滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué) 23.2 解直角三角形及其應(yīng)用（學(xué)習(xí)、上課課件）

23．2解直角三角形及其應(yīng)用第二十三章解直角三角形第1課時(shí)解直角三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2解直角三角形的定義直角三角形中的邊角關(guān)系知識(shí)點(diǎn)解直角三角形的定義知1－講1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.知1－講注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)元素是邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三).(2)一個(gè)直角三角形可解，則其面積可求，但在解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積.知1－講深度理解1.已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橹挥薪堑臈l件，三角形邊的大小不唯一，即有無數(shù)個(gè)三角形符合條件.2.已知一角一邊時(shí)，角必須為銳角，若為已知直角，則不能求解.知1－練根據(jù)下列所給的條件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角邊及其對(duì)角；②已知兩銳角；③已知兩直角邊；④已知斜邊和一銳角；⑤已知一直角邊和斜邊.A.②③ B.②④ C.只有② D.②④⑤例1知1－練解題秘方：緊扣解直角三角形中“知二求三”的特征進(jìn)行解答.答案：C解：①能夠求解；②不能求解；③能夠求解；④能夠求解；⑤能夠求解.知1－練感悟新知

45°45°3知2－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形中的邊角關(guān)系21.

直角三角形中的邊角關(guān)系如圖23.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則有下列關(guān)系：三邊關(guān)系a2＋b2＝c2銳角關(guān)系∠A

＋∠B＝90°邊角關(guān)系

知2－講2.解直角三角形的類型和方法已知條件選擇的邊角關(guān)系兩邊兩直角邊(

a，b)斜邊、一直角邊(

c，a)知2－講一邊一角一直角邊、一銳角銳角、鄰邊(∠A，b)銳角、對(duì)邊(∠A，a)斜邊、一銳角(c，∠A)∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA

知2－講活學(xué)巧記口訣記憶法：有斜求對(duì)乘正弦，有斜求鄰乘余弦，無斜求對(duì)乘正切.“有斜求對(duì)乘正弦”的意思是：在一個(gè)直角三角形中，對(duì)一個(gè)銳角而言，如果已知斜邊長(zhǎng)，要求該銳角的對(duì)邊長(zhǎng)，那么就用斜邊長(zhǎng)乘該銳角的正弦，其他口訣的意思可類推.知2－練

解題秘方：緊扣“直角三角形的邊角關(guān)系”選擇合適的表達(dá)式求解.例2

知2－練

知2－練

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練[母題教材P125練習(xí)T2]根據(jù)下列條件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解題秘方：求邊時(shí)，一般用未知邊比已知邊(或已知邊比未知邊)，去找已知角的某一個(gè)三角函數(shù).例3知2－練(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

知2－練(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(2)

b＝7.234，∠A＝7°20′(長(zhǎng)度精確到0.001)

.解直角三角形解直角三角形依據(jù)定義條件三邊之間的關(guān)系銳角之間的關(guān)系邊角之間的關(guān)系23．2解直角三角形及其應(yīng)用第二十三章解直角三角形第2課時(shí)解直角三角形的應(yīng)用逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2解直角三角形在解實(shí)際問題中的應(yīng)用解直角三角形在解仰角和俯角中的應(yīng)用解直角三角形在解方向角問題中的應(yīng)用解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用坐標(biāo)系中直線與x

軸的夾角知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解實(shí)際問題中的應(yīng)用知1－講11.

利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；(2)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識(shí)解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實(shí)際問題的答案.知1－講2.

解決實(shí)際問題時(shí)，常見的基本圖形及相應(yīng)的表達(dá)式圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續(xù)表圖形表達(dá)式圖形表達(dá)式知1－講特別提醒1.當(dāng)實(shí)際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.2.若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補(bǔ)的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識(shí)求解.3.問題中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的直角三角形，當(dāng)用其中一個(gè)直角三角形不能求解時(shí)，可考慮分別由兩個(gè)直角三角形找出含有相同未知元素的表達(dá)式，運(yùn)用方程求解.知1－練感悟新知[母題教材P126例3]如圖23.2-8所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離地面的距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計(jì)劃在樓Ⅰ的正南方距樓Ⅰ30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時(shí)刻太陽光線與地面成30°角時(shí)，要使樓Ⅱ的影子不影響樓Ⅰ所有住戶的采光，新建樓Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－練感悟新知解：設(shè)正午時(shí)刻，太陽光線正好照在樓Ⅰ一樓的窗臺(tái)處，此時(shí)新建居民樓Ⅱ高EG=xm，如圖23.2-8所示，過點(diǎn)C

作CF⊥EG

于點(diǎn)F，則FG=CM=2m.解題秘方：將實(shí)際應(yīng)用問題建模成解直角三角形問題.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知1-1.

[模擬·宿州]合肥包公園是合肥市有名的4A級(jí)旅游景區(qū)，是為了紀(jì)念北宋著明清官包拯而修建的園林.為了讓游客能更好地休息，在園中設(shè)計(jì)如圖所示的涼亭，點(diǎn)D，A，E

在同一水平線上，測(cè)得∠DAC=79°，∠BCA=109°，AC=2m，AN=1.35m，求涼亭最高點(diǎn)到地面的距離BN的長(zhǎng).(sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，結(jié)果精確到0.1m)知1－練感悟新知解：過點(diǎn)C作CF⊥BN于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，則∠AGC＝90°，∠BFC＝90°.易得四邊形CGNF為矩形，∴CF∥GN，CG＝FN，CF＝GN.∴∠ACF＝∠DAC＝79°.∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝30°.在Rt△ACG中，CG＝AC·sin∠GAC≈2×0.98＝1.96(m)，知1－練感悟新知知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.知1－練

知1－練

知1－練感悟新知2-1.如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB

上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC=100米，∠PCA=35°，則小河寬PA

等于(

)

A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C知2－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解仰角和俯角問題中的應(yīng)用21.

仰角和俯角的定義在進(jìn)行高度測(cè)量時(shí)，由視線與水平線所夾的角中，當(dāng)視線在水平線上方時(shí)叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時(shí)叫做俯角.知2－講2.

示圖如圖23.2-10所示.知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線的位置相對(duì)于水平線而言的，可巧記為“上仰下俯”.2.實(shí)際問題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練如圖23.2-11，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿CD的高度，先在教學(xué)樓的底端A處，觀測(cè)到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測(cè)到旗桿底端D的俯角是30°，已知教學(xué)樓AB高4m.解題秘方：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解.例3知2－練(1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD(結(jié)果保留根號(hào))；

知2－練(2)求旗桿CD的高度.

知2－練感悟新知3-1.

[月考·合肥]浮山是安徽省名山之一，也是我國(guó)著名文山，山上有大量的摩崖石刻，奇峰異石，有大小七十二個(gè)溶洞．如圖，為了測(cè)量浮山與學(xué)校的相對(duì)高度DO，某校數(shù)學(xué)興趣小組在操場(chǎng)A

處觀測(cè)到山頂最高點(diǎn)D的仰角為35°，向著山的方向前進(jìn)20米后到達(dá)點(diǎn)B，觀測(cè)到知2－練感悟新知山頂最高點(diǎn)D

的仰角為37°.求浮山與學(xué)校的相對(duì)高度DO.(參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知2－練感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解方向角問題中的應(yīng)用31.

方向角的定義一般地，指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點(diǎn)的指北方向線起，按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖23.2-12，目標(biāo)方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°.南偏東45°習(xí)慣上又叫做東南方向，北偏東45°習(xí)慣上又叫做東北方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向，南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向.知3－講特別提醒1.因?yàn)榉较蚪鞘侵副被蛑改系姆较蚓€與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解決實(shí)際問題時(shí)，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.3.觀測(cè)點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數(shù)學(xué)模型后，用化斜為直法，將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題求解.知3－練解：如圖23.2-11，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠AEC=∠BEC=90°.易得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°=∠CBE，

∴BE=CE.(1)分別求出A與C及B與C的距離AC，BC(結(jié)果保留根號(hào))；知3－練

知3－練

知3－練

知3－練感悟新知4-1.

[中考·安徽]如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B

兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B

均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D

的北偏西53°方向上.求A，B兩點(diǎn)間的距離.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知3－練感悟新知解：如圖，易知∠ADB＝53°，∠ECA＝37°，∠ADC＝90°，CE∥AD，∴∠BDC＝90°－53°＝37°，∠A＝∠ECA＝37°.∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°.∴∠ABD＝90°.在Rt△BCD中，∠BDC＝37°，CD＝90米，知3－練感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解坡角、坡度問題中的應(yīng)用41.

坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖23.2-14中的α.知4－講(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平長(zhǎng)度l的比叫做坡度(坡比)(如圖23.2-14所示)，坡度(坡比)也可寫成i＝h∶l的形式，在實(shí)際應(yīng)用中常表示成1∶x的形式.知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數(shù).2.表示坡度時(shí)，通常把比的前項(xiàng)取作1，后項(xiàng)可以是小數(shù).3.坡面的傾斜程度通?？捎闷露缺硎?坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知3－練感悟新知[母題教材P129例6]如圖23.2-15，水壩的橫斷面為梯形ABCD，迎水坡BC

的坡角為30°，背水坡AD

的坡度為1：1.2，壩頂寬DC

＝2.5米，壩高4.5米．求：(1)迎水坡BC

的長(zhǎng)；(2)迎水坡BC

的坡度；(3)壩底AB

的長(zhǎng)．例5知3－練感悟新知解題秘方：緊扣坡角和坡度的定義，構(gòu)造直