導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第13講 證明不等式之對數(shù)單身狗指數(shù)找朋友（含答案及解析）

第13講證明不等式之對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典型例題】例1．已知，函數(shù)．（Ⅰ）證明：在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)．證明：（?。?；（ⅱ）．例2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證不等式解集為空集．例3．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為（a），證明：（a）．例4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．2．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．3．已知二次函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，．證明：對任意，，，恒有．4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論在上的單調(diào)性；（3）證明：在（1）的條件下．

第13講證明不等式之對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【典型例題】例1．已知，函數(shù)．（Ⅰ）證明：在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)．證明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】證明：當(dāng)，時(shí)，，所以在，是減函數(shù)（2分），（1），所以在上存在唯零點(diǎn)（5分）（Ⅱ）（?。┘醋C，，由已知得，代入上式只要證，（6分）構(gòu)造函數(shù)，，所以為增函數(shù)，所以，（8分）構(gòu)造函數(shù)，，所以為增函數(shù)，，所以，故原不等式成立（10分）由已知，所以，記，，所以為減函數(shù)，因?yàn)椋裕?2分）因?yàn)?，所以，由得，所以，故成立?5分）例2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證不等式解集為空集．【解析】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，令，得，，?dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，解得，，，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，有（1）（a），所以（a）．所以有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增．此時(shí)，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，不等式解集為空集，等價(jià)于在定義域內(nèi)恒成立，即在定義域內(nèi)恒成立；令，所以；令，得，列表得：0遞減最小值遞增，因?yàn)?，所以．又，所以，所以恒成立，所以不等式解集為空集．?．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為（a），證明：（a）．【解析】解：（Ⅰ）顯然的定義域?yàn)椋?分）．（3分），，若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；若，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（5分）（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：，即：．（6分）要證（a），即證明，即證明，令，則只需證明，（8分），且，當(dāng)，，此時(shí)（a），（a）在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)（a），（a）在上單調(diào)遞增，．（11分）．（a）．（12分）例4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），故在點(diǎn)，（1）處的切線方程是；（Ⅱ），，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，由，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，由，解得：或，綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，，時(shí)，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，，；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，只需證明，令，，，故遞增，（1），，故存在，，使得，即，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)，時(shí)，，遞增，故時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值，的最小值是，，【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．【解析】解：（Ⅰ），；時(shí)，；，時(shí)，；（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；設(shè)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）；；原不等式成立．2．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，可得（1），（1），解得；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，即為，即，當(dāng)時(shí)，，即為，設(shè)，，可得在遞增，當(dāng)時(shí)，（1），即有；當(dāng)時(shí)，（1），即有．綜上可得，當(dāng)且時(shí)，都成立．3．已知二次函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，．證明：對任意，，，恒有．【解析】（1）解：設(shè)，于是，所以，，又（1），則．所以．（5分）（2）證明：因?yàn)閷Γ?，，所以在，?nèi)單調(diào)遞減．于是（1）證明，即證明，記，則，所以函數(shù)在，是單調(diào)增函數(shù)，所以（e），故命題成立．（12分）4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，若，則在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞減；（2）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得，此時(shí)，要證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，由，即，故存在使得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在上單減，在，上單增，故當(dāng)時(shí)，有最小值，成立，即得證．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得．若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減綜合上述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，，解得．．即．．令．．．令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在，使得，可得，．．成立．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由題意，得的定義域?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為，所以等價(jià)于，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為（1），所以當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，即．（3）①當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，恒成立，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，即恒成立，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)結(jié)合題意有當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)（1），（2），（3），與題意矛盾．綜上所述，的取值范圍為．7．已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）討論在上的單調(diào)性；（3）證明：在（1）的條件下．【解析】（1）解：因?yàn)?，在處取得極值，則（1），所以，解得，驗(yàn)證知符合條件．（2）解：，當(dāng)時(shí)，在上，