2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步階段性評(píng)估2習(xí)題含解析北師大版必修2

階段性評(píng)估(二)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．在空間中，下列命題中正確的是(C)A．若兩直線a，b與直線l所成的角相等，那么a∥bB．若兩直線a，b與平面α所成的角相等，那么a∥bC．假如直線l與兩平面α，β所成的角都是直角，那么α∥βD．若平面γ與兩平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β解析：A錯(cuò)，兩直線可平行或相交或異面；B錯(cuò)，若兩直線與平面α所成角相等，兩直線可平行，也可相交(如圓錐的每一條母線與圓錐的底面所成角均相等)；C正確，據(jù)已知直線l⊥α，l⊥β，故必有α∥β；D錯(cuò)誤，據(jù)題意得α⊥γ，β⊥γ，則α，β可平行也可相交(如墻角或長(zhǎng)方體從一頂點(diǎn)引出的三個(gè)平面，留意長(zhǎng)方體是空間想象的一個(gè)重要模型，考生應(yīng)很好地利用它)．2．如圖為一個(gè)正方體的表面綻開圖，則在原正方體中，線段AB，CD的位置關(guān)系是(D)A．平行B．垂直但不相交C．異面但不垂直D．相交解析：將表面綻開圖還原易得直線AB與CD為相交直線，故選D.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1A．1 B．2C．3 D．6解析：僅有平面ABCD和平面A1B1C1D1與直線AA14．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是(B)A．若m，n都平行于平面α，則m，n肯定不是相交直線B．若m，n都垂直于平面α，則m，n肯定是平行直線C．已知α，β相互平行，m，n相互平行，若m∥α，則n∥βD．若m，n在平面α內(nèi)的射影相互平行，則m，n相互平行解析：A中，m，n可以是相交直線；B正確；C中，n可以平行β，也可以在β內(nèi)；D中，m，n也可能異面．5．已知PA⊥矩形ABCD，下列結(jié)論中不正確的是(C)A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：如圖所示，由PA⊥矩形ABCD可得BC⊥平面PAB，DA⊥平面PAB，DC⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，則有PB⊥BC，PD⊥CD，PA⊥BD均正確，而PD⊥BD不正確，故應(yīng)選C.6．下列命題中不正確命題的個(gè)數(shù)是(C)①過空間隨意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；②過空間隨意一條直線有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；③過空間隨意一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知的兩條異面直線平行；④過空間隨意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：考查正方體中相互垂直的線和平面．對(duì)于①：過空間隨意一點(diǎn)不是有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直，如圖中平面A1D和平面A1B與平面AC都垂直，故①錯(cuò)；對(duì)于②：過空間隨意一條直線有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直，這是錯(cuò)誤的，如圖中平面A1D和平面A1B都與平面AC垂直，故②錯(cuò)；對(duì)于③：過空間隨意一點(diǎn)不是有且僅有一個(gè)平面與已知的兩條異面直線平行，如圖中過C1的與A1B1和AD都平行的平面就不存在，故③錯(cuò)；對(duì)于④：過空間隨意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直是正確的．故選C.7．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)H是棱B1C1的中點(diǎn)，則四邊形BDD1A．平行四邊形 B．矩形C．空間四邊形 D．菱形解析：∵D1H與DB是異面直線，∴四邊形BDD1H是空間四邊形，故應(yīng)選C.8．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是線段C1D1，A1D1，BD1，BC①M(fèi)N∥平面APC；②B1Q∥平面DMN；③A，P，M三點(diǎn)共線；④平面MNQ∥平面APC.正確的序號(hào)為(A)A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：逐一推斷．因?yàn)镸N∥AC，MN?平面APC，AC平面APC，所以MN∥平面APC，故①正確；又因?yàn)锽1Q∥ND，B1Q?平面DMN，ND平面DMN，所以B1Q∥平面DMN，故②正確；因?yàn)锳，P，C1三點(diǎn)共線，所以③錯(cuò)誤；平面MNQ與平面APC相交，故④錯(cuò)誤．9．如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B，B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心．從K，H，G，B′中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為(C)A．K B．HC．G D．B′解析：當(dāng)點(diǎn)P與K重合時(shí)，平面PEF即為平面KEF，因?yàn)镵F與三棱柱三條側(cè)棱都平行，不滿意題設(shè)條件．當(dāng)P點(diǎn)與H重合時(shí)，平面PEF即為平面HEF，當(dāng)平面HEF與三棱柱兩底平面均平行時(shí)，有六條棱平行于平面HEF不合題意．當(dāng)P點(diǎn)與B′點(diǎn)重合時(shí)，平面PEF即為平面B′EF，此時(shí)三棱柱棱中只有一條棱AB與它平行不合題意．當(dāng)P點(diǎn)與G點(diǎn)重合時(shí)，平面PEF即為平面GEF，此時(shí)恰有三棱柱的兩條棱AB，A′B′與平面平行滿意題意．故應(yīng)選C.10．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(D)A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°解析：∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.11．如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形(A′不與A，F(xiàn)重合)，則下列命題中真命題為(C)①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′－FED的體積有最大值．A．① B．①②C．①②③ D．②③解析：折疊前DE⊥AF，折疊后其位置關(guān)系沒有變更．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上．②∵BC∥DE，BC平面A′DE，DE平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A′－FED的體積達(dá)到最大．12．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿意PQ⊥DQ，則a的取值狀況是(A)A．有且僅有一個(gè) B．至少有一個(gè)C．至多有一個(gè) D．有多數(shù)個(gè)解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ.因?yàn)锽C邊上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿意PQ⊥DQ，所以在矩形ABCD中，只有一個(gè)點(diǎn)Q滿意AQ⊥QD.所以以AD為直徑的圓與BC相切，所以BC＝AD＝2AB＝2，即a＝2只有一個(gè)值．選A.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13．如圖，在正方體AC1中，AA1與B1D所成角的余弦值是eq\f(\r(3),3).解析：如圖，因?yàn)锽1B∥A1A，所以∠BB1D就是異面直線AA1與B1D所成的角，連接BD在Rt△B1BD中，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則B1D＝eq\r(3).cos∠BB1D＝eq\f(BB1,B1D)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).所以AA1與B1D所成的角的余弦值為eq\f(\r(3),3).14．過正方體ABCD—A1B1C1D1的三個(gè)頂點(diǎn)A1，C1，B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1解析：因?yàn)檫^A1，C1，B三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為A1C1，與底面ABCD的交線為l，由于正方體的兩底面相互平行，則由面面平行的性質(zhì)定理知l∥A115．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，E是A1C1上一點(diǎn)，且A1B∥平面B1DE，則eq\f(A1E,EC1)的值為eq\f(1,2).解析：連接BC1交B1D于點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)槠矫鍭1BC1∩平面B1DE＝EF，A1B∥平面B1DE，所以A1B∥EF，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(BF,FC1).因?yàn)锽C∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以eq\f(BF,FC1)＝eq\f(BD,B1C1).因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以eq\f(BD,B1C1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(1,2).16．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，若正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是2，則點(diǎn)F的軌跡被正方形BCC1B1截得的線段長(zhǎng)是eq\r(2).解析：如圖所示，設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG，EG，則G為BC的中點(diǎn)，分別取B1B，B1C1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MN，A1N，因?yàn)锳1M∥D1E，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，所以平面A1MN∥平面D1AE.因?yàn)锳1F∥平面D1AE，所以A1F平面A1MN，所以點(diǎn)F的軌跡被正方形截得的線段是MN，其長(zhǎng)度是三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知：空間四邊形ABCD中，如圖，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．證明：(1)在△ABD和△CBD中，∵E，H分別是AB和AD的中點(diǎn)，∴EH綊eq\f(1,2)BD.又∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴FG綊eq\f(2,3)BD.∴EH∥FG.所以，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，即EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為P.∵E，F(xiàn)∈平面ABC，∴EF平面ABC.∵P∈EF，∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，所以EF，GH，AC交于一點(diǎn)．18．(12分)如圖，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分別是AB，PC，CD的中點(diǎn)．求證：(1)直線AR∥平面PMC；(2)直線MN⊥直線AB.證明：(1)∵四邊形ABCD為矩形，M，R分別為AB，CD的中點(diǎn)．∴AM∥CR且AM＝CR.∴四邊形AMCR是平行四邊形，∴CM∥AR.又∵AR?平面PCM，CM平面PCM，∴AR∥平面PMC.(2)連接MR，NR，如圖，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(MR∥AD,NR∥PD))?平面PAD∥平面NMR，∴AB⊥平面MNR，∴AB⊥MN.19．(12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA；(2)若過點(diǎn)A作直線l⊥平面ABC，求證：直線l∥平面PBC.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因?yàn)镃P平面PBC，所以CP⊥AB.又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，所以CP⊥平面PAB.又PA平面PAB，所以CP⊥PA.(2)在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D.因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.又l?平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC.20．(12分)如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE＝BF＝2，AB＝2eq\r(2).現(xiàn)將梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB，且EF＝2AB，得一簡(jiǎn)潔組合體ABCDEF，如圖2所示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面BCF；(2)求證：AP⊥平面DAE.證明：(1)在題圖2中，連接AC.∵四邊形ABCD是矩形，N為BD的中點(diǎn)，∴N為AC的中點(diǎn)．在△ACF中，M為AF的中點(diǎn)，∴MN∥CF.∵CF平面BCF，MN平面BCF，∴MN∥平面BCF.(2)依題意，知DA⊥AB，DA⊥AE，且AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABFE.又AP平面ABFE，∴AP⊥AD.∵P為EF的中點(diǎn)，∴FP＝AB＝2eq\r(2).又AB∥EF，∴四邊形ABFP是平行四邊形，∴AP∥BF，且AP＝BF＝2.又AE＝2，PE＝2eq\r(2)，∴AP2＋AE2＝PE2，∴∠EAP＝90°，即AP⊥AE.又AD∩AE＝A，∴AP⊥平面ADE.21．(12分)四棱錐P－ABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形態(tài)和大小如圖所示．(1)寫出四棱錐P－ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系(不要求證明)；(2)在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD.解：(1)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD.(2)證法一：取PD的中點(diǎn)F，連接EF，CF，如圖，∵E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD.在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴EF∥BC，且EF＝BC.∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴BE∥CF.又∵CF平面PCD，BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD.證法二：取AD的中點(diǎn)N，連接EN，BN，如圖，∵E，N分別是PA，AD的中點(diǎn)，∴EN∥PD.又∵EN?平面PCD，∴EN∥平面PCD.在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD＝DN，∴四邊形BCDN是平行