高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第43講空間向量及其運(yùn)算

第43講空間向量及其運(yùn)算[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．1．空間向量及其有關(guān)定理概念語(yǔ)言描述共線(xiàn)向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)eq\x(\s\up1(01))互相平行或重合共面向量平行于eq\x(\s\up1(02))同一個(gè)平面的向量共線(xiàn)向量定理對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一實(shí)數(shù)λ，使eq\x(\s\up1(03))a＝λb共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝eq\x(\s\up1(04))xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝eq\x(\s\up1(05))xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝eq\x(\s\up1(06))12.空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，則a·b＝eq\x(\s\up1(07))|a||b|·cos〈a，b〉．3．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·b＝eq\x(\s\up1(08))a1b1＋a2b2＋a3b3共線(xiàn)a∥b(b≠0)?a1＝eq\x(\s\up1(09))λb1，a2＝eq\x(\s\up1(10))λb2，a3＝eq\x(\s\up1(11))λb3(λ∈R)垂直a⊥b?eq\x(\s\up1(12))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝eq\x(\s\up1(13))eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))1．證明空間任意三點(diǎn)共線(xiàn)的方法對(duì)空間三點(diǎn)P，A，B，可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線(xiàn)：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．2．證明空間四點(diǎn)共面的方法點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題，要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．1．(人教B選擇性必修第一冊(cè)1.1.3練習(xí)BT5改編)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3，2 D．2，2答案A解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故選A.2．(人教B選擇性必修第一冊(cè)1.1.3練習(xí)BT8改編)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．－2 B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D．2答案D解析由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故選D.3．(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題1.1T2(2)改編)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝()A.eq\o(D1B1,\s\up6(→)) B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(DB1,\s\up6(→)) D.eq\o(BD1,\s\up6(→))答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).故選D.4．(多選)(2023·寧德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)⊥bB．b∥cC．〈a，c〉為鈍角D．向量c在向量a上的投影向量為(4，0，4)答案BD解析因?yàn)?×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A錯(cuò)誤；因?yàn)閏＝－2b，所以b∥c，B正確；因?yàn)閍·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cos〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是鈍角，C錯(cuò)誤；向量c在向量a上的投影向量為|c|cos〈a，c〉eq\f(a,|a|)＝eq\f(a·c,|a|2)a＝eq\f(8,2)(1，0，1)＝(4，0，4)，D正確．故選BD.5．已知O是空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，則2x＋3y＋4z＝________．答案－1解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2xeq\o(OB,\s\up6(→))－3yeq\o(OC,\s\up6(→))－4zeq\o(OD,\s\up6(→))，∵O是空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，∴－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________．答案eq\f(65,7)解析由題意可知，存在實(shí)數(shù)x，y使得c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))考向一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算例1(1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)c－2a，則c＝()A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)答案B解析∵向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)c－2a，∴c＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故選B.(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡(jiǎn)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________．答案①eq\o(A1A,\s\up6(→))②eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).②因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).空間向量線(xiàn)性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(2023·天津一中期末)如圖，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cC．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c D.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c答案C解析由題意知，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故選C.考向二共線(xiàn)向量與共面向量定理的應(yīng)用例2如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點(diǎn)M，N分別在AC1和BC上，且滿(mǎn)足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線(xiàn)MN是否與平面ABB1A1平行？解(1)因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)M，A重合，點(diǎn)N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)．當(dāng)0<k≤1時(shí)，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1.證明三點(diǎn)共線(xiàn)和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線(xiàn)空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過(guò)點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))1.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點(diǎn)共線(xiàn)，則m＋n＝()A．－2 B．5C．1 D．－3答案D解析因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4，))所以m＋n＝－3.2．在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則()A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0答案A解析∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四點(diǎn)共面，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2μ，,y－1＝λ＋2μ，,z＋2＝－λ＋2μ，))解得2x＋y＋z＝1.故選A.多角度探究突破考向三空間向量的數(shù)量積角度坐標(biāo)法例3已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a與b夾角的余弦值；(3)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．∴|c|＝eq\r(（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－1）2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10).∴a與b夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).(3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b與ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－eq\f(5,2).即當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時(shí)，k＝2或k＝－eq\f(5,2).角度基向量法例4已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求|eq\o(AC1,\s\up6(→))|；(2)求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(A1D,\s\up6(→))夾角的余弦值；(3)證明：eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).解(1)如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2).(2)∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|eq\o(A1D,\s\up6(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝eq\r(7).∴cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(7))＝－eq\f(\r(14),7).(3)證明：∵eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用求夾角設(shè)向量a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線(xiàn)所成的角求長(zhǎng)度(距離)利用公式|a|2＝a·a，可將線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題解決垂直問(wèn)題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題1.(2023·蕪湖期末)在棱長(zhǎng)為3的正四面體A－BCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD上靠近D的三等分點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(9,4) B．－eq\f(9,4)C.eq\f(27,4) D．－eq\f(27,4)答案B解析如圖所示，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝3×3×cos60°＝eq\f(9,2)，由題意，知eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)c－eq\f(1,6)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c－\f(1,6)b))＝－eq\f(2,3)a·c＋eq\f(1,6)a·b＝－eq\f(2,3)×eq\f(9,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(9,2)＝－eq\f(9,4).故選B.2．(多選)空間直角坐標(biāo)系中，已知O(0，0，0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，3，－1)，則()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．與eq\o(OA,\s\up6(→))平行的單位向量的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),6)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))D．eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(2,3)))答案AC解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋02＋（－2）2)＝2，A正確；eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12＋（－2）2)＝eq\r(14)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12＋02)＝eq\r(10)，∴△ABC三條邊互不相等，B不正確；與eq\o(OA,\s\up6(→))平行的單位向量為e＝±eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))|)＝±eq\f(（－1，2，1）,\r(（－1）2＋22＋12))＝±eq\f(（－1，2，1）,\r(6))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))，C正確；eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量為eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)，－\f(2,3)))，D不正確．故選AC.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝()A．－1 B．1C．0 D．2答案A解析因?yàn)閍＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，所以p＝a－b＝(1，1，0)－(0，1，1)＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(1，1，0)＋2(0，1，1)－(1，0，1)＝(0，3，1)，則p·q＝1×0＋0×3－1×1＝－1.故選A.2．以下四組向量在同一平面的是()A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)答案B解析對(duì)于A，設(shè)(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＝1，,m＋n＝0，))無(wú)解；對(duì)于B，因?yàn)?2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三個(gè)向量共面；對(duì)于C，設(shè)(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,3x＋3y＝2，,2x＋y＝3，))無(wú)解；對(duì)于D，設(shè)(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝1，,3b＝0，,2a＝0，))無(wú)解．故選B.3．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．a(chǎn)－b－c D．b－a＋c答案B解析如圖所示，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－b＋c－a＝c－a－b.故選B.4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，則λ的值為()A．±eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)答案C解析由于eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，則cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，解得λ＝±eq\f(\r(6),6).經(jīng)檢驗(yàn)λ＝eq\f(\r(6),6)不符合題意，舍去，所以λ＝－eq\f(\r(6),6).故選C.5．(2024·濰坊模擬)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則向量a在向量b上的投影向量c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5,4)，\f(5,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5,8)，\f(5,8))) D．(2，4，4)答案B解析向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝eq\r(4＋1＋1)＝eq\r(6)，故向量a在向量b上的投影向量c＝eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(5,6)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6))).故選B.6.(2023·安徽宣城期末)四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為棱PC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝()A.eq\f(3,2) B．1C.eq\f(5,2) D．2答案A解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，所以2eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).故選A.7．(2023·廣東六校聯(lián)考)已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,6) B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)答案C解析因?yàn)閑q\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).根據(jù)向量的減法法則，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)－|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3).故選C.8．A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，M為BC的中點(diǎn)，則△AMD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定答案C解析∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴AM⊥AD，∴△AMD為直角三角形．故選C.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·十堰二模)《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝2eq\o(DC1,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量為eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量為eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案BD解析因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以A錯(cuò)誤，B正確；如圖所示，過(guò)D作DE⊥BC于E，過(guò)E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，故向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(AF,\s\up6(→))，向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量為eq\o(AG,\s\up6(→))，由題意易得eq\f(AF,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AG,AC)＝eq\f(2,3)，故eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選BD.10．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，下列說(shuō)法中正確的是()A．(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(AD1,\s\up6(→))與向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是60°D．正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案AB解析由向量的加法運(yùn)算得到eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))，∵A1C2＝3A1Beq\o\al(2,1)，∴eq\o(A1C,\s\up6(→))2＝3A1B12，故A正確；∵eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，AB1⊥A1C，∴eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線(xiàn)AD1與A1B所成的角為60°，但是向量eq\o(AD1,\s\up6(→))與向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是120°，故C錯(cuò)誤；∵AB⊥AA1，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，故|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，因此D錯(cuò)誤．故選AB.11.如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD－A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，則下列說(shuō)法中正確的是()A．AC1＝6eq\r(6)B．AC1⊥DBC．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)答案AB解析因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝6×6×cos60°＝18，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AA1,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2)＝6eq\r(6)，所以A正確；eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正確；顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°.因?yàn)閑q\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，且eq\o(A1D,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角是120°，所以eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角也是120°，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閑q\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）2)＝6eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2))＝6eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝36，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D錯(cuò)誤．三、填空題12．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))解析由題意，設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，即eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(2,3)，當(dāng)λ＝eq\f(4,3)時(shí)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))有最小值，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).13.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N，G分別是棱AA1，BC，A1D1的中點(diǎn)，設(shè)Q是該正方體表面上的一點(diǎn)，若eq\o(MQ,\s\up6(→))＝xeq\o(MG,\s\up6(→))＋yeq\o(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，則點(diǎn)Q的軌跡圍成的圖形的面積是________．答案3eq\r(3)解析∵eq\o(MQ,\s\up6(→))＝xeq\o(MG,\s\up6(→))＋yeq\o(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴Q在平面MGN上，分別取AB，CC1，C1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，O，則點(diǎn)Q的軌跡是正六邊形OFNEMG，∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，∴正六邊形OFNEMG的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，∴點(diǎn)Q的軌跡圍成的圖形的面積是S＝6×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°＝3eq\r(3).14．已知空間向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的模分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°.點(diǎn)G為△ABC的重心，若eq\o(PG,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝________，|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝________．答案1eq\f(5,3)解析根據(jù)題意得，點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝1.|eq\o(PG,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋22＋32＋2×1×2×\f(1,2)＋2×1×3×\f(1,2)＋2×2×3×\f(1,2)))＝eq\f(25,9)，所以|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝eq\f(5,3).四、解答題15．(2023·杭州期末)如圖，在四面體A－BCD中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))，λ∈(0，1)．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)若λ＝eq\f(1,3)，設(shè)M是EG與FH的交點(diǎn)，O是空間任意一點(diǎn)，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))表示eq\o(OM,\s\up6(→)).解(1)證明：因?yàn)閑q\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CD,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(λ,1－λ)eq\o(FG,\s\up6(→))，則eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))，因此E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)知，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，因此eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FG,\s\up6(→))，EH，F(xiàn)G不在同一條直線(xiàn)上，所以EH∥FG，則eq\f(EM,MG)＝eq\f(EH,FG)＝eq\f(1,