2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）含答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)一、選擇題1（）A.1B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】由題意首先化簡(jiǎn)，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.2.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點(diǎn)為所在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個(gè)邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.5.已知是偶函數(shù)，則（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.6.正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（）A.B.3C.D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.7.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角，結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率.故選：C.8.函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率.【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有種，則其概率為，故選：A.10.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.11.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A.B.4C.D.7【答案】C【解析】【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.12.設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.二、填空題13.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.14.若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.15.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項(xiàng)得，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.16.已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)椋?，解?故答案為：2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長；（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【答案】（1），；（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出，再得到所有的值，最后計(jì)算出方差即可；（2）根據(jù)公式計(jì)算出的值，和比較大小即可.【小問1詳解】，，，的值分別為:，故【小問2詳解】由（1）知:，，故有,所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.18.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，【小問2詳解】因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.19.如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】過作垂直的延長線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)椋?，所以，又，所?20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意;令，則，當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．21.已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段中點(diǎn)是定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．【選修4-4】（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線既與沒有公共點(diǎn)，也與沒有公共點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，注意的取值范圍；（2）根據(jù)曲線的方程，結(jié)合圖形通過平移直線分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，即，可得，整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，又因?yàn)?，且，則，則，故.【小問2詳解】因?yàn)椋閰?shù)，），整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，如圖所示，