數(shù)學(xué)單元檢測(cè)：第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本講測(cè)評(píng)（時(shí)間90分鐘,滿分100分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分,共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1圓在平面上的平行投影可能是()A．圓B．橢圓C．線段D．以上都有可能2已知橢圓eq\f（x2,25)＋eq\f（y2,16）＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（)A．2B．3C．5D．73設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f（5,13)，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為…(）A。eq\f（x2，16)－eq\f（y2,9）＝1B.eq\f(x2,169）－eq\f(y2，25)＝1C.eq\f（x2,9)－eq\f（y2，16)＝1D。eq\f（x2，169)－eq\f(y2，144)＝14已知平面β與一圓柱斜截口(橢圓)的離心率為eq\f(\r（3),2），則平面β與圓柱母線的夾角是()A．30°B．60°C．45°D．90°5若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的最大面積為1，則長(zhǎng)軸的最小值為(）A。eq\r(2)B．2C。eq\r（5)D．2eq\r(2)6對(duì)于半徑為4的圓在平面上的投影的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．射影為線段時(shí)，線段的長(zhǎng)為8B．射影為橢圓時(shí),橢圓的短軸可能為8C．射影為橢圓時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸可能為8D．射影為圓時(shí)，圓的直徑可能為47若雙曲線的兩條準(zhǔn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)是兩頂點(diǎn)間線段的三等分點(diǎn)，則其離心率為（)A.eq\r（3）B．2C．3D．2eq\r(3）8設(shè)過(guò)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)的弦為MN，則以MN為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線（)A．相交B．相切C．相離D．不能確定9若雙曲線eq\f（x2,9）－y2＝1的兩焦點(diǎn)是F1、F2，A是該曲線上一點(diǎn)，且｜AF1|＝5,那么|AF2｜等于(）A．5＋eq\r(10)B．5＋2eq\r(10）C．8D．1110一圓錐面的母線與軸線成α角,不過(guò)頂點(diǎn)的平面和軸線成β角，且與圓錐面的交線是橢圓，則β和α的大小關(guān)系為()A．β〉αB．β<αC．β＝αD．無(wú)法確定二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)11一條直線在平面上的正射影是__________．12在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球,一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π和圓錐面均相切，則兩切點(diǎn)是所得圓錐曲線的__________．13一圓面積為5，該圓與平行射影方向垂直,其射影面積為10，則平行射影方向與射影面的夾角是__________．14將兩個(gè)半徑為2cm的球嵌入底面半徑為2cm的圓柱中,使兩球球心的距離為6cm；用一個(gè)平面分別與兩個(gè)球相切，所成的截線為一個(gè)橢圓，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______，短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____，焦距為_(kāi)_____，離心率為_(kāi)_____．三、解答題（本大題共4個(gè)小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15（12分）求與圓(x＋2)2＋y2＝2外切，并且過(guò)定點(diǎn)B（2，0)的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．16（12分）如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為A，準(zhǔn)線為l,過(guò)F作PF⊥AF，求證：AF＝eq\f(1,2）PF17(12分)我們已經(jīng)知道方程eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a〉b〉0)表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，試根據(jù)方程的特征，探求橢圓的一些幾何性質(zhì)．18（14分）求證：三角形的中位線平行射影具有不變性．參考答案1解析:（1）圓所在平面與平面平行時(shí)，該圓的正投影是圓．（2）圓所在平面與平面斜交時(shí)，即平行投影是橢圓．(3)圓所在平面與投影面垂直時(shí)，該圓的正投影是線段．答案:D2解析：因P在橢圓eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,16）＝1上，設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,則PF1＋PF2＝2a＝10,∴P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10－3＝7.答案:D3解析：由題意知2a＝26,∴a＝13。又e＝eq\f(5，13)，∴c＝5。C2為雙曲線,2a′＝8，∴a′＝4。雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，故c′＝5,b′＝3.故其方程為eq\f（x2,16）－eq\f（y2,9）＝1。答案：A4解析：設(shè)平面β與母線夾角為φ,則cosφ＝eq\f（\r(3),2)，∴φ＝30°。答案：A5解析：作出右圖所示圖形，在橢圓上取一點(diǎn)P(x，y），S△PF1F2＝eq\f（1，2）·2c·｜y｜＝c|y|.當(dāng)P點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，｜y|最大為b。所以Smax＝bc。又bc＝1,所以a2＝b2＋c2≥2bc＝2。所以2a≥2eq\r（2）。答案：D6解析：射影為圓時(shí)，應(yīng)為正射影，所得的圓與已知圓完全一樣，故其直徑為8。答案：D7解析：設(shè)方程為eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1，由題意知3×eq\f（2a2，c）＝2a.∴e＝eq\f(c,a）＝3.答案：C8解析：根據(jù)拋物線的離心率為1，可知MN的長(zhǎng)恰好等于過(guò)M、N兩點(diǎn)所作準(zhǔn)線的垂線段的長(zhǎng)度和，可得結(jié)論．答案：B9解析：由A是雙曲線上一點(diǎn)，故||AF1｜－｜AF2|｜＝2a＝6，而｜AF1|＝5,∴|5－｜AF2||＝6?！啵麬F2|＝－1或11?！鄚AF2｜＝11。答案：D10答案：A11解析:當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線在平面上的正射影是點(diǎn)；當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線在平面上的正射影是直線．答案:一個(gè)點(diǎn)或一條直線12答案:兩個(gè)焦點(diǎn)13解析：如圖，BC為射影方向,顯然AB所在平面為圓所在平面，AC所在平面為射影面，設(shè)α為射影方向與射影面的夾角，利用sinα＝eq\f(5,10)＝eq\f（1,2)，解得α＝30°，即夾角是30°。答案：30°14答案：642eq\r（5）eq\f（\r(5），3）15解：圓（x＋2)2＋y2＝2的圓心為A(－2,0），半徑為eq\r（2).設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r.由已知條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(｜MA｜＝r＋\r（2），|MB|＝r))?|MA|－｜MB|＝eq\r（2),所以點(diǎn)M的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a＝eq\f(\r(2）,2)，c＝2。所以b2＝eq\f（7,2）.所以點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2，\f（1，2））－eq\f(y2,\f（7,2)）＝1(x>eq\f(\r（2),2）)．16證明：過(guò)P作PB⊥l于B，由拋物線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，PB＝PF,AH＝AF.又HF＝BP,∴AF＝eq\f(1,2）HF＝eq\f（1,2)BP＝eq\f(1，2）PF。17解：x、y軸是橢圓的對(duì)稱軸,原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，4個(gè)頂點(diǎn)分別為(±a,0)，（0，±b),－a≤x≤a