特訓(xùn)02三角形的初步認(rèn)識(shí)壓軸題（2023新題速遞）（原卷版）

特訓(xùn)02三角形的初步認(rèn)識(shí)壓軸題（2023新題速遞）一、解答題1．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）將兩塊直角三角板如圖1放置，，，，，．

(1)若三角板如圖1擺放時(shí)，則________，________．(2)現(xiàn)固定的位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)E正好落在上，如圖2所示，與交于G，作和的角平分線交于點(diǎn)H，求的度數(shù)；(3)現(xiàn)固定，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過(guò)程中，當(dāng)線段與的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．2．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）問(wèn)題背景：小強(qiáng)在學(xué)習(xí)完平行線一節(jié)后，想利用平行線的知識(shí)證明“三角形的內(nèi)角和是”；．如圖1，是小強(qiáng)為證明三角形內(nèi)角和是180°所采取的構(gòu)圖方法：過(guò)的頂點(diǎn)作．請(qǐng)完成：（1）利用小強(qiáng)的構(gòu)圖，說(shuō)明的理由；嘗試應(yīng)用：如圖2，直線與直線相交于點(diǎn)，夾角為，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在上方，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與重合）；請(qǐng)完成：（2）當(dāng)時(shí)，平分，平分交直線于點(diǎn)，求的度數(shù)；拓展創(chuàng)新：如圖3，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與重合），，，，交于點(diǎn)；請(qǐng)完成：（3）當(dāng)為何值時(shí)，不隨的變化而變化，并用含的代數(shù)式表示的度數(shù)（寫(xiě)出解答過(guò)程）．3．（2023春·四川廣安·八年級(jí)校考期末）定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側(cè)作正方形，和，則稱(chēng)這三個(gè)正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個(gè)正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當(dāng)時(shí)，求證：；②如圖（3），當(dāng)時(shí)，與是否仍然相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請(qǐng)利用圖（1）探究：當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．4．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，在中，，，，三點(diǎn)都在直線上，

(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；(2)如圖②，當(dāng)不垂直于時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖③，若只保持，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．是否存在，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t與x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在四邊形中．

(1)如圖1，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系．小林同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先對(duì)比與的關(guān)系，再對(duì)比與的關(guān)系，可得出、、之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論是；(2)如圖2，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，則上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．6．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做對(duì)補(bǔ)四邊形．

(1)已知四邊形是對(duì)補(bǔ)四邊形．①若，則______°．②如圖①，、的平分線分別與相交于點(diǎn)，且．求證：；(2)如圖②，在四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，且平分，，平分，與交于點(diǎn)，且于點(diǎn)，則四邊形是對(duì)補(bǔ)四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知四邊形是對(duì)補(bǔ)四邊形，其三個(gè)頂點(diǎn)如圖③所示，連接．若平分，平分，且直線，交于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知中，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)如圖，求證：．

(2)如圖，連接，求證：平分．

(3)如圖，若，，，求的值．

8．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過(guò)組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上述方法（倍長(zhǎng)中線）解決下列三個(gè)問(wèn)題如圖，已知，，，為的中點(diǎn)．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分；（3）如圖2，若，，不共線，求證：；（4）如圖3，若點(diǎn)在上，記銳角，且，則的度數(shù)是___________（用含的代數(shù)式表示）．9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1，把沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的關(guān)系：．（2）如圖2，把分別沿、折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，若，則°（3）如圖3，在銳角中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，、交于點(diǎn)H，把沿折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，則與的關(guān)系是．A．

B．C．

D．（4）如圖4，平分，平分，把沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，若，求的度數(shù)．10．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【初步探索】

(1)如圖1，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】(2)如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】(3)如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．11．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點(diǎn)．（1）①如圖1，中，，則的三條高所在的直線交于點(diǎn)；②如圖2，中，，已知兩條高，，請(qǐng)你僅用一把無(wú)刻度的直尺（僅用于過(guò)任意兩點(diǎn)作直線、連接任意兩點(diǎn)、延長(zhǎng)任意線段）畫(huà)出的第三條高．（不寫(xiě)面法，保留作圖痕跡）．【綜合應(yīng)用】（2）如圖3，在中，，平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①若，則；②請(qǐng)寫(xiě)出與，之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個(gè)三角形的高相同，則他們的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．如圖，是上一點(diǎn)，則有．如圖，中，M是上一點(diǎn)＝，N是的中點(diǎn)，若三角形的面積是m，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．（用含的代數(shù)式表示）12．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．13．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，，，E點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且．(1)如圖1，過(guò)F點(diǎn)作交于D點(diǎn)，求證：，并寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，連接交于G點(diǎn)，若，求證：E點(diǎn)為中點(diǎn)；(3)當(dāng)E點(diǎn)在射線上，連接與直線交于G點(diǎn)，若，求．14．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類(lèi)比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．15．（2023秋·甘肅定西·八年級(jí)校考期末）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問(wèn)題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請(qǐng)你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫(xiě)出與的關(guān)系．16．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題提出，如圖（1），在和中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)F，線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題探究(1)先將問(wèn)題特殊化.如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)重合時(shí)，直接寫(xiě)出一個(gè)等式，表示之間的數(shù)量關(guān)系；(2)再探究一般情形.如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.問(wèn)題拓展(3)如圖（3），在和中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)F，直線與交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為線段上一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)I，若，，則___________（用含m，n的式子表示）17．（2023秋·山東青島·八年級(jí)青島超銀中學(xué)校考期末）中，，點(diǎn)D，E分別是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段上，且，則

°；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則之間的關(guān)系為；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則之間的關(guān)系為

．再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部，寫(xiě)出此時(shí)之間的關(guān)系；說(shuō)明理由．(5)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的外部，寫(xiě)出此時(shí)之間的關(guān)系．18．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在四邊形中．(1)如圖1，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系．小林同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先對(duì)比與的關(guān)系，再對(duì)比與的關(guān)系，可得出、、之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論是；(2)如圖2，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，則上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．19．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫(xiě)結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系．21．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：中，，，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作于H，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，求證：；(3)當(dāng)點(diǎn)D在直線上時(shí)，連接交直線于M，若，請(qǐng)求出的值．22．（2023春·四川成都·八年級(jí)四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長(zhǎng)．23．（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考期中）問(wèn)題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖