專(zhuān)題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用(專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)(原卷版+解析)

專(zhuān)題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)C1：y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式．（2）如圖1，若E為該拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求使得△ECD的面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)EF+CF的最小值．（3）如圖2，將拋物線(xiàn)C1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2，M為拋物線(xiàn)C2上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（﹣4，0）．與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC，BC．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到AB，AC距離相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在直線(xiàn)BC上，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形BMNQ為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，4），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，DE＝AB，DE在直線(xiàn)AB上滑動(dòng)，以DE為斜邊，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)△DEF與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）在△DEF滑動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)P，使以C，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP，PB，直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）求△BCP的面積最大值；（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上一動(dòng)點(diǎn)．①是否存在點(diǎn)M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)找到一點(diǎn)N，使得以B、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，并直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)．5．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若在線(xiàn)段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB＝3OA＝3，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，求線(xiàn)段PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得以M，P，C，G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；（2）如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．已知：拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連PC、PB、PO，PO交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求此時(shí)k的值；（3）如圖2，D（m，0）是x的正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M'．在圖2中探究：是否存在點(diǎn)D，使得四邊形CMNM′是菱形？若存在，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9.如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AP，CP，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)1，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)D，在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10.如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3向右平移1個(gè)單位得到新拋物線(xiàn)，新拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以D、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解其中一個(gè)點(diǎn)F的坐標(biāo)的過(guò)程．11.綜合與探究：如圖1所示，直線(xiàn)y＝x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）如圖2所示，M是線(xiàn)段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn)P、N．①當(dāng)△ANC面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為；最大面積為．②點(diǎn)F是直線(xiàn)AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題12二次函數(shù)菱形存在性綜合應(yīng)用（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)C1：y＝ax2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中OA＝OC＝2OB，D（0，4）是OA的中點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式．（2）如圖1，若E為該拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求使得△ECD的面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)EF+CF的最小值．（3）如圖2，將拋物線(xiàn)C1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2，M為拋物線(xiàn)C2上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵D（0，4）是OA的中點(diǎn)，∴OA＝8．∵OA＝OC＝2OB，∴A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0），將A（0，8），B（﹣4，0），C（8，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得：．∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+x+8．（2）∵y＝﹣x2+x+8＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，令y＝0，則﹣x2+x+8＝0，∴x＝﹣4或x＝8，∴C（8，0），設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸交CD于點(diǎn)H，設(shè)E（m，﹣m2+m+8），F(xiàn)（2，n），則H（m，﹣m+4），∴EH＝﹣m2+m+8+m﹣4＝﹣m2+m+4，∴S△ECD＝×8×（﹣m2+m+4）＝﹣m2+6m+16＝﹣（m﹣3）2+25，∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△ECD的面積有最大值25，此時(shí)E（3，），連接BE，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)F，連接CF，∵B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝2對(duì)稱(chēng)，∴BF＝CF，∴CF+EF＝BF+EF≥BE，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，EF+CF有最小值，最小值為BE，∴BE＝＝；（3）存在點(diǎn)M、N使得四邊形DMCN為菱形，理由如下：平移后的拋物線(xiàn)為y＝﹣（x﹣2﹣2）2+9﹣5＝﹣（x﹣4）2+4＝﹣x2+2x，設(shè)M（t，﹣t2+2t），N（x，y），∵四邊形DMCN為菱形，∴DC與MN為對(duì)角線(xiàn)，∴，∵CN＝CM，∴（x﹣8）2+y2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t2+（4+t2﹣2t）2＝（t﹣8）2+（﹣t2+2t）2，∴t＝2或x＝﹣2，∴M（2，﹣6+4）或（﹣2，﹣6﹣4）．2．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（﹣4，0）．與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC，BC．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到AB，AC距離相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)N在直線(xiàn)BC上，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使四邊形BMNQ為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將B（﹣4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣x+4；（2）令y＝0，則x2﹣x+4＝0，解得x＝3或x＝﹣4，∴A（3，0），∵點(diǎn)P到AB，AC距離相等，∴P點(diǎn)在∠CAB的角平分線(xiàn)上，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AC交于F點(diǎn)，∵OA＝3，CO＝4，∴AC＝5，∴CF＝2，在Rt△CEF中，CE2＝CF2+EF2，即（4﹣OE）2＝OE2+4，解得OE＝，∴E（0，），設(shè)直線(xiàn)AE的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得或，∴P（﹣，）；（3）存在點(diǎn)Q，使四邊形BMNQ為菱形，理由如下；∵y＝x2﹣x+4＝﹣（x+）2+，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝k'x+m'，∴，解得，∴y＝x+4，設(shè)Q（﹣，t），∵四邊形BMNQ為菱形，∴M點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，∴M（t﹣4，），∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）+4＝，解得t＝或t＝，∴Q（﹣，）（舍）或（﹣，），∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）．3．如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，4），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，DE＝AB，DE在直線(xiàn)AB上滑動(dòng)，以DE為斜邊，在AB的下方作等腰直角△DEF．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)△DEF與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；（3）在△DEF滑動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)P，使以C，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將A（﹣2，4），B（2，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴y＝﹣x+2，∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，∴E（t，﹣t+2），∵A（﹣2，4），B（2，0），∴AB＝4，∵DE＝AB，∴DE＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝2，∴F（t﹣2，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，t＝﹣2，當(dāng)F點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，（t﹣2）2﹣（t﹣2）﹣2＝﹣t+2，解得t＝2+或t＝2﹣，∴﹣2≤t≤2﹣時(shí)，△DEF與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)；當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，t＝2，當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，t﹣2＝2，解得t＝4，∴2≤t≤4時(shí)，△DEF與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)；綜上所述：﹣2≤t≤2﹣或2≤t≤4時(shí)，△DEF與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)；（3）存在點(diǎn)P，使以C，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由如下：由（2）知，E（t，﹣t+2），D（t﹣2，﹣t+4），C（0，﹣2），設(shè)P（x，y），①當(dāng)CD為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CE＝DE，∴，解得，∴P（﹣2，0）；②當(dāng)CE為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CD＝DE，∴，解得，∴P（2，﹣4）；③當(dāng)CP為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，CE＝CD，∴，解得，∴P（4，2）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（2，﹣4）或（4，2）．4．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP，PB，直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）求△BCP的面積最大值；（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上一動(dòng)點(diǎn)．①是否存在點(diǎn)M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)找到一點(diǎn)N，使得以B、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，并直接寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，∴，解得﹣，∴y＝﹣x2+3x+8；（2）令y＝0，則﹣x2+3x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝8，∴B（8，0），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+8，過(guò)點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)P（t，﹣t2+3t+8），則G（t，﹣t+8），∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，∴當(dāng)t＝4時(shí)，△BCP的面積有最大值，最大值為32；（3）①存在點(diǎn)M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，∴E（3，5），設(shè)M（3，m），∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，當(dāng)BE＝BM時(shí)，5＝，解得m＝5（舍）或m＝﹣5，∴M（3，﹣5）；當(dāng)BE＝EM時(shí)，5＝|m﹣5|，解得m＝5+5或m＝﹣5+5，∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；當(dāng)BM＝EM時(shí)，＝|m﹣5|，解得m＝0，∴M（3，0）；綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；②設(shè)N（x，y），M（3，m），當(dāng)BE為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，BM＝EM，∴，解得，∴N（8，5）；當(dāng)BM為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，BE＝EM，∴，解得或，∴N（8，5）或（8，﹣5）；當(dāng)BN為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，BE＝BM，∴，解得（舍）或，∴N（﹣2，0）；綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，0）．5．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若在線(xiàn)段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；（2）由（1）得，點(diǎn)C（0，6），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+c，∵直線(xiàn)BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），C（0，6），∴，解得：∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣2x+6，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥y軸于點(diǎn)K，則∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝45°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK（AAS），∴MN＝OK，ON＝HK．∴H（﹣2m+6，﹣m），∵點(diǎn)H（﹣2m+6，﹣m）在直線(xiàn)y＝﹣2x+6上，∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得：m＝，把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝，∴當(dāng)∠OMB＝45°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）；（3）存在，理由如下：∵拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，頂點(diǎn)為D，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，8），分兩種情況討論：①當(dāng)CD為菱形的邊時(shí)，如圖2，過(guò)C作CE⊥DQ于E∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝＝，∴DQ＝CD＝，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8﹣）或（1，8+）；②當(dāng)CD為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖3，設(shè)點(diǎn)Q（1，m），P（0，n），∵C（0，6），D（1，8），∴m+n＝6+8＝14，∴n＝14﹣m，∴P（0，14﹣m），∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB＝3OA＝3，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，求線(xiàn)段PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得以M，P，C，G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），將（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，將x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．（2）設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y＝kx+b，將（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝﹣x+3，作PF⊥x軸交BC于點(diǎn)F，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵PE∥x軸，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴m＝時(shí)，PE的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．（3）①如圖，PM＝CM，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），∴CM＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍）或m＝3﹣，∴GC＝CM＝3﹣2，∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，3+1）．②如圖，PM＝CG時(shí)四邊形PCGM為平行四邊形，PG⊥CM時(shí)四邊形PCGM為菱形，∵PM＝﹣m2+3m，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，m2﹣3m+3），作GN⊥PM，∵∠CBO＝45°，∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3），解得m＝0（舍）或m＝2，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，1）．③如圖，PM＝CM，由①可得m2﹣3m＝m，解得m＝3+，∴PM＝CG＝CM＝3+2，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，1﹣3）．綜上所述，點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；（2）如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上，若∠BPD＝90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1；（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，∴B（3，0），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴D（2，3），∴BD的中點(diǎn)H為（，），BD＝，∵∠BPD＝90°，∴PH＝BD，設(shè)P（1，t），∴（）2+（﹣t）2＝×10，解得t＝1或t＝2，∴P（1，1）或（1，2）；（3）存在以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由如下：設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），N（1，n），①當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AM＝AN，∴，解得，∴N（1，﹣4）；②當(dāng)AM為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AB＝AN，∴，此時(shí)無(wú)解；③當(dāng)AN為菱形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AB＝AM，∴，此時(shí)無(wú)解；綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．8．已知：拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連PC、PB、PO，PO交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求此時(shí)k的值；（3）如圖2，D（m，0）是x的正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M'．在圖2中探究：是否存在點(diǎn)D，使得四邊形CMNM′是菱形？若存在，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H，∴△PEH∽△OEC，∴，∵＝k，OC＝3，∴k＝PH，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝sx+t，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴k＝（﹣t2+3t）＝﹣（t2﹣3t）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，k取得最大值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；（3）存在；由折疊知，MC＝M'C，MN＝M'N，故當(dāng)MN＝MC時(shí)，四邊形CMNM′是菱形，設(shè)M（m，﹣m+3），則N（m，﹣m2+2m+3），∴MC＝＝|m|，∴|﹣m2+3m|＝|m|，即﹣m2+3m＝±m(xù)，解得m＝3+或3﹣，綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3+，0）或（3﹣，0）9.如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AP，CP，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，△ACP的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）試探究：過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)1，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)D，在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．【解答】解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y＝kx+n，∴，∴，∴AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P的坐標(biāo)是（m，m2+2m﹣3），則M的坐標(biāo)是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴﹣3＜m＜0，∴S＝?PM?OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）；（3）分兩種情況：①如圖2，四邊形CDEB是菱形，設(shè)D（t，﹣t﹣3），則E（t+1，﹣t），∵四邊形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝±，∵t＜0，∴t＝﹣，∴E（﹣+1，）；②如圖3，四邊形CBDE是菱形，設(shè)D（t，﹣t﹣3），則E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四邊形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）．10.如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3向右平移1個(gè)單位得到新拋物線(xiàn)，新拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)以D、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解其中一個(gè)點(diǎn)F的坐標(biāo)的過(guò)程．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，）；（3）F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+3，∵函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，∴D（1，2），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+3t，∴S△PCD＝×1×（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時(shí)，S△PCD的最大值為，此時(shí)P（，）；（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4向右平移1個(gè)單位得到新拋物線(xiàn)為y＝﹣（x﹣2）2+4，聯(lián)立，解得x＝，∴E（，），∵新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，設(shè)F（2，m），∴DE2＝+＝，DF2＝1+（m﹣2）2，EF2＝+（m﹣）2，∵以D、E、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，有三種情況：①當(dāng)EF、FD為鄰邊，此時(shí)EF＝FD，∴1+（m﹣2）2＝+（m﹣）2，解得m＝，∴F（2，）；②當(dāng)ED、EF為鄰邊，此時(shí)ED＝EF，∴＝+（m﹣）2，解得m＝或m＝2，∴F（2，2）或F（2，），設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，∴F（2，2）；③當(dāng)DE、DF為鄰邊，此時(shí)DE＝DF，∴＝1+（m﹣2）2，解得m＝2+或m＝2﹣，∴F（2，2+）或F（2，2﹣）；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，2）．11.綜合與探究：如圖1所示，直線(xiàn)y＝x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）如圖2所示，M是線(xiàn)段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn)P、N．①當(dāng)△ANC面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為；最大面積為．②點(diǎn)F是直線(xiàn)AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）①（﹣2，2）；8．②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（﹣4，5）或（，）或（，）．【解答】解：（1）將A（﹣4，0）代入y＝x+c，得c＝4，將A（﹣4