專題07乘法公式壓軸題五種模型全攻略(原卷版+解析)

專題07乘法公式壓軸題五種模型全攻略【類型一展開式是完全平方式問題】例1．（2022·重慶九龍坡·八年級期末）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，則k＝_____．【變式訓(xùn)練1】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習(xí)）已知x2﹣2ax+9是完全平方式，則a＝______．【變式訓(xùn)練2】（2021·山東·肥城市邊院鎮(zhèn)過村初級中學(xué)期末）若4x2-（k-2）x+25是一個(gè)完全平方式，則k的值為______．【變式訓(xùn)練3】（2021·陜西西安·八年級階段練習(xí)）若4x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k＝_____．【變式訓(xùn)練4】（2022·湖北十堰·八年級期末）若是完全平方式，則______．【類型二利用乘法公式化簡求值問題】例2.（2022·福建漳州·八年級期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．【變式訓(xùn)練1】（2021·山東青島·期末）先化簡，再求值：，其中，．【變式訓(xùn)練2】（2021·山東棗莊·七年級階段練習(xí)）化簡和化簡求值(1)（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），(2)（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中【變式訓(xùn)練3】（2021·遼寧錦州·七年級期中）先化簡，再求值：，其中x＝－1，y＝1．【變式訓(xùn)練4】（2022·海南?？凇ぐ四昙壠谀┯?jì)算(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中，．【類型三利用完全平方配方求最值問題】例3．（2022·四川省榮縣中學(xué)校八年級階段練習(xí)）先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式及的值恒為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．∵(x+2)2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴當(dāng)(x+2)2＝0時(shí)，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多項(xiàng)式的最大(小)值時(shí)，我們可以這樣處理：解：原式=，因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，所以的最小值為0，此時(shí)，進(jìn)而的最小值是，所以當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是?22．解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，探求：（2）多項(xiàng)式的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值．（3）多項(xiàng)式的最大值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值．【變式訓(xùn)練1】（2022·云南曲靖·八年級期末）閱讀下列材料，并回答后面的問題：數(shù)學(xué)課上，李老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式，對式子作如下變形：解：∵∴∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值是－7通過閱讀，求代數(shù)式的最小值．【變式訓(xùn)練2】（2021·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因?yàn)?，因?yàn)椋缘淖钚≈凳牵畣栴}：（1）小麗的求解過程正確嗎？（2）你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；（3）求的最大值．【變式訓(xùn)練3】（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知識運(yùn)用：若y＝﹣x2+2x﹣3，當(dāng)x＝時(shí)，y有最值（填“大”或“小”），這個(gè)值是；（3）知識拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【變式訓(xùn)練4】（2021·湖南永州·七年級期末）先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問題．小明在學(xué)習(xí)完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2時(shí)，代數(shù)式（a±b）2的值具有非負(fù)性（即該式的值總是正數(shù)或者0）的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，例如求多項(xiàng)式x2+6x﹣4的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10＝（x2+6x+9）﹣10＝（x+3）2﹣10．因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有（x+3）2的值為非負(fù)數(shù)，所以（x+3）2的最小值為0，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是﹣10．解決問題：（1）請根據(jù)上面的解題思路探求：多項(xiàng)式x2﹣4x+7的最小值是多少，并寫出此時(shí)x的值；（2）請根據(jù)上面的解題思路探求：多項(xiàng)式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并寫出此時(shí)x的值．【類型四平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例4.（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）從邊長為a的正方形剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是________________（請選擇正確的一個(gè)）A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）C.a2＋ab＝a（a＋b）D.a2－ab＝a（a－b）(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；(3)計(jì)算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．【變式訓(xùn)練1】（2022·廣西·上思縣教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化簡）；(2)以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？請寫出這個(gè)乘法公式；(3)運(yùn)用（2）中得到的公式，計(jì)算：20152﹣2016×2014．【變式訓(xùn)練2】（2022·河南信陽·八年級期末）實(shí)踐與探索：如圖1，邊長為a的大正方形里有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）.(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：___________（請選擇正確的一個(gè)）A． B． C．(2)請應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，，則____________.②計(jì)算：.【變式訓(xùn)練3】（2022·江西·新余四中八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______；（請選擇正確的選項(xiàng)）A.；B．；C．(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①己知，，則______．②計(jì)算：【變式訓(xùn)練4】（2022·廣東東莞·八年級期末）從邊長為a的正方形中減掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（2）運(yùn)用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期中）如圖①所示是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)相同的小長方形，然后按圖②的方式拼圖．(1)你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于________________．(2)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①________________________________________________________．方法②________________________________________________________．(3)觀察圖②，你能寫出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若．，求的值【變式訓(xùn)練1】（2022·重慶九龍坡·八年級期末）有一個(gè)邊長為a+b的正方形，按圖1切割成4個(gè)小方塊，b2，ab，ab，a2分別為4個(gè)小方塊的面積．(1)請用圖1中所給圖形的邊長與面積，表示其中的等量關(guān)系：．(2)利用（1）中的結(jié)論解決：若a+b＝7，ab＝12，則a2+b2＝，a﹣b＝．(3)若實(shí)數(shù)m、n滿足（m﹣n﹣2）2+（8﹣m+n）2＝10，則（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝．(4)如圖2，Rt△ABC的斜邊AC＝26，分別以邊AB、BC為直徑向△ABC的外側(cè)作半圓，兩半圓面積分別記作S1和S2．若△ABC的周長為60，S1+S2＝，求△ABC的面積．【變式訓(xùn)練2】（2022·湖南衡陽·八年級期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a＋b＝3，ab＝1，求的值．解：因?yàn)閍＋b＝3，ab＝1，所以，2ab＝2，即可得得根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若x＋y＝8，，則xy＝______；(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；②若（4－x）（5－x）＝8，求的值；(3)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形的，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練3】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料并解答后面的問題：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，從而使某些問題得到解決．已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．(1)已知a+＝6．求a2+的值；(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．【變式訓(xùn)練4】（2022·福建龍巖·八年級期末）（1）【觀察】如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a-b）2，ab之間的等量關(guān)系：______；（2）【應(yīng)用】若m+n=6，mn=5，則m-n=______；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE=5，CG=15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．【課后訓(xùn)練】一、填空題1．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)南京師范大學(xué)附屬龍崗學(xué)校七年級階段練習(xí)）若x2＋mx＋121是一個(gè)完全平方公式，則m＝________．2．（2021·重慶一中七年級階段練習(xí)）若4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，則m＝______．3．（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，則的值為______．4．（2022·海南海口·八年級期末）已知，，則______．5．（2021·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)七年級階段練習(xí)）若是完全平方式，則m＝___________．6．（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心八年級期末）已知，，則的值為________．7．（2021·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）若代數(shù)式的值為0，則______．8．（2020·山東煙臺·期中）如圖，從邊長為（a+4）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一邊為a，另一邊長是______．二、解答題9．（2022·吉林·長春市第八十七中學(xué)九年級開學(xué)考試）先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．10．（2021·重慶一中七年級階段練習(xí)）化簡求值：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x，其中x，y滿足：x2+y2﹣4x+6y+13＝0．11．（2021·福建省福州第十六中學(xué)八年級期中）先化簡，再求值：，其中，．12．（2021·河南·鶴壁市外國語中學(xué)八年級階段練習(xí)）化簡求值：，其中，．13．（2022·廣東·深圳市龍華中學(xué)七年級階段練習(xí)）簡答下列各題：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____．14．（2021·河南·濮陽市華龍區(qū)高級中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）試說明：代數(shù)式的值與的取值無關(guān)．（2）先化簡，再求值：，其中，．15．（2022·貴州黔西·八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計(jì)算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．16．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填到題中橫線上）．方法1；方法2．(2)觀察圖2，請你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，àb之間的等量關(guān)系為；(3)曉曉同學(xué)利用上面的紙片拼出了一個(gè)面積為a2+3ab+2b2的長方形，這個(gè)長方形相鄰兩邊長為；(4)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．17．（2022·福建泉州·八年級期末）乘法公式給出了、與的數(shù)量關(guān)系，靈活的應(yīng)用這個(gè)關(guān)系，可以解決一些數(shù)學(xué)問題．(1)若，，求的值；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，且，以為一邊作正方形，以的長為邊長過點(diǎn)作正方形，若長方形的面積是，求陰影部分的面積．18．（2021·上海浦東新·七年級期中）數(shù)學(xué)課上，王老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；(2)觀察圖2，請你寫出代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．19．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)南京師范大學(xué)附屬龍崗學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖①，是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線(對稱軸)剪開，把它分成四個(gè)形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形(中間是空的)．(1)圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為__________(用含m，n的式子表示)；(2)觀察圖②，寫出代數(shù)式(m＋n)2，(m-n)2與mn之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)(2)中的等量關(guān)系解決下面的問題：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；②若a＋=3，求a2＋的值．20．（2022·江西贛州·八年級期末）圖1是一個(gè)長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．21．（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級開學(xué)考試）我們在求代數(shù)式的最小值時(shí)，可以考慮用如下法求得：解：∵

∴∴的最小值是4．請用上面的方法解決下面的問題：(1)代數(shù)式的最小值為______．(2)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個(gè)長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設(shè)AB=x（m），請問：當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？22．（2022·云南·昆明市第三中學(xué)八年級期末）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，請判斷y有最大還是最小值；這個(gè)值是多少？此時(shí)x等于哪個(gè)數(shù)？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，則y+x=（用含x，y的代數(shù)式表示）請求出y+x的最小值．23．（2021·河北邢臺·八年級階段練習(xí)）觀察：（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和長方形EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積可表示為（寫成平方差的形式）；（2）將圖1中的長方形ABGE和長方形EFHD剪下來，拼成如圖2所示的長方形，則長方形AHDE的面積是（寫成多項(xiàng)式相乘的形式）；探究：（3）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得等量關(guān)系；（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，則49x2﹣y2＝；應(yīng)用：（5）利用公式計(jì)算：（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+．24．（2021·安徽蚌埠·七年級階段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干張如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大長方形(1)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積方法1_________；方法2_______．(2)觀察圖2，請寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系：_______；(3)根據(jù)題（2）中的等量關(guān)系，解決下列問題：①已知a+b＝3，a2+b2＝5，求ab的值；②已知（2021﹣n）2+（n﹣2018）2＝7，求（2021﹣n）（n﹣2018）的值．25．（2022·四川·成都市第十八中學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下列問題：(1)若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．(2)（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．(3)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是15，分別以MF，DF為邊長作正方形，求陰影部分的面積．26．（2021·山東淄博·期中）我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．(1)如圖1所示，甲同學(xué)從邊長為的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為的正方形（），剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙），求長方形的面積；(2)乙同學(xué)用如圖2所示的兩個(gè)不同的正方形與兩個(gè)相同的長方形紙片拼成了，一個(gè)如圖3所示的正方形．①用兩個(gè)不同的代數(shù)式分別表示圖2和圖3中陰影部分的面積，你能得到怎樣的等式，試用乘法公式說明這個(gè)等式成立；②根據(jù)①中的結(jié)論計(jì)算：已知，求的值．27．（2022·福建·莆田二中八年級期末）數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量一兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理，例如：對于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．計(jì)算如圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是（a+b）2；如果把圖1看作是由2個(gè)長方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2=a2+2ab+b2．(1)如圖2，正方形ABCD是由四個(gè)邊長分別為a，b的長方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對

圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是（用a，b表示）(2)應(yīng)用探索結(jié)果解決問題：已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=7，xy=6，求x-y的值．(3)如圖3，四個(gè)三角形都是全等的直角三角形，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為；（用a，b，c表示）(4)解決問題：若a=n2-1，b=2n，c=n2+1，請通過計(jì)算說明a、b、c滿足上面結(jié)論．專題07乘法公式壓軸題五種模型全攻略【類型一展開式是完全平方式問題】例1．（2022·重慶九龍坡·八年級期末）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，則k＝_____．【答案】4或-4【解析】【分析】根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)列式即可確定出k值．【詳解】解：∵，∴，解得：k＝±4．故答案為：4和?4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習(xí)）已知x2﹣2ax+9是完全平方式，則a＝______．【答案】±3【解析】【分析】將代數(shù)式化為完全平方和常數(shù)項(xiàng)的形式，令常數(shù)項(xiàng)為0求a；【詳解】解：原式=x2﹣2ax+a2－a2＋9=（x－a）2－a2＋9，令－a2＋9=0，解得：a=±3，故答案為：±3【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，牢記完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2021·山東·肥城市邊院鎮(zhèn)過村初級中學(xué)期末）若4x2-（k-2）x+25是一個(gè)完全平方式，則k的值為______．【答案】-18或22##22或-18【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式的特征可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，解得：或；故答案為-18或22．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021·陜西西安·八年級階段練習(xí)）若4x2+（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k＝_____．【答案】13或﹣11##﹣11或13【解析】【分析】這里首末兩項(xiàng)是2x和3這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去2x和3的積的2倍，故k﹣1＝±12，可求出答案．【詳解】解：由于（2x±3）2＝4x2±12x+9＝4x2+（k﹣1）x+9，則k﹣1＝±12，k＝13或﹣11．故答案為：13或﹣11．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2022·湖北十堰·八年級期末）若是完全平方式，則______．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式判斷即可確定出的值．【詳解】解：由題意知，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)求解．【類型二利用乘法公式化簡求值問題】例2.（2022·福建漳州·八年級期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．【答案】x-2y，-3【解析】【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將x與y的值代入原式即可求出答案．【詳解】解：原式=（x2-4xy+4y2+x2-4y2）÷2x=（2x2-4xy）÷2x=x-2y，當(dāng)x=-2，y=時(shí)，原式=-2-2×=-2-1=-3．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓(xùn)練1】（2021·山東青島·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】由平方差公式、完全平方公式，整式的加減乘除運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后把，代入計(jì)算，即可求出答案．【詳解】解：====；當(dāng)，時(shí)，原式=；【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，整式的加減乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡．【變式訓(xùn)練2】（2021·山東棗莊·七年級階段練習(xí)）化簡和化簡求值(1)（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），(2)（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中【答案】(1)﹣2xy+y2(2)x2+3，3【解析】【分析】（1）直接利用乘法公式以及整式的混合運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用乘法公式以及整式的混合運(yùn)算法則化簡，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．(1)解：原式＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣2（2x2+xy+4xy+2y2）＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣2（2x2+5xy+2y2）＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣4x2﹣10xy﹣4y2＝﹣2xy+y2；(2)原式＝x2﹣4x+4﹣4x2+4x+4x2﹣1＝x2+3，當(dāng)x時(shí)，原式＝（）2+3＝3．【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡求值．熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則，乘法公式是解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練3】（2021·遼寧錦州·七年級期中）先化簡，再求值：，其中x＝－1，y＝1．【答案】，-9【解析】【分析】首先進(jìn)行整式的乘法和除法，然后進(jìn)行加減運(yùn)算，再代入數(shù)值求出結(jié)果．【詳解】解：原式，當(dāng)x＝－1，y＝1時(shí)，原式＝－9．【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡求值，首先進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，再把數(shù)值代入化簡后的式子求值，運(yùn)算中注意乘法公式的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練4】（2022·海南?？凇ぐ四昙壠谀┯?jì)算(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中，．【答案】(1)(2)(3)，【解析】【分析】（1）根據(jù)整式的混合運(yùn)算化簡即可；（2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡即可；（3）先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式化簡，再將字母的值代入求解即可．(1)(2)(3)當(dāng)，時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，整式的化簡求值，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【類型三利用完全平方配方求最值問題】例3．（2022·四川省榮縣中學(xué)校八年級階段練習(xí)）先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式及的值恒為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．∵(x+2)2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴當(dāng)(x+2)2＝0時(shí)，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多項(xiàng)式的最大(小)值時(shí)，我們可以這樣處理：解：原式=，因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，所以的最小值為0，此時(shí)，進(jìn)而的最小值是，所以當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是?22．解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，探求：（2）多項(xiàng)式的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值．（3）多項(xiàng)式的最大值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值．【答案】（1）3，3；（2）最小值是12，的值為1．（3）最大值是7，的值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給的解題思路和方法進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)題目所給的解題思路和方法進(jìn)行求解即可．（3）根據(jù)題目所給的解題思路和方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1），∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是0，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是3，∴的最小值是3，故答案為：3，3；（2）原式=，因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，所以的最小值為0，此時(shí)，進(jìn)而的最小值是，所以當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是12；（3）原式=，因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，所以的最小值為0，此時(shí)，進(jìn)而的最大值是，所以當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最大值是7．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的值恒為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)以及不等式的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練1】（2022·云南曲靖·八年級期末）閱讀下列材料，并回答后面的問題：數(shù)學(xué)課上，李老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式，對式子作如下變形：解：∵∴∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值是－7通過閱讀，求代數(shù)式的最小值．【答案】－2【解析】【分析】把原式用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值即可．【詳解】x2－6x+7=x2－6x+9－2=（x2－6x+9）－2=（x－3）2－2，∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2－2≥－2，當(dāng)x=3時(shí)，代數(shù)式x2－6x+7的最小值為－2．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2021·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因?yàn)?，因?yàn)椋缘淖钚≈凳牵畣栴}：（1）小麗的求解過程正確嗎？（2）你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；（3）求的最大值．【答案】（1）正確；（2）能，最小值為-11，見解析；（3）4.【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法，將配方成，進(jìn)一步即可進(jìn)行判斷；（2）利用配方法解題；（3）先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再利用配方法將整式化簡，最后根據(jù)平方的非負(fù)性解題．【詳解】解：（1）小麗的求解過程正確；（2）=

∵，∴的最小值為；（3）==∵，∴的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查配方法求最值，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知識運(yùn)用：若y＝﹣x2+2x﹣3，當(dāng)x＝時(shí)，y有最值（填“大”或“小”），這個(gè)值是；（3）知識拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【答案】（1）3，3；（2）1，大，?2；（3）y＋x的最小值為?6【解析】【分析】（1）配方后即可確定最小值；（2）將函數(shù)解析式配方后即可確定當(dāng)x取何值時(shí)能取到最小值；（3）首先得到有關(guān)x＋y的函數(shù)關(guān)系式，然后配方確定最小值即可．【詳解】解：（1）∵x2?6x＋12＝（x?3）2＋3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，有最小值3；故答案為：3，3；（2）∵y＝?x2＋2x?3＝?（x?1）2?2，∴當(dāng)x＝1時(shí)有最大值?2；故答案為：1，大，?2；（3）∵?x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2?2x?5＝（x?1）2?6，∵（x?1）2≥0，∴（x?1）2?6≥?6，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＋x的最小值為?6．【點(diǎn)睛】考查了因式分解的應(yīng)用及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)Χ稳?xiàng)式進(jìn)行配方，難度不大．【變式訓(xùn)練4】（2021·湖南永州·七年級期末）先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問題．小明在學(xué)習(xí)完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2時(shí)，代數(shù)式（a±b）2的值具有非負(fù)性（即該式的值總是正數(shù)或者0）的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，例如求多項(xiàng)式x2+6x﹣4的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10＝（x2+6x+9）﹣10＝（x+3）2﹣10．因?yàn)闊o論x取什么數(shù)，都有（x+3）2的值為非負(fù)數(shù)，所以（x+3）2的最小值為0，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是﹣10．解決問題：（1）請根據(jù)上面的解題思路探求：多項(xiàng)式x2﹣4x+7的最小值是多少，并寫出此時(shí)x的值；（2）請根據(jù)上面的解題思路探求：多項(xiàng)式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并寫出此時(shí)x的值．【答案】（1）當(dāng)x＝2時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是3；（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原多項(xiàng)式的最大值是6【解析】【分析】（1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)完全平方公式把給出的式子進(jìn)行整理，即可得出答案．【詳解】【解：（1）x2﹣4x+7＝（x2﹣4x+4）+3＝（x﹣2）2+3．∴當(dāng)x＝2時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是3；（2）﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣（x2+2x+1）+1+5＝﹣（x+1）2+6．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原多項(xiàng)式的最大值是6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式.【類型四平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例4.（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）從邊長為a的正方形剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是________________（請選擇正確的一個(gè)）A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）C.a2＋ab＝a（a＋b）D.a2－ab＝a（a－b）(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；(3)計(jì)算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．【答案】(1)B(2)3(3)【解析】【分析】（1）結(jié)合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計(jì)算即可．（3）利用平方差公式展開計(jì)算化簡，最后求值．(1)∵邊長為a的正方形面積是a2，邊長為b的正方形面積是b2，剩余部分面積為a2－b2；圖（2）長方形面積為（a＋b）（a－b）；∴驗(yàn)證的等式是a2－b2＝（a＋b）（a－b）故答案為：B．(2)∵x2－9y2＝（x＋3y）（x－3y）＝12，且x＋3y＝4∴x－3y＝3(3)（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）＝（1＋）（1－）（1＋）（1－）…（1＋）（1－）＝×＝＝【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·廣西·上思縣教育科學(xué)研究所八年級期末）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數(shù)式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化簡）；(2)以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？請寫出這個(gè)乘法公式；(3)運(yùn)用（2）中得到的公式，計(jì)算：20152﹣2016×2014．【答案】(1)，；(2)平方差公式，；(3)1【解析】【分析】（1）利用面積公式計(jì)算即可；（2）由，即可得到=；（3）將2016×2014利用平方差公式變形為（2015+1）×（2015-1），再計(jì)算乘法及加減法．(1)解：，，故答案為：，；(2)解：∵，∴=，是平方差公式，故答案為：平方差公式，；(3)解：20152﹣2016×2014===1．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式與幾何圖形的結(jié)合，正確掌握平方差公式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2022·河南信陽·八年級期末）實(shí)踐與探索：如圖1，邊長為a的大正方形里有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）.(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：___________（請選擇正確的一個(gè)）A． B． C．(2)請應(yīng)用這個(gè)等式完成下列各題：①已知，，則____________.②計(jì)算：.【答案】(1)A(2)①4；②．【解析】【分析】（1）分別求出①陰影部分的面積和②的面積，由②是由①陰影部分拼成，即①陰影部分的面積與②的面積相等，由此即可得出答案；（2）①利用平方差公式將，變形為，再將代入，即可求出的值；②將9改為(10-1)，即可利用平方差公式計(jì)算．(1)①陰影部分的面積為，②的面積為，由②是由①陰影部分拼成，∴①陰影部分的面積與②的面積相等，即．故選A．(2)①∵，∴．∵，∴．故答案為：4．②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景及其應(yīng)用與拓展，冪的乘方，熟練掌握公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2022·江西·新余四中八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______；（請選擇正確的選項(xiàng)）A.；B．；C．(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①己知，，則______．②計(jì)算：【答案】(1)A(2)①4；②【解析】【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得到答案；（2）①根據(jù)平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；②先利用平方差公式變形，再約分即可得到答案．(1)解：圖1陰影部分的面積為：a2-b2，圖2陰影部分的面積為：（a+b）（a-b），∵圖1和圖2陰影部分面積相等，∴a2-b2=（a+b）（a-b），故選：A；(2)解：①∵4a2-b2=24，∴（2a+b）（2a-b）=24，∵2a+b=6，∴2a-b=4，故答案為：4；②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景及其應(yīng)用與拓展，熟練掌握公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2022·廣東東莞·八年級期末）從邊長為a的正方形中減掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（2）運(yùn)用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：．【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②．【解析】【分析】（1）分別表示出圖1陰影部分的面積和圖2陰影部分的面積，由二者相等可得等式；（2）①將已知條件代入（1）中所得的等式，計(jì)算即可；②利用平方差公式將原式的各個(gè)因式進(jìn)行拆分，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）圖1陰影部分的面積為a2-b2，圖2陰影部分的面積為（a+b）（a-b），二者相等，從而能驗(yàn)證的等式為：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b），∴21=（a+b）×3，∴a+b=7；②====．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景及其在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期中）如圖①所示是一個(gè)長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)相同的小長方形，然后按圖②的方式拼圖．(1)你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于________________．(2)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．方法①________________________________________________________．方法②________________________________________________________．(3)觀察圖②，你能寫出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若．，求的值【答案】(1)；(2)①；②；(3)；(4)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得四個(gè)相同的小長方形的長，寬；再根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論，，通過圖②中陰影部分的面積=正方形面積四個(gè)相同的小長方形面積總和的關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案；②根據(jù)（1）的結(jié)論，得，通過計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論分析，即可得到答案；（4）根據(jù)代數(shù)式和含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．(1)根據(jù)題意，四個(gè)相同的小長方形的長，寬∴圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于：故答案為：；(2)①如圖：根據(jù)（1）的結(jié)論，∴正方形面積，四個(gè)相同的小長方形面積

∴四個(gè)相同的小長方形面積總和為圖②中陰影部分的面積=正方形面積四個(gè)相同的小長方形面積總和；故答案為：②根據(jù)（1）的結(jié)論，得∴圖②中陰影部分的面積故答案為：；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，得：；(4)∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式、有理數(shù)運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，從而完成求解．【變式訓(xùn)練1】（2022·重慶九龍坡·八年級期末）有一個(gè)邊長為a+b的正方形，按圖1切割成4個(gè)小方塊，b2，ab，ab，a2分別為4個(gè)小方塊的面積．(1)請用圖1中所給圖形的邊長與面積，表示其中的等量關(guān)系：．(2)利用（1）中的結(jié)論解決：若a+b＝7，ab＝12，則a2+b2＝，a﹣b＝．(3)若實(shí)數(shù)m、n滿足（m﹣n﹣2）2+（8﹣m+n）2＝10，則（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝．(4)如圖2，Rt△ABC的斜邊AC＝26，分別以邊AB、BC為直徑向△ABC的外側(cè)作半圓，兩半圓面積分別記作S1和S2．若△ABC的周長為60，S1+S2＝，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)25；-1(3)78(4)120【解析】【分析】（1）根據(jù)4個(gè)小方塊的面積與大正方形的面積相等求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用完全平方公式的變形求解即可；（3）利用完全平方公式的變形求解即可；（4）先根據(jù)題意得到，，再由△ABC的周長為60，得到AB+BC=60-AC=34，再根據(jù)完全平方公式的變形求解即可．(1)解：由題意得：，故答案為：；(2)解：∵a+b＝7，∴，又∵ab＝12，∴，∵，∴（根據(jù)圖形，正值已經(jīng)舍去），故答案為：25；-1；(3)解：，∴，∴，∴，故答案為：78；(4)解：由題意得：，，∵△ABC的周長為60，∴AB+AC+BC=60，∴AB+BC=60-AC=34，∴∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，完全平方公式的變形求值，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2022·湖南衡陽·八年級期末）完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a＋b＝3，ab＝1，求的值．解：因?yàn)閍＋b＝3，ab＝1，所以，2ab＝2，即可得得根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若x＋y＝8，，則xy＝______；(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；②若（4－x）（5－x）＝8，求的值；(3)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形的，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)①；②(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式變形求出的值，從而求出的值；（2）①先求出的值，再求出的值；②先把要求的式子變形之后在代入求值；（3）先設(shè)出、的長度，再代入題目中得到關(guān)于、的式子，再根據(jù)完全平方公式求出的值，最后求出陰影部分的面積．(1)解：∵∴∵∴∴(2)解：①∵，∴∴②∵∴(3)解：設(shè)，∵，∴，∴∴∵四邊形為正方形∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的運(yùn)用，以及三角形的面積計(jì)算，熟練掌握運(yùn)用完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習(xí)）閱讀下列材料并解答后面的問題：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，從而使某些問題得到解決．已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．(1)已知a+＝6．求a2+的值；(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．【答案】(1)34(2)82【解析】【分析】根據(jù)所給材料完全平方公式的變形形式，對所求整式進(jìn)行變形即可解題．(1)（1）∵（a+）2＝a2++2，∴a2+＝（a+）2﹣2＝62﹣2＝34；(2)（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4+2×3＝10，a2b2＝9，∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝100﹣2×9＝82．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式，并對其靈活變形應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2022·福建龍巖·八年級期末）（1）【觀察】如圖1是一個(gè)長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a-b）2，ab之間的等量關(guān)系：______；（2）【應(yīng)用】若m+n=6，mn=5，則m-n=______；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE=5，CG=15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）±4；（3）圖中陰影部分的面積為1300．【解析】【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個(gè)長寬分別為a，b的長方形面積，可得答案；（2）將m+n=6，mn=5代入（1）中公式即可；（3）由正方形ABCD的邊長為x，則DE=x-5，DG=x-15，得（x-5）（x-15）=300，設(shè)m=x-5，n=x-15，mn=300，得m-n=10，則S陰影=（m+n）2=（m-n）2+4mn，代入即可．【詳解】解：（1）由圖形知，大正方形的面積為（a+b）2，中間小正方形的面積為（b-a）2，大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個(gè)長寬分別為a，b的長方形面積，∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，故答案為：（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵（a+b）2-（a-b）2=4ab，將m+n=6，mn=5代入得：62-（m-n）2=4×5，∴（m-n）2=16，∴m-n=±4，故答案為：±4；（3）∵正方形ABCD的邊長為x，∴DE=x-5，DG=x-15，∴（x-5）（x-15）=300，設(shè)m=x-5，n=x-15，mn=300，∴m-n=10，∴S陰影=（m+n）2=（m-n）2+4mn=102+4×300=1300，∴圖中陰影部分的面積為1300．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，圖形的面積，關(guān)鍵是能從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，并能進(jìn)行公式的變形應(yīng)用．【課后訓(xùn)練】一、填空題1．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)南京師范大學(xué)附屬龍崗學(xué)校七年級階段練習(xí)）若x2＋mx＋121是一個(gè)完全平方公式，則m＝________．【答案】±22【解析】【分析】利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、(a?b)2=a2?2ab+b2計(jì)算即可．【詳解】解：∵x2+mx+121是一個(gè)完全平方公式形式，∴x2+mx+121=(x±11)2=x2±22x+121，∴m=±22．故答案為：±22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對解題非常重要．2．（2021·重慶一中七年級階段練習(xí)）若4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，則m＝______．【答案】14或﹣10【解析】【分析】根據(jù)完全平方式得出（m﹣2）x＝±2?2x?3，再求出答案即可．【詳解】解：∵4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，∴（m﹣2）x＝±2?2x?3，即m﹣2＝±12，解得：m＝14或﹣10，故答案為：14或﹣10．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．3．（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，則的值為______．【答案】9【解析】【分析】先將化簡得到，然后利用完全平方公式得到，再將代入求值．【詳解】解：∵又∵∴故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵．4．（2022·海南海口·八年級期末）已知，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)七年級階段練習(xí)）若是完全平方式，則m＝___________．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵，是完全平方式，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心八年級期末）已知，，則的值為________．【答案】10【解析】【分析】將變形為，代入即可求得．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方差公式，掌握完全平方差公式的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）若代數(shù)式的值為0，則______．【答案】6【解析】【分析】首先將分成兩個(gè)完全平方式的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方和與差公式，正確的理解并寫出公式是解題的關(guān)鍵．8．（2020·山東煙臺·期中）如圖，從邊長為（a+4）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一邊為a，另一邊長是______．【答案】a+8【解析】【分析】先求出剩余部分的面積為：（a+4）2﹣16＝a2+8a，再由面積相等，即可求解．【詳解】解：∵邊長為（a+4）的正方形的面積為（a+4）2，邊長為4的正方形的面積為16，∴減去正方形后剩余部分的面積為：（a+4）2﹣16＝a2+8a，∵長方形的寬為a，∴長方形的長為：（a2+8a）÷a＝a+8，故答案為：a+8．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．能夠通過所給正方形和長方形的面積關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．二、解答題9．（2022·吉林·長春市第八十七中學(xué)九年級開學(xué)考試）先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．【答案】，．【解析】【分析】先計(jì)算平方差公式與完全平方公式，再計(jì)算整式的加減，然后將的值代入計(jì)算即可得．【詳解】解：原式，將代入得：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則和乘法公式是解題關(guān)鍵．10．（2021·重慶一中七年級階段練習(xí)）化簡求值：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x，其中x，y滿足：x2+y2﹣4x+6y+13＝0．【答案】|﹣8x2+4xy|÷x；28．【解析】【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，去掉絕對值符號，最后求出答案即可．【詳解】解：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x＝|x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2|÷x＝|﹣8x2+4xy|÷x，∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，即（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，當(dāng)x＝2，y＝﹣3時(shí)，﹣8x2+4xy＝﹣32﹣24＝﹣56，原式＝（8x2﹣4xy）÷x＝8x﹣4y＝16+12＝28．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，絕對值，整式的混合運(yùn)算與求值等知識點(diǎn)，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．11．（2021·福建省福州第十六中學(xué)八年級期中）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，-4045【解析】【分析】通過乘法公式對括號的進(jìn)行計(jì)算化簡，然后計(jì)算除法，將，代入代數(shù)式中求值即可；【詳解】解：．當(dāng)，時(shí)，代入中，解得∴化簡結(jié)果為，值為，【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算及代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于利用乘法公式進(jìn)行化簡．12．（2021·河南·鶴壁市外國語中學(xué)八年級階段練習(xí)）化簡求值：，其中，．【答案】；【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算得到最簡結(jié)果，把與的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式，

，

，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的混合運(yùn)算—化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·深圳市龍華中學(xué)七年級階段練習(xí)）簡答下列各題：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____．【答案】(1)a＋b＝±2；a－b＝0(2)7，119【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計(jì)算，將代數(shù)式的值代入求解即可；（2）將已知等式利用完全平方公式變形求值即可(1)解：∵a2＋b2＝2，ab＝1，∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．(2)解：∵a＋＝3，∴若a－＝3，∴故答案為：7,119【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，根據(jù)完全平方公式變形求值是解題的關(guān)鍵．14．（2021·河南·濮陽市華龍區(qū)高級中學(xué)八年級階段練習(xí)）（1）試說明：代數(shù)式的值與的取值無關(guān)．（2）先化簡，再求值：，其中，．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）將代數(shù)式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算，去括號合并得到一個(gè)常數(shù)，可得代數(shù)式的值與的取值無關(guān)；（2）將代數(shù)式利用平方差公式、完全平方公式計(jì)算，進(jìn)行化簡后，將，代入求值即可．【詳解】（1）原式所以，代數(shù)式的值與的取值無關(guān)；（2）原式將，代入得原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算及代數(shù)式求值，涉及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、平方差公式、完全平方公式等，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2022·貴州黔西·八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計(jì)算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【答案】（1）；（2）①4；②20100．【解析】【分析】（1）將兩個(gè)圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式將寫成，以此類推，然后化簡求值．【詳解】解：（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到公式故答案為．（2）①∵∴又∵2a+b＝6，故答案為4．②【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用．熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．16．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填到題中橫線上）．方法1；方法2．(2)觀察圖2，請你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，àb之間的等量關(guān)系為；(3)曉曉同學(xué)利用上面的紙片拼出了一個(gè)面積為a2+3ab+2b2的長方形，這個(gè)長方形相鄰兩邊長為；(4)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．【答案】(1)，(2)=(3)a+b，a+2b(4)①11；②16【解析】【分析】（1）方法1由圖知，大正方形的邊長為a+b，則可求得正方形的面積；方法2由圖知，大正方形由兩個(gè)邊長分別為a與b的兩個(gè)小正方形及兩個(gè)長為b、寬為a的長方形組成，從而可求得大正方形的面積；（2）由（1）知，可得（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（3）由于，從而可得長方形相鄰兩邊的長；（4）①由（2）中的等量關(guān)系式即可求得ab的值；②考慮到2020比2021小1，2022比2021大1，則x?2020=(x?2021)+1，x?2022=(x?2021)?1，利用（2）中的等量關(guān)系即可求得結(jié)果．(1)方法1

由圖知，大正方形的邊長為a+b，則大正方形的面積為；方法2

由圖知，大正方形由兩個(gè)邊長分別為a與b的小正方形及兩個(gè)長為b、寬為a的長方形組成，所以大正方形的面積為；故答案為：方法1；方法2

(2)由（1）知：、均表示同一正方形的面積，所以=故答案為：=(3)由于所以面積為a2+3ab+2b2的長方形相鄰兩邊長為a+b，a+2b故答案為：a+b，a+2b(4)①∵=即∴ab=11②∵x?2020=(x?2021)+1，x?2022=(x?2021)?1∴即∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與幾何圖形的面積，完全平方公式與幾何圖形的面積，完全平方公式的變形應(yīng)用等知識，注意數(shù)形結(jié)合．17．（2022·福建泉州·八年級期末）乘法公式給出了、與的數(shù)量關(guān)系，靈活的應(yīng)用這個(gè)關(guān)系，可以解決一些數(shù)學(xué)問題．(1)若，，求的值；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，且，以為一邊作正方形，以的長為邊長過點(diǎn)作正方形，若長方形的面積是，求陰影部分的面積．【答案】(1)19(2)195(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行解答即可得；（2）將進(jìn)行變形，進(jìn)行解答即可得；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，則，根據(jù)邊的關(guān)系得，根據(jù)長方形的面積是得，根據(jù)完全平方公式得，則，，又因?yàn)?，所以，即可得陰影部分的面積．(1)解：∵，，∴．(2)解：∵，∴，即.∴．(3)解：∵四邊形和都是正方形，

∴，，∴，∴，∵，∴.∴，∵長方形的面積是，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，完全平方公式與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．18．（2021·上海浦東新·七年級期中）數(shù)學(xué)課上，王老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；(2)觀察圖2，請你寫出代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．【答案】(1)；(2)(3)①；②-2【解析】【分析】（1）方法1，由大正方形的邊長為（a+b），直接求面積；方法2，大正方形是由2個(gè)長方形，2個(gè)小正方形拼成，分別求出各個(gè)小長方形、正方形的面積再求和即可；（2）由（1）直接可得關(guān)系式；（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，兩式子直接作差即可求解；②設(shè)2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．(1)方法一：∵大正方形的邊長為（a+b），∴S=（a+b）2；方法二：大正方形是由2個(gè)長方形，2個(gè)小正方形拼成，∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；(2)由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案為：（a+b）2=a2+b2+2ab；(3)①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，由①-②得，-4ab=-12，解得：ab=3；②設(shè)2021-a=x，a-2020=y，∴x+y=1，∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，解得：xy=-2，∴（2021-a）（a-2020）=-2．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，熟練掌握正方形、長方形面積的求法，靈活應(yīng)用完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．19．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)南京師范大學(xué)附屬龍崗學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖①，是一個(gè)長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線(對稱軸)剪開，把它分成四個(gè)形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形(中間是空的)．(1)圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為__________(用含m，n的式子表示)；(2)觀察圖②，寫出代數(shù)式(m＋n)2，(m-n)2與mn之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)(2)中的等量關(guān)系解決下面的問題：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；②若a＋=3，求a2＋的值．【答案】(1)m-n(2)(m＋n)2=(m-n)2＋4mn(3)①29；②7【解析】【分析】(1)結(jié)合圖形即可求得；(2)根據(jù)大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)長方形的面積，即可寫出；(3)根據(jù)(2)中關(guān)系即可分別求得．(1)解：圖②中畫有陰影的小正方形的邊長(m-n)；(2)解：∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)長方形的面積，∴(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；(3)解：①由(2)得：(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；∵m＋n=7，mn=5，∴(m-n)2=(m＋n)2-4mn=49-20=29；②∵a＋=3，∴．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，理清面積之間的關(guān)系是得出等式的關(guān)鍵．20．（2022·江西贛州·八年級期末）圖1是一個(gè)長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個(gè)代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)（a+b）2=（a-b）2+4ab(2)m+n=2或-2(3)圖中陰影部分面積為【解析】【分析】（1）利用等面積法，大正方形面積等于陰影小正方形面積加上四個(gè)長方形面積，得到關(guān)系式；（2）由（1）得到的關(guān)系式求解即可；（3）設(shè)AC=m，BC=n，則m+n=8，m2+n2=26，由（1）得到的關(guān)系式求解即可．(1)解：由圖形面積得（a+b）2=（a-b）2+4ab，故答案為：（a+b）2=（a-b）2+4ab；(2)解：由（1）題所得（a+b）2=（a-b）2+4ab，∴（m+n）2=（m-n）2+4mn，∴當(dāng)mn=-3，m-n=4時(shí)，（m+n）2=42+4×（-3）=4，∴m+n=2或-2；(3)解：設(shè)AC=m，BC=n，則m+n=8，m2+n2=26，又由（m+n）2=m2+2mn+n2，得2mn=（m+n）2-（m2+n2）=64-26=38，∴圖中陰影部分的面積為：mn=．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何意義，關(guān)鍵是能用算式表示圖形面積并進(jìn)行拓展應(yīng)用．21．（2022·四川省渠縣中學(xué)七年級開學(xué)考試）我們在求代數(shù)式的最小值時(shí)，可以考慮用如下法求得：解：∵

∴∴的最小值是4．請用上面的方法解決下面的問題：(1)代數(shù)式的最小值為______．(2