北師版九年級數(shù)學(xué) 1.2矩形的性質(zhì)與判定（學(xué)習(xí)、上課課件）

2矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2矩形的定義矩形的性質(zhì)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)矩形的判定知識(shí)點(diǎn)矩形的定義知1－講1定義圖示數(shù)學(xué)表達(dá)式有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形∵在ABCD

中，∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，∴ABCD

是矩形知1－講知1－講特別提醒★矩形必須具備兩個(gè)條件：1.它是一個(gè)平行四邊形；2.它有一個(gè)角是直角，這兩個(gè)條件缺一不可.★由矩形的定義知：矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.知1－練例1【母題教材P19習(xí)題T3】如圖1-2-1，在△

ABC中，AB=AC，AD

是△

ABC的角平分線，O

為AB的中點(diǎn)，連接DO

并延長到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE．求證：四邊形AEBD

是矩形.解題秘方：緊扣矩形定義的“兩個(gè)條件”進(jìn)行證明.知1－練解題通法：根據(jù)矩形的定義判定矩形的方法知1－練證明：∵

O為AB

的中點(diǎn)，∴OB=OA.又∵

OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形.∵AB=AC，AD

是△ABC

的角平分線，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴四邊形AEBD是矩形.知1－練1-1.如圖，在△

ABC中，D

是BC

的中點(diǎn)，E

是AD，BF的中點(diǎn)，AB=AC.求證：四邊形ADCF

是矩形.知1－練知2－講知識(shí)點(diǎn)矩形的性質(zhì)2矩形是一種特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).矩形的性質(zhì)可以從邊、角、對角線、對稱性這四個(gè)方面來研究.總結(jié)如下表：知2－講圖形性質(zhì)數(shù)學(xué)表達(dá)式邊對邊平行AB∥CD，AD∥BC對邊相等AB=CD，AD=BC角矩形的四個(gè)角都是直角∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°知2－講圖形性質(zhì)數(shù)學(xué)表達(dá)式對角線矩形的對角線相等∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD對稱性是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，過每組對邊中點(diǎn)的直線是其對稱軸是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)知2－講

知2－練【母題教材P13例1】如圖1-2-2，在矩形ABCD

中，對角線AC，BD

相交于點(diǎn)O，∠

BOC=120°，AB=6.求：例2解題秘方：緊扣矩形的“角、對角線的性質(zhì)”進(jìn)行計(jì)算.知2－練(1)對角線的長；

知2－練(2)BC

的長；

知2－練(3)矩形ABCD

的面積.

知2－練2-1.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，若∠AOD=60°，OB=4，則DC=_______.知2－練2-2.如圖，直線EF過矩形ABCD對角線的交點(diǎn)O，分別交AB，CD

于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則陰影部分的面積為_______.3知2－練如圖1-2-3，已知四邊形ABCD

為矩形，AE∥BD，且交CB的延長線于點(diǎn)E.求證：AE=AC.解題秘方：緊扣矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明．例3知2－練技巧點(diǎn)撥：線段相等新證法矩形的對角線相等且互相平分，這給我們提供了證明線段相等的新法．當(dāng)證明兩條線段相等時(shí)，可通過等量代換將這兩條線段轉(zhuǎn)化為某個(gè)四邊形的對角線，只要我們證明該四邊形為矩形，就能得出線段相等．知2－練證法一：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AC=BD，AD∥BC.∵AE∥BD，∴四邊形AEBD

是平行四邊形.∴AE=BD.∴AE=AC．知2－練

知2－練3-1.如圖，在矩形ABCD

中，AC

與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF

⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF.知2－練知3－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)3定理圖示數(shù)學(xué)表達(dá)式直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

知3－講知3－講特別提醒1.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)面積相等的等腰三角形.2.此性質(zhì)是解決線段倍分問題的重要依據(jù)，其逆命題是直角三角形的一種判定方法.知3－練如圖1-2-5，BD，CE是△

ABC的兩條高，M，N分別是BC，DE

的中點(diǎn).求證：MN⊥DE.例4思路導(dǎo)引：知3－練

知3－練4-1.如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，點(diǎn)D

為BC

上一點(diǎn)且AD

⊥AB，點(diǎn)E

是BD

的中點(diǎn)，連接AE.知3－練(1)求證：∠AEC=∠C；知3－練(2)求證：BD=2AC；證明：由(1)可知BD＝2AE，∠AEC＝∠C，∴AE＝AC.∴BD＝2AC.知3－練(3)若AE=8.5，AD=8，求△

ABE的周長.知4－講知識(shí)點(diǎn)矩形的判定4知4－講判定方法圖示數(shù)學(xué)表達(dá)式角定義法有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形在ABCD

中，∵∠B=90°，∴ABCD是矩形定理有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD

是矩形知4－講判定方法圖示數(shù)學(xué)表達(dá)式對角線定理對角線相等的平行四邊形是矩形在ABCD

中，∵AC=BD，∴ABCD是矩形知4－講

知4－練如圖1-2-6，點(diǎn)O

是線段AB

上的一點(diǎn)，OA=OC，OD

平分∠AOC，且OD

交AC

于點(diǎn)D，OF

平分∠COB，CF⊥OF

于點(diǎn)F.求證：四邊形CDOF是矩形.例5知4－練解題秘方：緊扣等腰三角形的三線合一、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)找到四邊形的角的關(guān)系，進(jìn)而判定四邊形的形狀.知4－練證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.∵∠

AOC＋∠

BOC=180°，∴2∠

COD＋2∠COF=180°.∴∠COD＋∠COF=90°.∴∠DOF=90°.∵OA=OC，OD

平分∠

AOC，∴

OD⊥AC，∴∠CDO=90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°.∴四邊形CDOF

是矩形.此處依據(jù)“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”進(jìn)行判定.知4－練5-1.如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH

是矩形．知4－練知4－練如圖1-2-7，在四邊形ABCD

中，AD∥BC，E，F(xiàn)

兩點(diǎn)在邊BC

上，AB∥DE，AF∥DC，且四邊形AEFD

是平行四邊形.例6知4－練(1)AD

與BC

有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；解：BC=3AD.理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形.∴AD=BE，AD=FC.又∵四邊形AEFD

是平行四邊形，∴AD=EF.∴AD=BE=EF=FC.∴BC=3AD.知4－練(2)當(dāng)AB=DC

時(shí)，求證：

AEFD是矩形.證明：∵四邊形ABED

和四邊形AFCD

都是平行四邊形，∴

DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF.∴AEFD是矩形.解題秘方：緊扣“平行四邊形”這一前提，從“對角線相等”入手進(jìn)行證明.知4－練6-1.如圖，將平行四邊形ABCD

的邊DC

延長到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC

于點(diǎn)F，∠AFC=2∠D，連接AC，BE.求證：四邊形ABEC是矩形．知4－練證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D.∵CE＝DC，∴AB＝EC.∴四邊形ABEC是平行四邊形．