耳—7)+",+1+2(^=1_2^)

11111111

=n+2(i-寸§-5+5-7+…+而=！一而百)

11111

=n+2(1-2^+l)=n+2_2(2n+l)<n+2-

4/9

16.【答案】(1)證明：因為2。=CD,乙ADB=LBDC,

可得△ADB也△CCB,所以4B=CB,

又E為線段ZC的中點，所以BE1ZC,DE1AC,

而DECBE=E,

所以4c1平面BED,

又因為ACu平面ACD,

所以平面BED1平面AC。；

(2)解:取D4的中點G,連接EG,BG,因為EG為中位線，

所以EG〃CD,又AD1CD,所以1EG,

因為力B=BC,G為D4的中點，所以4QJ.BG,

又EGCBG=G,EG,BGu平面BEG,所以4。1平面BEG,

BEu平面BEG,所以ADIBE,

因為B2=BC,E為4C的中點，所以4clBE,

又ACnA。=力，AC,ADC平面AC。，所以BEl?平面ACD,

以E為坐標(biāo)原點，分別以及4、EB、ED所在的直線為％、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

如圖，

設(shè)Z(a,O,O),B(b,0,0),

則E(0,0,0),D(0,0,a),8(0,瓦0),F(0,1,^),

前=(04約，麗=(0,一瓦辦

\AB\2=a2+b2=9r_.

由前屈=考+竽=o'解得：憶后

所以方=(百，雪,竽)，又平面ABC的法向量五=(0,0,1),

設(shè)直線CF與平面4BC所成角為&de[0,J],

5/9

則sin。=|cos(CF,n)|=而五|=丁=2/15,

\CF\-\n\~V5xl—15

所以直線CF與平面ABC所成角的正弦值為維1

17.【答案】(1)解：已知/(%)=e%-In。+a),a6/?,函數(shù)定義域為(-a,+8),

當(dāng)a=l時，f(x)=ex-ln(x+1),函數(shù)定義域為(-L+8),

1

可得rQ)=e、_圭，

當(dāng)一1<%<0時,/,(x)<0,/(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)%>0時，f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

綜上，所以f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0)；

(2)解：若/(%)2a,即e*—ln(x+a)-a20,

不妨設(shè)g(x)=ex-ln(x+a)-a,函數(shù)定義域為(-a,+oo),

可得g'O)=1一弟，

不妨設(shè)九(%)=g'(%)，函數(shù)定義域為(-a,+8),

可得"(%)=ex+—^-2>0恒成立，

所以函數(shù)八(%)在(-a,+8)上單調(diào)遞增，即函數(shù)9'。)在(-a,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xr-a時，。'(久)->一8；當(dāng)％->+8時，g'(x)->+8,

所以在區(qū)間(一a,+8)上存在一點的,使得g'(%o)=0,

11

此時^°=詬Q，即。=兩一工()，

當(dāng)一a<x<%()時,g'(%)<0,g(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)%>%。時，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

1

xx

所以g(x)>g(%o)=e°-ln(x0+a)-a=e°-+2x0>0,

不妨設(shè)k(x)=e、—營+2%,函數(shù)定義域為［0,+8),可得〃(%)="+/+2>0,

所以函數(shù)k(x)在定義域上單調(diào)遞增，

易知做0)=0,又做配)20,所以配20,

易知函數(shù)y=y=-%均為減函數(shù)，所以a=去一出在［。,+8)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)％o之。時，a<1,

故實數(shù)a的取值范圍為(-8,1］.

18.【答案】(1)證明：由題意，設(shè)直線的方程為％=7ny+￡(zn>0),5(%2^2)，

6/9

則CQi，-y。,

%=TUV+t

(y2_4%，消去%，^y2-4my-4t=0,A—16(m2+t)>0^>m2+t>0,

所以yi+y2=47n,yiy2=-4t,

直線BC的方程為y+%=笠等(%-修)，化簡得y=普丁-告

x2X1丫2y1>271

令y=o，得久Q=>丫2=—t,所以Q(—t,o),

\OM\_|t|,

因此W-M-1；

(2)解：因為點Q的橫坐標(biāo)為一1,由(1)可知，(2(-1,0),M(l,0)，

設(shè)Q力交拋物線于AQi，y。，B(x2,y2)>。(久1,一yD，。(%4,丫4)，

如圖所示，

又由(1)知，7172=-4,同理可得月丫4=4,得丫4=一丫2,

m2

又+%2=yi+1+Tny2+1=+y2)+2=4m+2,

2

rY_yiyj_(yiy2),1.

尤62_1r?彳

X

又麗=(%2-1,g)，砒=(1-L一月)，

xx2

則前-MC=(%2-1)(%1-1)—y/2=i2—(1i+%2)+1+4=4—4m，

故4-47n2-*結(jié)合m>0,得m=4,

所以直線ZB的方程為3x—上y-3=0.

又力-yi=J(月+及)2-4yly2=V16m2+16=苧

Z1Z24_Z1ZZ4_Z1ZZ4_4_43

4園

4yi+y4-y\-y-i4,

4

所以直線的方程為3尤—4y+3=0,

設(shè)圓心T(s,0)(—1<S<1),

7/9

因為QM為乙4QB的平分線，故點T到直線和直線20的距離相等,

所以匡攔=與近，因為—i<s<L解得s=[

故圓T的半徑r=更薩=

因此圓7的方程為(尤-1)2+y2=*

19.【答案】(1)解：記事件力為“檢測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，事件B為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上

有珍稀動物活動”

("⑷B)=鏟叫尹理。96,

因此在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率是0.96；

(ii)由題意得P(4)=P(ABUAB)

=PQ4B)+P(AB)=P(B)P(4⑻+P(B)P(Z|B)

=0.2(1-(1-pQ2)+0.8(1-(1-「2)2)

=0.2(1-(1-0.8)2)+0.8(1-(1-0.02)2)=022368,

P(AB)P(4|B>P(B)

則P(B|A)=

WT=-P(A)-

0.8x[l-(l-p2)2]0.8x(1-0.982)

-0.22368-?0.142,

因此在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率是0.142.

P(AB)=PQ4|B>P(B)=_________0.2[l-(l-pi)2]_________

(2)解:因為P(B|Z)P⑷=-TO-=0.2(1—(l—pi)2)+0.8(l—(l—p2)2)

0.8(l-P2)2

p后不=fO=P(*B1P(B)=_____________________________________

5J—P⑷—p(萬一1—(1-P2)2)+0.2(l-(1-pi)2)]'

0.2[l-(1-P1)2]