2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）3.1.1 橢圓的標準方程

3.1橢圓3.1.1橢圓的標準方程A級必備知識基礎練1.若方程x2m+y22-m=1A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)2.橢圓x225+y216=1與y軸的一個交點為P,兩個焦點為F1,F2,則△PF1A.6 B.8 C.10 D.123.橢圓的焦距為8,且2a=10,則該橢圓的標準方程是()A.x225+B.x225+y29C.x2100+D.x2100+y2364.[2024甘肅武威高二開學考試]“-1<m<7”是“方程x2m+1+y27-m=A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.橢圓x212+y23=1的一個焦點為F1,點P在橢圓上,如果線段PF1的中點M在y軸上,A.±34 B.±22 C.±32 D6.橢圓x24+y2=1的左、右焦點為F1,F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,則|PF2|=(A.32 B.3 C.72 D7.(多選題)若橢圓x24+y2m=1(m>0)的焦距為2,A.3 B.15 C.5 D.18.若橢圓的焦點坐標為(±3,0),且橢圓經(jīng)過點(4,0),則橢圓的標準方程為.

9.已知橢圓的兩焦點F1,F2在x軸上,且過點A(-4,3).若F1A⊥F2A,求橢圓的標準方程.B級關鍵能力提升練10.若動點M(x,y)滿足方程(x-2)2+y2+A.x225+y216=C.x225+y24=11.已知F1,F2是橢圓C:x24+y2=1的兩個焦點,P為橢圓C上一點,且△PF1F2的面積為S△PF1F2=3,A.π6 B.πC.π2 D.12.已知橢圓x29+y22=1的焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則三角形F1PFA.32 B.3 C.23 D.413.如圖,已知F(-5,0)為橢圓C的左焦點,P為橢圓C上一點,滿足|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的方程為()A.x236+y216=C.x249+y224=14.已知點F為橢圓C1:x28+y24=1的右焦點,點P為橢圓C1與圓C2:(x+2)2+y2=18的一個交點A.1 B.2 C.2 D.2215.已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,點M在C上,|MF1||MF216.[2024甘肅武威高二期中]橢圓x225+y29=1的兩焦點為F1,F2,一直線過F1交橢圓于A,B兩點,則△17.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓C上一點,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+3(1)求橢圓C的標準方程;(2)求點P的坐標.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC的頂點為A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢圓x225+y29=1上,

3.1.1橢圓的標準方程1.D方程x2m+y22解得m的取值范圍為(0,1)∪(1,2),故選D.2.D由橢圓方程可得c2=25-16=9,則|F1F2|=2c=6.設點P的縱坐標為yP,在橢圓x225+y216=1中,令x=0,則|yP|=4,從而三角形的面積為S=123.B由橢圓的焦距為8,且2a=10,可得a=5,c=4,則b=a2-所以橢圓方程為x225+y29=1或y4.B由7-m>m+1>0,解得-1<m<3,所以“方程x2m+1+y27-m=1表示焦點在因為(-1,3)?(-1,7),所以“-1<m<7”是“方程x2m+1+y27-m=15.D∵線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點(F2為橢圓的另一個焦點),∴PF2⊥x軸,∴點P的橫坐標是±3.∵點P在橢圓上,∴3212+y23=1,即y2=34,∴y=±326.C由橢圓x24+y2=1,可知c=4-1=3.設點P的縱坐標為yP,所以當x=-3時,|PF又因為|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=72,故選C7.AC橢圓x24+y2m=1(m>0)的焦距為2,當焦點在x軸時,4-m=1,解得m=3,當焦點在y軸時,m8.x216+y27=1由題可知橢圓焦點在x軸上,故設橢圓方程為x2a故橢圓的標準方程為x216+9.解設所求橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦點為F1(-c,0),∵F1A⊥F2A,∴F1A·又F1A=(-4+c,3),F2A=(∴(-4+c)(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0).∴2a=|AF1|+|AF2|=(-4+5)2+∴a=210,∴b2=a2-c2=(210)2-52=15.故所求橢圓的標準方程為x240+10.B方程(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10表示動點M(x,y)到兩個定點(±2,0)的距離之和為定值10,且10>2+2,由橢圓的定義可得動點M的軌跡是橢圓,且a=5,c=因此橢圓的標準方程為x225+y22111.D(方法1)由已知a=2,b=1,c=3,設|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,∴m2+2mn+n2=16.在△PF1F2中,m2+n2-2mncos∠F1PF2=(2c)2,∴16-2mn-2mncos∠F1PF2=12,即mn+mncos∠F1PF2=2.又S△PF1F2=12mn∴23sin∠∵∠F1PF2∈(0,π),∴∠F1PF2=2π3.故選(方法2)由橢圓C:x24+y2=1可知b2因此S△PF1F2=3=b2tan∠F1PF22=tan∠F1PF22,且有12.C由已知得2a=6,2c=27.因為|PF1|=4,所以|PF2|=2.由余弦定理得cos∠F1PF2=22+4因為∠F1PF2∈(0,π),所以∠F1PF2=2π則△F1PF2的面積S△F1PF2=12×故選C.13.C由題意可得c=5,設右焦點為F',連接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=102-62=8,由橢圓的定義,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,從而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=14.B由題意得F(2,0),左焦點為F1(-2,0),圓(x+2)2+y2=18的圓心坐標為(-2,0),半徑為32,因此圓的圓心恰好為橢圓的左焦點.P為橢圓與圓的一個交點,根據(jù)橢圓和圓的定義可得|PF|+|PF1|=2a=42,|PF1|=32,所以|PF|=2.15.5因為F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,點M在C上,所以所以|MF1||MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2,當且僅當又因為|MF1||MF2|的最大值為25,所以a=5.16.20由x225+y29=1,得a2因為A,B兩點都在橢圓上,所以由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10.因為|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.17.解(1)設橢圓C的焦距為2c,由橢圓的定義有a=|PF1在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2+3)2+(2-3)2+(2+3)(2-3)=15,即4c2=15,得c2=154,c=152,b2=a2-c2=4-154=14,故橢圓(2)設點P的坐標為(m,n)(m>0),△PF1F2的面積S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|sin120°