6.5垂直七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊講義（蘇科版）（原卷版）

垂直知識(shí)點(diǎn)一、垂線的概念及表示1. 垂線：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.（垂線是直線，不是線段）2. 垂足：互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足.3. 表示方法：如圖所示，兩條直線互相垂直，記作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.4. 兩條直線互相垂直時(shí)，常在垂足處寫一個(gè)直角標(biāo)志“┑”.5. 線段與線段、線段與射線、射線與射線垂直，指的都是它們所在的直線互相垂直.例：已知OC⊥OA，OD⊥OB，若∠AOB＝30°，則∠COD等于（）A．60° B．30°或150° C．120° D．90°【解答】B【解析】如圖1：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝150°；如圖2：∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOB＝30°，∴∠DOC＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°；如圖3：∴∠BOC＝60°，∴∠COD＝30°，故選B．知識(shí)點(diǎn)二、垂線的畫法如圖所示，過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線.知識(shí)點(diǎn)三、垂線的結(jié)論1. 基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.2. 垂線段及其性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短.3. 點(diǎn)到直線的距離 如圖所示，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，上圖中，線段AB的長度就是點(diǎn)A到直線l的距離.4. 已知直線的垂線有無數(shù)條，但在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)畫已知直線的垂線只能畫一條.5. 連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.6. 點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度，并不是垂線段.例：如圖，下列線段的長度指的是點(diǎn)A到直線CD的距離的是（）A．AC B．CD C．AD D．BD【解答】C【解析】∵AD與CD垂直于點(diǎn)D，∴線段AD是點(diǎn)A到直線CD的距離，故選C．鞏固練習(xí)一．選擇題（共8小題）1．如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，則點(diǎn)A到CD的距離是線段（）的長度．A．CD B．AD C．BD D．BC2．點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l上一點(diǎn)，PA＝4cm，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離是dcm，則（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤43．如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個(gè)汽車站，且有A、B、C、D四個(gè)地點(diǎn)可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在（）A．點(diǎn)A處 B．點(diǎn)B處 C．點(diǎn)C處 D．點(diǎn)D處4．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝25°，則∠AOC的大小為（）A．65° B．105° C．120° D．115°5．如圖，直線AB與CD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EO⊥CD，∠AOE＝50°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．140° B．135° C．130° D．120°6．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)E，若∠FEC﹣∠AEC＝20°，那么∠AED的度數(shù)為（）A．125° B．135° C．140° D．145°7．如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，則∠AOG等于（）A．10° B．12° C．14° D．16°8．如圖，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合放置于點(diǎn)A處，下列結(jié)論：①∠BAE＞∠DAC；②∠BAD＝∠EAC；③AD⊥BC；④∠BAE+∠DAC＝180°；⑤∠E+∠D＝∠B+∠C．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二．填空題（共8小題）9．如圖，CD⊥AB，點(diǎn)E、F在AB上，且CE＝4cm，CD＝3cm，CF＝6cm．則點(diǎn)C到AB的距離是cm．10．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，垂足為點(diǎn)O．若∠BOE＝40°6'，則∠AOC的度數(shù)為．11．人去河邊打水總是垂直于河邊方向走的數(shù)學(xué)原理是．12．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，∠COE＝54°，則∠BOD的度數(shù)是．13．已知∠A和∠B的兩邊互相垂直，且∠A比∠B的兩倍少60°，則∠B的度數(shù)為．14．已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則A到BC距離是．若A地在C地的正東方向，則B地在C地的方向．15．在直線MN上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作射線PA、PB，若PA⊥PB，當(dāng)∠MPA＝55°時(shí)，則∠NPB度數(shù)是．16．已知：直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，∠BOC＝45°，（1）如圖，若EO⊥AB，則∠DOE＝．（2）如圖，若EO平分∠AOC，則∠DOE＝．三．解答題（共10小題）17．如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，CD⊥EF，OG平分∠BOF，∠AOC＝20°．求∠DOG的度數(shù)．18．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB于點(diǎn)O．（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOD的度數(shù)．（2）若∠1＝∠2，請判斷ON與CD垂直嗎？如果垂直，請說明理由．19．如圖，已知OB，OC，OD是∠AOE內(nèi)三條射線，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．（1）若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度數(shù)．（2）若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度數(shù)．（3）若∠DOE＝20°，∠AOE+∠BOD＝220°，求∠BOD的度數(shù)．20．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，垂足為O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度數(shù)；（2）在∠AOM的內(nèi)部畫射線ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分線嗎？請說明理由．21．如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠EOF＝107°，求∠COE的度數(shù)．22．如圖，∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，OB⊥OA，垂足為O．求∠DOB的度數(shù)．（按要求填空）解：∵OD平分∠AOC（已知），∴∠AOD＝∠DOC（）．∵∠AOC＝140°（），∴∠AOD＝°（等量代換）．又∵OB⊥OA（已知），∴∠AOB＝90°（）．∴∠DOB＝∠AOB﹣＝°．23．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OB平分∠EOD．（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，畫OF⊥CD，請直接寫出∠EOF的度數(shù)．24．已知，直線AB、CD交于點(diǎn)O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．（1）如圖1，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，過點(diǎn)O畫出直線CD的垂線MN，請直接寫出圖中所有度數(shù)為125°的角．25．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD．（1）如圖1，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD．求證：OE平分∠AOF；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)O作OG⊥AB，當(dāng)∠FOG：∠AOE＝2：3時(shí)，求∠COG的度數(shù)．26．直線A