湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 3.4 相似三角形的判定與性質(zhì)（學(xué)習(xí)、上課課件）

3.4相似三角形的判定與性質(zhì)第三章圖形的相似第1課時(shí)

相似三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平行線截三角形相似的定理角的關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理知1－講11.

定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似.深度理解“與其他兩邊相交”是指與其他兩邊所在直線相交.知1－講數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.4-1，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知1－講2.

作用：本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理，它通過(guò)平行證三角形相似，再由相似證對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.知1－講特別提醒◆書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.◆根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE，圖3.4-1①②很像大寫(xiě)字母A，故我們稱(chēng)之為“A”型相似；圖3.4-1③很像大寫(xiě)字母X，故我們稱(chēng)之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).知1－練[母題教材P78例2]如圖3.4-2所示，已知在?

ABCD中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB＝3BE，DE與BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.解題秘方：緊扣“平行線截三角形相似的兩種基本圖形：‘A’型和‘X’型”進(jìn)行查找.例1知1－練

知1－練感悟新知1-1.

[期末·婁底]如圖，在平行四邊形ABCD中，E

是AB

邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，交AC

于點(diǎn)G，交BC

于點(diǎn)F，那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)A．6對(duì)

B．5對(duì)C．4對(duì)

D．3對(duì)B知1－練

例2知1－練答案：D解題秘方：掌握平行線截三角形相似的定理和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

知1－練感悟新知

知2－講知識(shí)點(diǎn)角的關(guān)系判定三角形相似定理21.

相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.2.

數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.4-4所示，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知2－講特別提醒由兩角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)、同弧所對(duì)的圓周角(以后會(huì)學(xué)到)都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知2－講3.

常見(jiàn)的相似三角形的類(lèi)型：(1)“平行線”型：如圖3.4-5①，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.(2)“相交線”型：如圖3.4-5②，若∠AED＝∠B，則△AED∽△ABC.知2－講(3)“子母”型：如圖3.4-5③，若∠ACD＝∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖3.4-5④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，則△ACB∽△DEC.整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱(chēng)為“K”型相似.知2－練如圖3.4-6，在△ABC中，AD是角平分線，AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF.求證：△ABF∽△CAF.例3感悟新知解題秘方：緊扣“兩角分別相等的兩三角形相似”證明.由于∠BFA是公共角，因此只需說(shuō)明∠B＝∠4即可.知2－練知2－練證明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD

－∠2，∴∠B

＝∠4.∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知2－練感悟新知3-1.

【二?！V州越秀區(qū)】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E

為BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B，點(diǎn)C

重合)，連接DE

并延長(zhǎng)，交AB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△CDE∽△AFD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AF，∠C＝∠A.∴∠CDE＝∠F.∴△CDE∽△AFD.知3－講知識(shí)點(diǎn)邊角關(guān)系判定三角形相似定理31.

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類(lèi)似于判定三角形全等的SAS的方法.知3－講

知3－練如圖3.4-8，在正方形ABCD中，P是BC上的一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn).求證：△ADQ∽△QCP.解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.例4知3－練

知3－練感悟新知4-1.

[期末·岳陽(yáng)]如圖，在△ABC

中，AB=6，AC=9，點(diǎn)D，E

分別在AB，AC

上，D

為AB的中點(diǎn)，CE＝7.求證：△AED∽△ABC.知3－練知4－講知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理41.

相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.知4－講

知4－練圖3.4-10、圖3.4-11中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖3.4-11中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖3.4-10中的△ABC相似？例5知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形三邊的長(zhǎng)，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”判斷.知4－練

知4－練感悟新知5-1.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ACB

和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED

的延長(zhǎng)線交AB

于點(diǎn)

F．求證：(1)△ACB

∽△DCE；知4－練感悟新知(2)EF⊥AB．證明：∵△ACB∽△DCE，∴∠A＝∠EDC.又∵∠E＋∠EDC＝90°，∴∠E＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，即EF⊥AB.相似三角形的判定相似三角形的判定邊、角角角邊角邊邊邊邊平行線截三角形相似3.4相似三角形的判定與性質(zhì)第三章圖形的相似第2課時(shí)

相似三角形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相似三角形面積的比知識(shí)點(diǎn)相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比知1－講11.

定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.即：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.深度理解對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線與對(duì)應(yīng)角平分線分別是指相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線與對(duì)應(yīng)內(nèi)角的平分線.知1－講特別提醒：(1)注意“對(duì)應(yīng)”二字，應(yīng)用時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段；(2)相似比是有順序的，不能顛倒相似三角形中元素的順序.知1－講2.

相似三角形周長(zhǎng)的比：相似三角形周長(zhǎng)的比等于它們的相似比.知1－練[中考·東營(yíng)]如圖3.4-18，在△ABC中，點(diǎn)F，G在BC上，點(diǎn)E，H分別在AB，AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高．BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

例1知1－練解題秘方：將求線段長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求相似三角形對(duì)應(yīng)高的比的問(wèn)題進(jìn)行求解.知1－練

知1－練解法提醒∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，EF⊥BC.又∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EH.∵EH∥BC，EF⊥BC，MD⊥FG，∴MD＝EF.知1－練感悟新知

D知1－練[中考·連云港]△ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的△DEF，其最長(zhǎng)邊為12，則△DEF

的周長(zhǎng)是()A.54 B.36 C.27 D.21解題秘方：緊扣“相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比”列方程求解.例2

知1－練解：：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長(zhǎng)邊為4，△DEF的最長(zhǎng)邊為12，∴△ABC與△DEF的相似比為4∶12=1∶3，∴△DEF的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為3∶1，∴△DEF的周長(zhǎng)為3×(2＋3＋4)＝27.答案：C知1－練感悟新知2-1.

[期末·嘉峪關(guān)]兩個(gè)三角形的相似比為1∶4，它們的周長(zhǎng)之差為27cm，則較小的三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)______

．9cm知2－講知識(shí)點(diǎn)相似三角形面積的比2

知2－講活學(xué)巧記兩個(gè)相似三角形，各角對(duì)應(yīng)都相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.感悟新知知2－練[中考·阜新]如圖3.4-19，在矩形ABCD

中，E

是AD

邊上一點(diǎn)，且AE

＝2DE，BD

與CE相交于點(diǎn)F，若△DEF

的面積是3，則△BCF

的面積是________．例327知2－練感悟新知解題秘方：利用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”求解.解：∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠EDF

＝∠CBF.∵∠EFD

＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF.∵