數(shù)學(xué)單元檢測：第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教版A4—5第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元檢測(時間：90分鐘滿分：100分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N＋時，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時，當(dāng)n＝1時原式為（）A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋22．從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階,每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有f（n）種走法,則下面的猜想正確的是（)A．f（n）＝f(n－1）＋f（n－2)（n≥3） B．f（n）＝2f(n－1)(n≥2C．f（n）＝2f（n－1）－1（n≥2） D．f(n）＝f（n－1）f（n－2)(n≥33．用數(shù)學(xué)歸納法證恒等式1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊應(yīng)同時加上(）A. B． C. D.4．凸n邊形有f（n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f（n＋1）為（)A．f（n)＋n＋1 B．f（n)＋n C．f（n)＋n－1 D．f(n）＋n－25．下列說法中正確的是()A．若一個命題當(dāng)n＝1,2時為真,則此命題為真命題B．若一個命題當(dāng)n＝k時成立且推得n＝k＋1時也成立，則這個命題為真命題C．若一個命題當(dāng)n＝1，2時為真，則當(dāng)n＝3時這個命題也為真D．若一個命題當(dāng)n＝1時為真，n＝k時為真能推得n＝k＋1時亦為真，則此命題為真命題6．若命題A（n)(n∈N＋)在n＝k（k∈N＋）時成立，則有n＝k＋1時命題也成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N＋)時成立，則有（)A．命題對所有正整數(shù)都成立B．命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C．命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立D．以上說法都不正確7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N＋)"的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到（)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除"時，第二步正確的證明方法是（)A．假設(shè)n＝k(k∈N＋）時成立，證明n＝k＋1時命題也成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù)）時成立，證明n＝k＋1時命題也成立C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)時成立，證明n＝2k＋3時命題也成立D．假設(shè)n＝2k－1（k∈N＋）時成立，證明n＝2k＋1時命題也成立9．用數(shù)學(xué)歸納法證明（n＋1)(n＋2）…(n＋n)＝2n×1×3×…×（2n－1)（n∈N＋)時，從k到k＋1，左邊需要增加的代數(shù)式為（)A．2k＋1 B．2(2k＋1） C。 D。10．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞成立時,起始值至少應(yīng)?。ǎ〢．7 B．8 C．9 D．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分,共20分．把答案填在題中的橫線上）11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的正整數(shù)n，總有2n＞n3時”,驗證第一步不等式成立所取的第一個最小值n0應(yīng)當(dāng)是__________．12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，那么a＝______，b＝____，c＝______.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n＞n2”時，驗證的第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應(yīng)當(dāng)是________14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n(n∈N＋)能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，對式子(k＋1）3＋5(k＋1）應(yīng)變形為________．15．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋＞－，假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)是__________．三、解答題(本大題共6小題，共50分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．(8分)求數(shù)列：,，,…,，…的前n項和Sn。17．（8分）設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝(n∈N＋）定義的數(shù)列，求證:xn＜.18.（8分）若n∈N＋，求證：2！·4！·6！·…·（2n)！≥[（n＋1)?。輓.19．(10分)若不等式＋＋＋…＋＞對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論．20.（8分）證明等差數(shù)列通項公式an＝a1＋（n－1)d.21．(8分)用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋.

參考答案1.答案：D左邊＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1時，應(yīng)為1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24。2.答案：A分別取n＝1,2,3，4驗證，得f(n)＝3．答案：D4.答案：C由題意易知增加的對角線條數(shù)為(n－1）條．5。答案：D由完全歸納法可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A,B，C項均不全面．6.答案:C數(shù)學(xué)歸納法證明的結(jié)論只是對n的初始值及后面的正整數(shù)成立，而對于初始值前的正整數(shù)不一定成立．7。答案：D由條件知，左邊是從20，21一直到2n－1都是連續(xù)的,因此當(dāng)n＝k＋1時，左邊應(yīng)為1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k,而右邊應(yīng)為2k＋1－1.8。答案：D假設(shè)的n的取值必須取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2。9。答案：B當(dāng)n＝k時左邊的最后一項是2k，n＝k＋1時左邊的最后一項是2k＋2，而左邊各項都是連續(xù)的，所以n＝k＋1時比n＝k時左邊少了（k＋1）,而多了(2k＋1)（2k＋2）．因此增加的代數(shù)式是＝2（2k＋1）．10．答案：B原不等式可化為＞，即＞，即2－＞,所以2－＞，即＞，即＞。故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7,所以起始值最小取8.11.答案：10當(dāng)n＝1時，21＞13,成立；當(dāng)n＝2時，22＞23，不成立；當(dāng)n＝3時，23＞33,不成立;當(dāng)n＝4時，24＞43，不成立；當(dāng)n＝5時，25＞53，不成立；當(dāng)n＝6時，26＞63,不成立;…當(dāng)n＝9時，29＝512＞93，不成立；當(dāng)n＝10時，210＝1024＞103，成立．12。答案：取n＝1，2,3，得解得a＝,b＝,c＝.13。答案：5將n＝2，3，4,5分別代入驗證，可得n＝2，3，4時,2n≤n2，而n＝5時,25＞52。14．答案:(k3＋5k)＋3k（k＋1)＋6首先必須應(yīng)用歸納假設(shè),然后采用配湊法．15.答案：＋＋＋…＋＞－注意不等式兩邊含變量“n"的式子,因此當(dāng)n＝k＋1時,應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化，所以n＝k＋1時，應(yīng)為＋＋…＋＋＞－.16。解：S1＝＝＝；S2＝＋＝＝；S3＝＋＋＝＝；…由以上計算可猜想數(shù)列的前n項和Sn＝＋＋＋…＋＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此等式對任何n∈N＋都成立．證明：（1）當(dāng)n＝1時，左邊＝＝,右邊＝＝，等式成立．（2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1）時,等式成立，即＋＋…＋＝。當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝＝，這就是說，當(dāng)n＝k＋1時，等式成立，即Sn＝＋＋…＋＝。根據(jù)（1)(2)知，等式對于任何n∈N＋都成立．17。提示：xk＋1＝＋＞＝.xn＞顯然成立．證明：（1)當(dāng)n＝1時，x1＝2＜＋1，不等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，不等式成立,即xk＜，那么,當(dāng)n＝k＋1時，xk＋1＝＋。由歸納假設(shè),xk＜,則＜＋,＞?！選k＞,∴＜?！鄕k＋1＝＋＜＋＋＝＋≤.即xk＋1＜.∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式xn＜＋成立．綜上，得xn＜＋(n∈N＋)．18。證明:（1）當(dāng)n＝1時，左邊＝2?。?，右邊＝(2！）1＝2,不等式成立．(2）假設(shè)n＝k（k∈N＋，k≥1）時，不等式成立，即2!·4！·6!·…·（2k)！≥［（k＋1）！]k成立，則n＝k＋1時，2！·4！·6!·…·(2k）!·(2k＋2）!≥[(k＋1)！］k·（2k＋2)！，其中(2k＋2）?。?2k＋2)（2k＋1）…（k＋3)［(k＋2）!］，∵k＋3＞k＋2，k＋4＞k＋2,…，2k＋2＞k＋2，∴(2k＋2）?。荆╧＋2）k·(k＋2)!.上面不等式對k≥1都成立，∴2!·4!·6!·…·(2k）！·（2k＋2）！≥［（k＋1）!］k·（2k＋2）?。荆?k＋1)?。輐·(k＋2）k·（k＋2)!＝[（k＋2)！]k·(k＋2)！＝［（k＋2)！]k＋1。∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．由(1)（2)知,所證不等式對一切n∈N＋都成立．19.證明：當(dāng)n＝1時，＋＋＞，即＞,∴a＜26.而a∈N＋，∴取a＝25。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋＞。(1）n＝1時，已證．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1）時，＋＋…＋＞.則當(dāng)n＝k＋1時,有＋＋…＋＋＋＋＝（＋＋…＋）＋（＋＋－）＞＋[＋－]．∵＋＝＞，∴＋－＞0。∴＋＋…＋＞也成立．由(1）（2）可知，對一切n∈N＋,都有＋＋…＋＞,∴a的最大值為25.20.證明:(1)當(dāng)n＝1時等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立,即ak＝a1＋(k－1）d，則ak＋1＝ak＋d＝a1＋［（k＋1)－1]d，即n＝k＋1時等式也成立．由（1)（2)可知，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋（n－1)d對一切n∈N＋都成立．21。證明：(1）當(dāng)