專題32軸對稱綜合與折疊問題(原卷版+解析)

專題32軸對稱綜合與折疊問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山東濱州·一模）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江寧波·一模）如圖，圓O與的邊相切，切點(diǎn)為．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在圓O上，邊交線段于點(diǎn)．若，半徑長為2，則的長度為（

）．A． B．2 C． D．3．（2022·廣東汕尾·九年級期中）如圖，將線段繞一個(gè)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則這個(gè)點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)4．（2022·天津·九年級期中）如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．5．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，并且點(diǎn)恰好落到線段上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊邊長為，和的角平分線相交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則DE=（

）A．2 B． C． D．7．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ．則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段CQ的最小值為（

）A．4 B．5 C．10 D．58．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，則的最大值是（

）A．6 B． C． D．9．（2022·福建省廈門集美中學(xué)九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．10．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，D為內(nèi)一點(diǎn)，分別連接PA、PB、PC，當(dāng)時(shí)，，則BC的值為（

）A．1 B． C． D．211．（2021·新疆·烏魯木齊市第132中學(xué)二模）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，線段CD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接AE，下列結(jié)論：①四邊形ADCE面積為9；②△ADE外接圓的半徑為；③AF∶FC=2∶7；其中正確的是(

)A．①②③ B．①③ C．①② D．②③二、填空題12．（2022·福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級期中）如圖，在中，，點(diǎn)，在線段上，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，．給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是___________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）13．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）如圖，將矩形紙片繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，取、的中點(diǎn)M、N，連接．若，．則線段長度的最大值為___________．14．（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，長方形中，，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到的位置，連接和，則的最小值為_____．15．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．三、解答題16．（2022·北京大興·九年級期中）在正方形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AB上，且，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC的延長線上，判斷的形狀，并說明理由；(2)若點(diǎn)F落在直線BC上，請直接寫出的面積.17．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在△ABC與△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD(1)如圖1①若BC=3DC，直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；(2)如圖2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段DE的長18．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測得，．(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．19．（2022·山西呂梁·九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形中，是上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，．(1)若，則的長為________．(2)求證：．(3)求的度數(shù)，及的最小值．20．（2022·河北·邢臺三中九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，連接，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)______，______，的最小值是______；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，若的面積為，求的值．21．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)九年級期中）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖；(2)在圖的條件下，延長，交于點(diǎn)，求證：．(3)在圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接，若點(diǎn)，，恰好在同一條直線時(shí)，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2022·吉林白城·九年級期中）[操作]如圖1．是等腰直角三角形，，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，作直線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)[探究]如圖2，連接圖1中的，分別取的中點(diǎn)M、N、P，作．若，則的周長為23．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)九年級期中）在中，，，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)A與D對應(yīng)）．(1)如圖，若點(diǎn)E落在邊上，連接，求的長；(2)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接．求的長；(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接，，垂足為F．求證：C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．24．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰在右側(cè)作等腰，且，過點(diǎn)作，且，連接，，．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，直接寫出線段與的關(guān)系為；(2)將圖①中的等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接，，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)若，，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請直接寫出的長．25．（2022·山東省濟(jì)南匯才學(xué)校九年級階段練習(xí)）在△ABC中，，，點(diǎn)P在平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖①，當(dāng)，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是．(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，請直接寫出當(dāng)C，P，D在同一直線上時(shí)，求的值．專題32軸對稱綜合與折疊問題【題型演練】一、單選題1．（2022·山東濱州·一模）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，從而求出．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·一模）如圖，圓O與的邊相切，切點(diǎn)為．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在圓O上，邊交線段于點(diǎn)．若，半徑長為2，則的長度為（

）．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△為等邊三角形，進(jìn)而可求出，再利用=15°，可證明△BCO是等腰三角形．【詳解】解：如圖，連接由題意得∶，∴△為等邊三角形，∴=60°，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO=90°．∴=90°，∴=30°，∵=15°，∴∠A=15°∴∠AOB=90°-∠A=75°，∴=75°，∴BC=BO=2．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查圓中切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓與切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·廣東汕尾·九年級期中）如圖，將線段繞一個(gè)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則這個(gè)點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等作圖可以得解．【詳解】如圖，連接、，分別作、的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)相交于點(diǎn)，因此點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及作法是解題關(guān)鍵．4．（2022·天津·九年級期中）如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得【詳解】∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C，旋轉(zhuǎn)角度是∴,∴是等腰直角三角形∴故選項(xiàng)是B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵5．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，并且點(diǎn)恰好落到線段上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過作⊥AO于C點(diǎn)，先通過解解直角三角形求出OA，再證△是等邊三角形，再在Rt△中通過解解直角三角形求出、AC，則問題得解．【詳解】過作⊥AO于C點(diǎn)，如圖，∵B(0,3)，∴OB=3，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠BAO=60°，∴在Rt△AOB中，AO=BO×tan∠B=3×tan30°=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∴△是等邊三角形，∴，∴在Rt△中，，，∴，∵在第二次象限，∴的坐標(biāo)為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，主要考查了解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊邊長為，和的角平分線相交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則DE=（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】過O點(diǎn)作OH⊥BC于H，OB1與BC交于點(diǎn)M，過M作MF⊥BO于F，求出BO=4，證明△BOM和△DMB1均為等腰三角形，求出BM和MD的值，進(jìn)而求出DC的長，最后證明△DEC為30°、60°、90°直角三角形，利用DE=CD即可求解．【詳解】解：過O點(diǎn)作OH⊥BC于H，OB1與BC交于點(diǎn)M，過M作MF⊥BO于F，如下圖所示：∵△ABC為等邊三角形，且OB、OC分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，∴△OBC為等腰三角形，由“三線合一”可知：BH=CH=BC=，∴BO=BH=4，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∠2=30°=∠1，∴△OBM為等腰三角形，由“三線合一”可知：BF=BO=2，∴MO=BM=BF=，∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，又由旋轉(zhuǎn)可知∠B=∠B1=30°，且對頂角∠BMO=∠DMB1=120°，∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，∴△MB1D為等腰三角形，∴MD=MB1=，∴CD=BC-MD-BM=，∵對頂角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，∴△CDE為30°、60°、90°直角三角形，∴DE=CD=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及判定等，熟練掌握特殊三角形的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ．則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段CQ的最小值為（

）A．4 B．5 C．10 D．5【答案】D【分析】將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，再設(shè)線段的中點(diǎn)為M，并連接CM．根據(jù)線段BP的旋轉(zhuǎn)方式確定點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，CQ取得最小值為CM．根據(jù)∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出和的長度，根據(jù)線段的和差關(guān)系確定點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，進(jìn)而確定CM是的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出CM的長度．【詳解】解：如下圖所示，將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，再設(shè)線段的中點(diǎn)為M，并連接CM．∵點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，∴點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動．∴當(dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，線段CQ取得最小值為CM．∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20，∴BC=10．∵Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴=BC=10，．∴．∴．∴點(diǎn)C是線段中點(diǎn)．∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴CM是的中位線．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30°所對的直角邊是斜邊的一半，垂線段最短，三角形中位線定理，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，P是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，則的最大值是（

）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性質(zhì)求出AQ的長度，根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，BQ取得最大值，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】解：如下圖所示，連接CP，AQ，以A為圓心，以AQ為半徑畫圓，延長BA交于E．∵正方形ABCD的邊長為4，的半徑為2，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，CP=2．∵點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，∴∠QDP=90°，QD=PD．∴∠ADC=∠QDP．∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC，即∠ADQ=∠CDP．∴．∴AQ=CP=2．∴AE=AQ=2．∵P是上任意一點(diǎn)，∴點(diǎn)Q在上移動．∴．∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，BQ取得最大值為BE．∴BE=AE+AB=6．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段的和差關(guān)系，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．（2022·福建省廈門集美中學(xué)九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，設(shè)，只要證得，利用全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得到，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則，∵四邊形是正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，

又，∴，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，∴的最小值為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，D為內(nèi)一點(diǎn)，分別連接PA、PB、PC，當(dāng)時(shí)，，則BC的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】將△BPA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，得到△BPM，△ABN是等邊三角形，證明C、P、M、N四點(diǎn)共線，且∠CAN=90°，設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】將△BPA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，到△BMN處，則△BPM，△ABN是等邊三角形，∠BPM=∠BMP=60°，∠BAN=60°，PM=PB，BA=BN，PA=MN，∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM=180°，∴C、P、M、N四點(diǎn)共線，∴CP+PM+MN=CP+PB+PA=，∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，∴∠CAN=90°，設(shè)BC=x，則AB=BN=2x，AC=，∴，解得x=，x=-，舍去，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2021·新疆·烏魯木齊市第132中學(xué)二模）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，線段CD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接AE，下列結(jié)論：①四邊形ADCE面積為9；②△ADE外接圓的半徑為；③AF∶FC=2∶7；其中正確的是(

)A．①②③ B．①③ C．①② D．②③【答案】A【分析】如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=2，連接DM，分別過D、A作，垂足為H、M，由△ABC的邊長為6的等邊三角形，得，，進(jìn)而證明△BDM的邊長為2的等邊三角形，△CDE的邊長為的等邊三角形，再證明，得到，于是有S四邊形ADCE=S梯形ABCE-，由，，得△ADE外接圓的半徑為，證明，判斷③正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，在BC上取一點(diǎn)M，使得BM=2，連接DM，分別過D、A作，垂足為H、M，△ABC的邊長為6的等邊三角形，，，BD=2，BM=2，△BDM的邊長為2的等邊三角形，，，，，，，，，，，線段CD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，△CDE的邊長為的等邊三角形，，，，，，，，，，S四邊形ADCE=S梯形ABCE-，因此①正確；，，△ADE外接圓的直徑為，△ADE外接圓的半徑為，因此②正確；，，，即，，，，AF∶FC=2∶7，因此③正確；故應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定、圖形的旋轉(zhuǎn)以及圓等知識，構(gòu)造輔助線證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2022·福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級期中）如圖，在中，，點(diǎn)，在線段上，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，．給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是___________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可以及即可判斷①；②中的兩個(gè)三角形只有一條邊和一個(gè)角相等，不能判定全等；根據(jù)全等的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷③；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵為直角三角形，，∵，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，∴，，∵，∴，在和中，，∴，故①正確；在和中，只有，，兩個(gè)條件不能判定全等，故②不正確；∵，∴∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故③正確；∵為直角三角形，，∴，即，整理得：，∵，∴，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．13．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校一模）如圖，將矩形紙片繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，取、的中點(diǎn)M、N，連接．若，．則線段長度的最大值為___________．【答案】【分析】由三角形中位線定理可求的長，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)H，連接，，，∵，，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∵將矩形紙片繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，∴，，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)H在上時(shí)，有最大值，最大值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，長方形中，，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到的位置，連接和，則的最小值為_____．【答案】【分析】如詳解圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．首先證明，推出點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動，推出當(dāng)時(shí)，的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D：將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．【答案】##【分析】先證明，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．證明，推出點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，求出可得結(jié)論．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題16．（2022·北京大興·九年級期中）在正方形ABCD中，，點(diǎn)E在邊AB上，且，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC的延長線上，判斷的形狀，并說明理由；(2)若點(diǎn)F落在直線BC上，請直接寫出的面積.【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析(2)或【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，由“HL”可證，可得，可得結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）是等腰直角三角形，理由如下：在正方形ABCD中，，落在邊BC的延長線上，將點(diǎn)E繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，，在和中，，，，，，即是等腰直角三角形；（2），，，，當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)，如圖2，，，，，的面積；當(dāng)點(diǎn)F恰好落在邊BC的延長線上時(shí)，如圖1，的面積，綜上所述，的面積為或【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．17．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在△ABC與△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD(1)如圖1①若BC=3DC，直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；(2)如圖2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段DE的長【答案】(1)①BD=3AE，②直線BD與AE所夾銳角為60°(2)【分析】（1）①通過△ABC∽△EDC證明△AEC∽△BDC即可，②延長AE與BD交于點(diǎn)F，通過（1）中的相似即可得出結(jié)果．（2）連接AD，AE，通過（1）中的相似可以證明四邊形ADCE為菱形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①BD=3AE∵在△ABC和△EDC中∴△ABC∽△EDC∴∠DCE=∠BCA，∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE∠BCD=∠ACE.在△AEC和△BDC中∴△AEC∽△BDC∴BD=3AE②夾角為60°如圖，延長AE與BD交于點(diǎn)F∵∠ACB=60°∴∠CBA+∠CAB=120°由（1）中△AEC∽△BDC可得∠EAC=∠DBC∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°∴在△AFB中∠AFB=60°∴直線BD與AE所夾銳角為60°（2）解：如圖，連接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，∴△ABC是等邊三角形由（1）可得△ABC∽△EDC∴△DEC為等邊三角形，∴DC=EC∵四邊形ADCE是平行四邊形∴平行四邊形ADCE是菱形∵AC為菱形ADCE對角線∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相似是解題關(guān)鍵．18．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測得，．(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．【答案】(1)垂直，理由見解析(2)或(3)平移的距離是【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，得，，推出，，進(jìn)而可得的大?。?）分兩種情形討論①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，均可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論（3）求平移的距離是的長度．在矩形中，，只要求出的長度就行．用得出對應(yīng)線段成比例，即可得到的大?。驹斀狻浚?）垂直．下面證明：延長交于點(diǎn)．由題意得．．，．．．（2）當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，∴∴，即；∴的度數(shù)為或（3）由題意知四邊形為矩形．設(shè)，則．在中，，．，．．在中，，．，，，解得即平移的距離是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運(yùn)用．19．（2022·山西呂梁·九年級期中）如圖，在邊長為6的正方形中，是上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，．(1)若，則的長為________．(2)求證：．(3)求的度數(shù)，及的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)，的最小值為．【分析】（1）過作于點(diǎn)，根據(jù)是的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理及中位線定理可知，，再由勾股定理即可求出的長；（2）連接，證出，進(jìn)而易求證；（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，求出，再根據(jù)垂線段最短找到的最小值為的長，進(jìn)而求出的長即可．【詳解】（1）解：過作于點(diǎn)，則，如下圖：∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴由中位線定理可知：，，∴在中，，∴；（2）證明：連接，∵，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴；（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：由（2）知，∴，，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在上運(yùn)動，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為的長，∵，，∴，∴，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線．20．（2022·河北·邢臺三中九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，連接，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)______，______，的最小值是______；(2)當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，若的面積為，求的值．【答案】(1)；；(2)或(3)或【分析】（1）解直角三角形即可得出的長，根據(jù)可得的長，當(dāng)時(shí)，的長最小，即的長最小，求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)；分求解即可；（3）分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，證明，根據(jù)三角形面積得出，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)；解直角三角形即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，由垂線段最短知，當(dāng)時(shí)，的長最小，即的長最小，如圖1，此時(shí)是等腰直角三角形．∵，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，，故答案為：；；；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖2，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如圖3，，，，，，綜上可知，的長為或；（3）分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，則，，，，．，，，．的面積為25，，又，，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖4．，；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如圖5，，，綜上可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，讀懂題意運(yùn)用分類討論的思想解題是關(guān)鍵．21．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)九年級期中）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)不與、重合，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖；(2)在圖的條件下，延長，交于點(diǎn)，求證：．(3)在圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接，若點(diǎn)，，恰好在同一條直線時(shí)，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形，即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由可證，可得，，由平角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可得，即可得出結(jié)論；（3）連接，如圖2，只要證明，，即可解決問題．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖1：（2）如圖，延長，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，，；（3）．證明：連接，如圖，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，四邊形是正方形，，，．，，，在中，，，在中，，又，，．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．22．（2022·吉林白城·九年級期中）[操作]如圖1．是等腰直角三角形，，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，作直線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)[探究]如圖2，連接圖1中的，分別取的中點(diǎn)M、N、P，作．若，則的周長為【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】[操作]（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證，然后由證即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形的外角性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（3）[探究]由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形中位線定理得，，則，然后證，則是等腰直角三角形，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，∴，即，在和中，，∴；（2）解：如圖1，設(shè)與交于點(diǎn)H，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴；（3）解：由（1）可知，，∴，∵M(jìn)、N、P分別是的中點(diǎn)，∴是△ABE的中位線，是的中位線，∴，，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴的周長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)九年級期中）在中，，，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)A與D對應(yīng)）．(1)如圖，若點(diǎn)E落在邊上，連接，求的長；(2)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接．求的長；(3)如圖，若旋轉(zhuǎn)角度為，連接，，垂足為F．求證：C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．【答案】(1)(2)；(3)證明見解析．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在直角三角形中，由勾股定理可求得的長度，再利用進(jìn)而求得答案；（2）延長交于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，又旋轉(zhuǎn)角，可證明是等邊三角形，則有，進(jìn)而可證明，所以，再根據(jù)等腰三角形三線合一，可求出的長，同理在中，可求出，則即可解之；（3）根據(jù)題意可得，在等腰三角形中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理可求得再根據(jù),確定四點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理得出最后計(jì)算等于，則得出結(jié)論．【詳解】（1）解：繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，在中，，，由勾股定理可得：，；（2）解：如圖所示：延長交于點(diǎn)F，旋轉(zhuǎn)角度為，，又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，是等邊三角形，，在和中，，，，平分，又是等邊三角形，，由勾股定理得：，在中，，又，，由勾股定理可得：，；（3）證明：依題意可得：，，，，，又，四點(diǎn)共圓，（同弧所對的圓周角相等），，C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的綜合，圓周角定理，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，屬于中考?？碱}型．24．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰在右側(cè)作等腰，且，過點(diǎn)作，且，連接，，．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，直接寫出線段與的關(guān)系為；(2)將圖①中的等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接，，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)若，，當(dāng)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請直接寫出的長．【答案】(1)且(2)成立，理由見解析(3)【分析】（1