云南省大理白族自治州下關(guān)一中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期段考（一）（10月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

下關(guān)一中教育集團(tuán)2024~2025學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期段考（一）數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第I卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè)．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．第I卷（選擇題，共58分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A2.（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.故選：C.3.過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)與直線的位置關(guān)系求出斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求解.聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.4.已知向量，，，則實(shí)數(shù)m的值為（）．A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】先求得的坐標(biāo)，再由求解.解：因?yàn)橄蛄?，，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故選：D5.已知，且，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可得線段的中點(diǎn)為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.7.已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合法，討論直線過(guò)A、B時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率，進(jìn)而判斷率的范圍.如下圖示，當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，，當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，，由圖知：或.故選：B8.在三棱錐中，，，分別為的中點(diǎn)，異面直線與成角為，，，為鈍角，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，可通過(guò)構(gòu)造直棱柱或構(gòu)造直角三角形，求出外接球半徑計(jì)算表面積.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與成角為或其補(bǔ)角，由為鈍角可知，，因?yàn)?，則，又，，平面，所以平面，由平面，則，因?yàn)?，，所以，由正弦定理可知，△外接圓的半徑為，方法一：以為底面，為側(cè)棱構(gòu)造直三棱柱，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，球心到平面的距離為，則，因?yàn)?，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為．方法二：設(shè)△的外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的球心為，在中，其外接圓的圓心為，取的中點(diǎn)，連接，由球的性質(zhì)可知，平面，平面，因?yàn)?，所以平面，則，則四邊形為矩形，，由球的性質(zhì)可知，，則三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項(xiàng)即可．由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因?yàn)?，所以，所以，，即，，又，所以，所以，?duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D正確．故選：ACD．10.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，除標(biāo)號(hào)外無(wú)差異．不放回地取兩次，每次取出一個(gè)．事件“兩次取出球的標(biāo)號(hào)為1和4”，事件“第二次取出球的標(biāo)號(hào)為4”，事件“兩次取出球的標(biāo)號(hào)之和為5”，則（）A. B.C.事件與不互斥 D.事件與相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】【分析】先利用古典概率公式分別計(jì)算，，，，，再利用互斥事件的定義和相互獨(dú)立事件的概率公式逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得正確選項(xiàng).設(shè)采用不放回方式從中任意摸球兩次，每次取出一個(gè)球，全部的基本事件有：，，1,4，2,1，2,3，，，，，，，共個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：1,4，有個(gè)，事件發(fā)生包含的基本事件有：1,4，，有3個(gè)，所以，故A錯(cuò)誤；事件發(fā)生包含的基本事件：1,4，2,3，，有4個(gè)，，事件發(fā)生包含的基本事件：1,4有個(gè)，，故B正確；事件發(fā)生包含的基本事件：1,4，有2個(gè)，故事件與不互斥，故C正確；事件發(fā)生包含的基本事件：1,4有個(gè)，，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.11.（多選）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小正周期C.在上單調(diào)遞減D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A,由知，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，進(jìn)而可以判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B,由條件及關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)變形可以推導(dǎo)出的周期，再由單調(diào)性可知最小正周期；對(duì)于C,由條件在上單調(diào)遞增，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)及的周期可以推導(dǎo)出在上的單調(diào)性；對(duì)于D,根據(jù)周期化簡(jiǎn)得，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性即可判斷.對(duì)于A，由知，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，則，A正確；對(duì)于B，由知，，由圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即，故，所以，即，所以，因?yàn)閳D象的對(duì)稱(chēng)軸為直線，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以為奇函數(shù)，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽,所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小正周期為4，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，根據(jù)的周期為4，可得，而，由選項(xiàng)B知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而不在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，若，則不成立，D錯(cuò)誤．故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線與平行，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法求解即得.因?yàn)橹本€與平行，則且，解得．故答案為：.13.若，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】8【解析】【分析】由可得，，再與相乘構(gòu)建積定式,繼而可用基本不等式求最小值.可得，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故答案為：8.14.胡夫金字塔是埃及人智慧的結(jié)晶，其形狀近似一個(gè)正四棱錐，古希臘歷史學(xué)家希羅多德記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積等于金字塔高的平方，則正四棱錐側(cè)面底邊上的高與底面邊長(zhǎng)一半的比值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及平面幾何知識(shí)即可求出．】如圖所示：正四棱錐中，為在底面上的投影，設(shè)的中點(diǎn)為，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，，，則由題意①，在中，由勾股定理得②；由①，②消去聯(lián)立得，同除，得，設(shè)，則，解得，（舍去），所以正四棱錐側(cè)面底邊上的高與底面邊長(zhǎng)的一半的比值為．故答案為：．四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓交兩點(diǎn)，且，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用垂徑定領(lǐng)列出方程，求出.【小問(wèn)1】設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2】設(shè)圓心到直線的距離為，則，由垂徑定理得：，即，解得：或.16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，；（1）求角的大小；（2）設(shè)中點(diǎn)為，且；求的最大值及此時(shí)的面積.【答案】（1）；（2）的最大值為，面積為：.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求角的大?。唬?）設(shè)，中，利用正弦定理表示，并利用三角函數(shù)表示，并利用三角函數(shù)求最大值，求得，以及，并表示三角形的面積.（1）因?yàn)?，由余弦定理可知，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則在中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，從而，由可知，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，此時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正余弦定理，三角函數(shù)恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用正弦定理，利用角表示邊長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.17.如圖，已知在四棱錐中，平面，點(diǎn)Q在棱上，且，底面為直角梯形，，，，，M，N分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證出與平面的法向量垂直即可；（2）先求出直線與平面法向量夾角的余弦值，從而得出直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得：，，，，，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，則有：，即，令，則平面的法向量，，又平面，平面．【小問(wèn)2】解：設(shè)為平面的法向量，又，，則有：，即，令，則平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角，，直線與平面所成的角的正弦值為．18.某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對(duì)居民用電進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年100戶(hù)居民每戶(hù)的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)從第8組和第9組的居民中任選取2戶(hù)居民進(jìn)行訪問(wèn)，則兩組中各有一戶(hù)被選中的概率.【答案】（1），中位數(shù)為度；（2）.【解析】【分析】（1）由小矩形的面積之和等于列方程可得的值，根據(jù)中位數(shù)左右兩邊小矩形面積都為可得中位數(shù)；（2）求出第8組和第9組的居民的戶(hù)數(shù)，求出從中任選取2戶(hù)基本事件的總數(shù)以及兩組中各有一戶(hù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.（1），解得：，設(shè)中位數(shù)是度，前組的頻率之和為，而前組的頻率之和為，所以中位數(shù)位于第組，由，解得：，即居民月均用電量的中位數(shù)為度.（2）第組的戶(hù)數(shù)為，分別設(shè)為，第組的戶(hù)數(shù)為，分別設(shè)為，則從中任選出戶(hù)的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，其中兩組中各有一戶(hù)被選中的基本事件為：，，，，，，，共有個(gè)，所以第，組各有一戶(hù)被選中的概率.19.對(duì)于函數(shù)、、，如果存在實(shí)數(shù)、使得，那么稱(chēng)為、的生成函數(shù).（1）若，，，則是否分別為、生成函數(shù)？并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，，，，生成函數(shù)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，取，，生成函數(shù)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、且，試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個(gè)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）是；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式將函數(shù)的解析式展開(kāi)，利用題中的定義可判斷出是、的生成函數(shù)；（2）先得出函數(shù)，根據(jù)題意得出在上有解，設(shè)，利用參變量分離法得出，可得出，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先得出函數(shù)，利用題意以及基本不等式得出，，然后利用基本不等式求出在條件下的最小值，即可得出的取值范圍，即可求出的最大值.（1），因此，是