專(zhuān)題04等腰三角形的判定(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)題精選匯編專(zhuān)題04等腰三角形的判定考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：100分姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如圖，在中，運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點(diǎn)P，使，下列作法正確的是（）A． B．C． D．2．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為y軸，BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)3．（2分）（2021八上·昌平期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線(xiàn)BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2分）（2021八上·密山期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①5．（2分）（2021八上·濟(jì)寧月考）已知：如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC和BC上，與相交于點(diǎn)，給出下面四個(gè)條件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，從這四個(gè)條件中選取兩個(gè)，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2分）（2021八上·中山期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線(xiàn)BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)7．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線(xiàn)上一點(diǎn)并且滿(mǎn)足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過(guò)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）（2020八上·溫州期中）如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一條邊為邊畫(huà)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則這樣的點(diǎn)有（）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)9．（2分）已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，則P1，O，P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如圖，在中，，是邊上的高，是邊的中線(xiàn)，是的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①的面積是的面積的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④評(píng)卷人得分二．填空題（共9小題，滿(mǎn)分18分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，平分交于點(diǎn)E，若，則.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形．下列作法正確的有個(gè)．13．（2分）（2021八上·冠縣期中）如圖，已知點(diǎn)P是射線(xiàn)ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON=45°，當(dāng)∠A=時(shí)，△AOP為等腰三角形．14．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，∠ABC的平分線(xiàn)BF與△ABC的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線(xiàn)CF相交于F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長(zhǎng)為.15．（2分）（2021八上·華容期末）如圖，在中，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為.16．（2分）（2020八上·柯橋月考）如圖，已知點(diǎn)P是射線(xiàn)BM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當(dāng)∠OAP=時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．17．（2分）如圖，點(diǎn)O是△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC分別與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，若，，，則△AMN的周長(zhǎng)為.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三邊，且，則的形狀是．19．（2分）（2019八上·長(zhǎng)安月考）如圖，∠BOC=60°，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，OA=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t=s時(shí)，△POQ是等腰三角形.評(píng)卷人得分三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如圖，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD的中點(diǎn).試探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.21．（10分）（2021八上·平原月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD（1）（3分）求證：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求證：AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)．（3）（4分）△DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）（2019八上·淮南期中）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.（2）（3分）如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?（3）（4分）如圖③，若△ABC中∠B的平分線(xiàn)BO與三角形外角平分線(xiàn)CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，點(diǎn)為射線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）（1分）如圖①，若，則按邊分類(lèi)：是三角形，并證明；（2）（6分）若．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，判斷的形狀并證明；②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，是什么三角形？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出相應(yīng)的圖形并直接寫(xiě)出結(jié)論（不必證明）．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線(xiàn)段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求證：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求證：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；25．（8分）（2021八上·廈門(mén)期末）如圖，已知銳角∠APB，M是邊PB上一點(diǎn)，設(shè)∠APB=α.（1）（4分）尺規(guī)作圖：在邊PA上作點(diǎn)N，使得∠ANM=2α；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）（4分）在（1）的條件下，若邊PA上存在點(diǎn)Q，使得∠QMB=3α.①證明△MNQ是等腰三角形；②直接寫(xiě)出α的取值范圍.26．（12分）（2021八上·武昌期末）如圖1，在中，，分別是和的角平分線(xiàn)，和相交于D點(diǎn).（1）（4分）求證：平分；（2）（4分）如圖2，過(guò)F作于點(diǎn)P，連接，若，，求證：；（3）（4分）如圖3，若，求證：.2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專(zhuān)題精選匯編專(zhuān)題04等腰三角形的判定考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：100分一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如圖，在中，運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法在BC邊上取一點(diǎn)P，使，下列作法正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：由作圖可知，選項(xiàng)C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)作圖步驟可得選項(xiàng)A中∠BAP=∠CAP，無(wú)法判斷PA+PB=BC；選項(xiàng)B中AC=BC，則AC+BP=BC；選項(xiàng)C中∠C=∠PAC，則PA=PC，PA+PB=BC；選項(xiàng)D中BP=PC，據(jù)此判斷.2．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為y軸，BC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【完整解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．③AB的垂直平分線(xiàn)交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故答案為：C．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定方法求解即可。3．（2分）（2021八上·昌平期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線(xiàn)BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【完整解答】解：以點(diǎn)A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)BC于兩個(gè)點(diǎn)，然后作AB的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)，如圖所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等邊三角形，∴點(diǎn)重合，∴符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)；故答案為：B．【思路引導(dǎo)】先求出，再求出是等邊三角形，最后求解即可。4．（2分）（2021八上·密山期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＝CF．其中正確的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【答案】A【完整解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①符合題意；∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合題意；∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；故③符合題意；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF與CF不一定相等，故④不符合題意．故答案為：A．【思路引導(dǎo)】利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等對(duì)每個(gè)結(jié)論一一判斷即可。5．（2分）（2021八上·濟(jì)寧月考）已知：如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC和BC上，與相交于點(diǎn)，給出下面四個(gè)條件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，從這四個(gè)條件中選取兩個(gè)，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【完整解答】A.①∠1＝∠2；②AD＝BE，又（AAS）即是等腰三角形故該選項(xiàng)不符合題意；B.①∠1＝∠2，④DF＝EF，又（AAS）即是等腰三角形；故該選項(xiàng)不符合題意；C.②AD＝BE；③不能證明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；該選項(xiàng)符合題意；D.③④DF＝EF，又（SAS）即是等腰三角形；故該選項(xiàng)不符合題意；故答案為：C．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定方法，再結(jié)合全等三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可。6．（2分）（2021八上·中山期末）如圖，已知直角三角形ABC中，，，在直線(xiàn)BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【完整解答】解：如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，而所以是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P有5個(gè)，故答案為：B

【思路引導(dǎo)】分三種情況：AP=AB，BP=AB或BP=AP，據(jù)此分別求解即可.7．（2分）（2021八上·江津期中）如圖，D為∠BAC的外角平分線(xiàn)上一點(diǎn)并且滿(mǎn)足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，過(guò)D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則下列結(jié)論：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【完整解答】解：∵AD平分，DE⊥AC，DF⊥AB，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，又∵，∴∠BDC＝∠BAC，故③正確；∵AD平分，∴，∵，∴，∵，，∠BDC＝∠BAC，∴，∴∠DAF＝∠CBD，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④；故答案為：D.【思路引導(dǎo)】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)HL證明，可得CE=AF，，根據(jù)HL證明，可得，從而得出，據(jù)此判斷①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，據(jù)此判斷③；利用三角形的內(nèi)角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB

，從而得出∠DAF＝∠CBD，據(jù)此判斷④.8．（2分）（2020八上·溫州期中）如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一條邊為邊畫(huà)等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則這樣的點(diǎn)有（）A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【完整解答】解：如圖，

共有6種情況.

故答案為：B.

【思路引導(dǎo)】①以B為圓心，以BC為半徑畫(huà)弧交AC于D點(diǎn)，△BCD為所求；②以A為圓心，以AC為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)E，△ACE為所求；③以C為圓心，以BC為半徑畫(huà)弧交AC于點(diǎn)F，△BCF為所求；④作AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)H，△AHC為所求；⑤作AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)G，△AGB為所求；⑥作BC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)I，△BGI為所求.9．（2分）已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，則P1，O，P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【思路引導(dǎo)】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，即可判斷△P1OP2是等邊三角形．【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，∴△P1OP2是等邊三角形．故選：D．10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如圖，在中，，是邊上的高，是邊的中線(xiàn)，是的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①的面積是的面積的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【完整解答】解：∵BE是AC邊的中線(xiàn)，∴AE=CEAC，∵△ABE的面積×AE×AB，△ABC的面積×AC×AB，∴△ABE的面積等于△ABC的面積的一半，故①正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②錯(cuò)誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故③正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線(xiàn)，∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，∴∠FAG=2∠FCB，故④錯(cuò)誤；即正確的為①③，故答案為：C.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等底同高的三角形的面積相等進(jìn)行判斷①，根據(jù)等腰三角形的判定判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判斷④即可.二．填空題（共9小題，滿(mǎn)分2分，每小題18分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，平分交于點(diǎn)E，若，則.【答案】【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵DE=，∴EB=.故答案為：.【思路引導(dǎo)】根據(jù)角平分線(xiàn)的概念可得∠CBD=∠ABD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，則BE=DE，據(jù)此解答.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形．下列作法正確的有個(gè)．【答案】3【完整解答】解：第一個(gè)圖以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑，∴為等腰三角形，符合題意；第二個(gè)圖為作的角平分線(xiàn)，無(wú)法得到為等腰三角形，不符合題意；第三個(gè)圖以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，符合題意；第四個(gè)圖為作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，可得，∴為等腰三角形，符合題意；綜上可得：有三個(gè)圖使得為等腰三角形，故答案為：3．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等腰三角形的判定定理判斷各圖形即可得出答案。13．（2分）（2021八上·冠縣期中）如圖，已知點(diǎn)P是射線(xiàn)ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線(xiàn)ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON=45°，當(dāng)∠A=時(shí)，△AOP為等腰三角形．【答案】45°或67.5°或90°【完整解答】解：若△AOP為等腰三角形則有AO=AP、AO=OP和OP=AP三種情況，①當(dāng)AO=AP時(shí)，則有∠O=∠APO=45°，∴∠A=90°；②當(dāng)AO=OP時(shí)，則∠A=∠APO==67.5°；③當(dāng)OP=AP時(shí)，則∠A=∠AON=45°，綜上可知∠A為45°或67.5°或90°，故答案為45°或67.5°或90°．【思路引導(dǎo)】若△AOP為等腰三角形則有AO=AP、AO=OP和OP=AP三種情況：①當(dāng)AO=AP時(shí)，②當(dāng)AO=OP時(shí)，③當(dāng)OP=AP時(shí)，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得∠A的度數(shù)。14．（2分）（2021八上·下城期中）如圖，∠ABC的平分線(xiàn)BF與△ABC的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線(xiàn)CF相交于F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長(zhǎng)為.【答案】3cm【完整解答】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.故答案為：3cm.【思路引導(dǎo)】由角平分線(xiàn)的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，則BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，據(jù)此計(jì)算.15．（2分）（2021八上·華容期末）如圖，在中，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為.【答案】4【完整解答】證明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP，又∵∠BFP=∠AFE，∴∠E=∠AFE，∴AF=AE=3，∴△AEF是等腰三角形.又∵CE=10，∴CA=AB=7，∴BF=AB-AF=7-3=4，故答案為：4.【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C，再根據(jù)等角的余角相等得出∠E=∠BFP，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠E=∠AFE，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出答案.16．（2分）（2020八上·柯橋月考）如圖，已知點(diǎn)P是射線(xiàn)BM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當(dāng)∠OAP=時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【完整解答】解：如圖，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①當(dāng)AOP1是等腰三角形時(shí)，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②當(dāng)△ABP2是等腰三角形時(shí)，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等邊三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③當(dāng)△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

綜上，∠OAP為75°或120°或90°

故答案為：75°或120°或90°.

【思路引導(dǎo)】分三種情況討論，即當(dāng)OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠OAP的度數(shù).17．（2分）如圖，點(diǎn)O是△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC分別與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，若，，，則△AMN的周長(zhǎng)為.【答案】12【完整解答】解：∵O是△ABC角平分線(xiàn)的交點(diǎn)∴∠OBC=∠MBO,∠OCB=∠NCO∵M(jìn)N∥BC∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB∴∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,∴MO=MB,NO=NC,∵△AMN的周長(zhǎng)=AN+AM+MN=AN+AM+MB+NC=AB+AC又∵，，∴△AMN的周長(zhǎng)=5+7=12故答案為12.【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得出∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,進(jìn)而得出MO=MB,NO=NC,△AMN的周長(zhǎng)可以表示為AB+AC，即可解決問(wèn)題.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三邊，且，則的形狀是．【答案】等腰三角形【完整解答】∵，∴，即：，∵，，是的三邊，∴，，都是正數(shù)，∴與都為正數(shù)，∵，∴，∴，∴△ABC為等腰三角形，故答案為：等腰三角形.【思路引導(dǎo)】將等式兩邊同時(shí)加上得，然后將等式兩邊因式分解進(jìn)一步分析即可.19．（2分）（2019八上·長(zhǎng)安月考）如圖，∠BOC=60°，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，OA=10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t=s時(shí)，△POQ是等腰三角形.【答案】或10【完整解答】當(dāng)PO=QO時(shí)，△POQ是等腰三角形，如圖1所示當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t當(dāng)PO=QO時(shí)，解得當(dāng)PO=QO時(shí)，△POQ是等腰三角形，如圖2所示當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t當(dāng)PO=QO時(shí)，解得故答案為：或10【思路引導(dǎo)】根據(jù)△POQ是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)P在BO上，分別計(jì)算，即可得解.三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如圖，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD的中點(diǎn).試探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∵M(jìn)、N分別是AE、CD的中點(diǎn)，∴AM＝DN，在△ABM和△DBN中，，∴△BAM≌△BDN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，∴∠MBE+∠DBN＝90°，即：BM⊥BN，∴BM＝BN，BM⊥BN.【思路引導(dǎo)】易證△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的概念可得AM＝DN，證明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，據(jù)此解答.21．（10分）（2021八上·平原月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD（1）（3分）求證：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求證：AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)．（3）（4分）△DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：如圖證明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），（2）證明：∵E是AB中點(diǎn)，∴EB＝EA，∵AD＝BE，∴AE＝AD，∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°，∵∠6＝45°，∴∠6＝∠7，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，且EM＝DM，即AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)；（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．理由如下：∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，∴CD＝BD．∴△DBC是等腰三角形．【思路引導(dǎo)】（1）利用ASA證明三角形全等即可；

（2）先求出EB＝EA，再求出EM＝DM，最后證明求解即可；

（3）先求出CD＝BD，再求解即可。22．（10分）（2019八上·淮南期中）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.（2）（3分）如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?（3）（4分）如圖③，若△ABC中∠B的平分線(xiàn)BO與三角形外角平分線(xiàn)CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由.【答案】（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【思路引導(dǎo)】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．（2）由（1）的證明過(guò)程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過(guò)程中，與AB=AC的條件沒(méi)有關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．（3）思路與（2）相同，只不過(guò)結(jié)果變成了EF=BE-FC．23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，點(diǎn)為射線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）（1分）如圖①，若，則按邊分類(lèi)：是三角形，并證明；（2）（6分）若．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，判斷的形狀并證明；②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，是什么三角形？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出相應(yīng)的圖形并直接寫(xiě)出結(jié)論（不必證明）．【答案】（1）等邊（2）①△CEF為等腰三角形，證明：如圖2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠B，∴∠ACE=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB，∴∠EFC=∠ACE，∴CE=FE，∴△EFC為等腰三角形；②如圖③，△EFC為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，以AD為一邊在AD的左側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線(xiàn)EF，交直線(xiàn)AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接DE．證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠DBA，∴∠ECF=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ECF，∴EC=EF，∴△EFC為等腰三角形．【完整解答】解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，∴△DAB≌△EAC，∴∠ECA=∠B=60°，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB=60°，∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，∴△EFC為等邊三角形，故答案為：等邊；【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通過(guò)求證△EAC≌△DAB，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可推出△EFC為等邊三角形；（2）①根據(jù)（1）的推理方法，即可推出△EFC為等腰三角形；②根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，通過(guò)求證△EAC≌△DAB，推出等量關(guān)系，即可推出△EFC為等腰三角形．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線(xiàn)段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求證：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求證：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）證明：∵DE＝CE，∠C＝50°，∴∠C＝∠EDC＝50°.∵∠B＝∠C＝50°，∴∠B＝∠EDC，∴AB∥DE（2）證明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，∴∠BDA+∠CDE＝130°，∠CED+∠CDE＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∴△ABD≌△DCE（AAS）（3）解：可以.有以下三種可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE，則有∠DAE＝∠DEA＝65°.∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；②由（2）得∠BDA＝∠CED.∵點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B、C重合），∴AD≠AE；③當(dāng)EA＝ED時(shí)，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°.故答案為：(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)可以，115°或100°，理由見(jiàn)解析.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠C＝∠EDC＝50°，又∠B＝∠C＝50°，故∠B＝∠EDC，根據(jù)同位角相等，二直線(xiàn)平行得出AB∥DE；

（2）根據(jù)平角的定義及三角形的內(nèi)角和得出∠BDA+∠CDE＝130°=∠CED+∠CDE，故∠BDA＝∠CED，根據(jù)等量代換得出AB=DC，又∠B＝∠C，故利用AAS判