導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第38講 數(shù)值估算問(wèn)題（含答案及解析）

第38講數(shù)值估算問(wèn)題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，記的最大值為，求證：．（證明可能要用到的近似值：，，例2．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達(dá)式；估計(jì)的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．例3．已知，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值（精確到．例4．青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點(diǎn)，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．例5．關(guān)于的函數(shù)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開(kāi)始，實(shí)施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；……在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)都是不同程度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當(dāng)，總有.例6．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.例7．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.例8．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對(duì)于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？（下表的近似值僅供參考）例9．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值，（結(jié)果精確到0.001）例10．已知函數(shù)；（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對(duì)于恒有：，若存在，請(qǐng)求出k的范圍以及正整數(shù)a的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（下表的近似值供參考）例11．已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，考查函數(shù)與方程、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本題型是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.例12．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)的近似值，使得；（Ⅲ）求證：對(duì)恒成立．（參考數(shù)據(jù)：）．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)試比較與的大小，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.2．已知，(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)（常數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底）；(2)根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請(qǐng)推廣至一般的結(jié)論（無(wú)須證明）；(3)已知、是正整數(shù)，，，求證：是滿足條件的唯一一組值.3．已知函數(shù)．(1)這比較與的大?。?2)求證：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：．4．已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）5．已知函數(shù)．(1)若，求a的值；(2)已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．（?。┣蟮谋磉_(dá)式；（ⅱ）估計(jì)的近似值（精確到0.01）．參考數(shù)值：，，，．6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)設(shè)，，證明：有且僅有個(gè)零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：，.）7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：對(duì)于任意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）8．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)求的最小值；(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）9．已知函數(shù)，其中，函數(shù)在上的零點(diǎn)為，函數(shù).(1)證明：①;②函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）10．已知函數(shù)．證明：(1)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)有且僅有唯一零點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：．）11．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)證明：．參考數(shù)據(jù)：．12．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為．(1)求的最小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：，．13．已知函數(shù).(1)證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)，且分別在區(qū)間和內(nèi)；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)的值.參考數(shù)據(jù)：.14．已知函數(shù)，．(1)若在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，．（參考：，，，）15．已知函數(shù)．(1)記，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)a的值．參考數(shù)據(jù)：，，，．16．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，，，.17．已知函數(shù)，，且(1)若，且，試比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，且，證明：（i）；（ii）.（參考數(shù)據(jù)：）18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若滿足，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，試比較a和1.5625的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)：，，，．19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：，，）20．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：.參考數(shù)據(jù)：.21．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn)，且；(2)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：，，）22．已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn)；(2)判斷函數(shù)在上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，）第38講數(shù)值估算問(wèn)題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，記的最大值為，求證：．（證明可能要用到的近似值：，，【解析】解（Ⅰ），，設(shè)，．時(shí)，，時(shí)，，的單調(diào)增區(qū)間為，．（Ⅱ）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，設(shè)，，，．設(shè)，在上遞增，，（1），存在唯一的，使．時(shí)，在上遞減，，，在，上遞增．又，（1），，時(shí)，，（1）．存在唯一實(shí)數(shù)，使，有．即時(shí)，，，時(shí)，，為唯一的極小值點(diǎn)，．在遞減，例2．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達(dá)式；估計(jì)的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．【解析】（本小題滿分12分）解：（1）由題得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，又，且，所以是的極小值點(diǎn)，故．而，于是，解得．下面證明當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即符合題意．綜上，．（2）由于人生日都不相同的概率為，故人生日至少有兩人相同的概率為．由（1）可得當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由得．記，則，即，由參考數(shù)值得，于是，故．例3．已知，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值（精確到．【解析】解：（1），，由于在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，則（1），（1）即，，解得，；（2），由得，即，令則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，即有在上單調(diào)遞增，則（1），這與矛盾，不合題意；若，令△，②當(dāng)時(shí)，△恒成立且即有恒成立，即恒成立即在上單調(diào)遞增，即有（1），這與矛盾，不合題意；③當(dāng)時(shí)，△，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，（不妨設(shè)，由韋達(dá)定理得，，即，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即有在上單調(diào)遞增，則（1），這與矛盾，不合題意；④當(dāng)時(shí)，△，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，（不妨設(shè)，，即有，即有在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，即有（1），這與矛盾，不合題意；⑤當(dāng)時(shí)，△且，則恒成立，即有在，上單調(diào)遞減，（1），合題意．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，恒成立；（3）對(duì)任意的，，由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，可令，可得，即，令，可得，此時(shí)，則，可令有，，取，．例4．青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)，處的曲率．已知函數(shù)，，若，則曲線在點(diǎn)，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．【解析】（1）解：，若，則，，，因?yàn)榍€在點(diǎn)，（1）處的曲率為，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則方程在上有解，即在上有解，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（3）證明：由（2）得，則，則，又，則，所以．例5．關(guān)于的函數(shù)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開(kāi)始，實(shí)施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；……在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)都是不同程度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當(dāng)，總有.【解析】(1)證明：，定義域?yàn)?，所以，在上恒成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點(diǎn)，且.(2)（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即令得所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，所以，.(ii)對(duì)任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：，故令，令所以，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時(shí)，，（若，則，故任意，顯然矛盾）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，對(duì)任意的時(shí)，總有又因?yàn)?，所以，?duì)于任意，均有，所以，所以，綜上，當(dāng)，總有例6．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.【解析】（1）由題得，所以切線的斜率，所以切線方程為.所以切線方程為.（2）由題得，所以.例7．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）利用（1）中的切線方程求的近似值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以切線的斜率，故切線方程為，即；（2）當(dāng)時(shí)，，所以；例8．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對(duì)于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？（下表的近似值僅供參考）【解析】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)，則切線的斜率又，即切點(diǎn)，故函數(shù)在處切線的方程：(2)函數(shù)，則，，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，對(duì)于恒有，轉(zhuǎn)化為，即，令，求導(dǎo)求二階導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，存在使得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，(3)，(4)，(5)，，，，此時(shí)．例9．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，試估算的近似值，（結(jié)果精確到0.001）【解析】解:（1）由題,,,在內(nèi)為增函數(shù),在上恒成立,即,令,則,所以在內(nèi)為增函數(shù),所以.（2）由題,,,①當(dāng)時(shí),,則,在內(nèi)為增函數(shù),,則當(dāng)時(shí),,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；②當(dāng)時(shí),設(shè),則,在內(nèi)為減函數(shù),且,,（i）當(dāng),時(shí),,在內(nèi)為增函數(shù),,則當(dāng)時(shí),,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí),,,,使得,則在內(nèi)為增函數(shù),在內(nèi)為減函數(shù),則,則在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng),解得；（iii）當(dāng),時(shí),,在內(nèi)為減函數(shù),,則當(dāng)時(shí),,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,綜上所述,.（3）由（1）可知,當(dāng)時(shí),在內(nèi)為增函數(shù),所以,即在內(nèi)恒成立,由（2）可知,當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),所以,即在內(nèi)恒成立,綜上,有,即在內(nèi)恒成立,令,則有,可得,即,則,解得,所以的近似值約為1.609.例10．已知函數(shù)；（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對(duì)于恒有：，若存在，請(qǐng)求出k的范圍以及正整數(shù)a的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（下表的近似值供參考）【解析】（Ⅰ），所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，下面證明：，等價(jià)于證明：，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以不等式只有唯一的正整數(shù)解，即，設(shè)，，，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合知存在滿足，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因?yàn)椋?，此時(shí).例11．已知函數(shù)=.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（3）已知，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，所以=.當(dāng)時(shí),,等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對(duì)任意，；當(dāng)時(shí)，若滿足，即時(shí)，，而，因此當(dāng)時(shí)，，綜上，的最大值為2.（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，，所以的近似值為.【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)第(Ι)問(wèn),函數(shù)單調(diào)性的判斷，容易;對(duì)第（2）問(wèn),考慮不到針對(duì)去討論；對(duì)第（3）問(wèn),找不到思路.考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，考查函數(shù)與方程、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及基本題型是解答好本類(lèi)題目的關(guān)鍵.例12．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)的近似值，使得；（Ⅲ）求證：對(duì)恒成立．（參考數(shù)據(jù)：）．【解析】試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的定義推證；（Ⅲ）依據(jù)題設(shè)條件,借助（Ⅰ）的結(jié)論運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求函數(shù)的最小值進(jìn)行推證．試題解析：（Ⅰ）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且．∵函?shù)與均在上遞增，∴在上遞增．又∵在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，∴在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為，且在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)．綜上可知，函數(shù)有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．即函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)為．（Ⅱ）∵，且在上的圖象連續(xù),，∴的零點(diǎn)，即的極值點(diǎn)，即．∴為的近似值可以取，此時(shí)的滿足．（事實(shí)上，極值點(diǎn)的近似值的取值在區(qū)間內(nèi)都是可以的，只要說(shuō)理充分即可．）（Ⅲ）∵，且在上圖象連續(xù)，，∴的零點(diǎn)．的極值點(diǎn)．由（Ⅰ）知，且的最小值為．∵函數(shù)在上遞減，且，∴．∴對(duì)恒成立．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)試比較與的大小，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由題可知：，，而直線的斜率，所以有，解得：或，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有意義，所以，故，所以，，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即有，所以.（2）不妨設(shè)，所以有，化簡(jiǎn)得即，，要證，即證，即證，因?yàn)?，所以即證：，即，設(shè)，因?yàn)?，所以，即證()設(shè)()，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即.2．已知，(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)（常數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底）；(2)根據(jù)（1），判斷并證明與的大小關(guān)系，并請(qǐng)推廣至一般的結(jié)論（無(wú)須證明）；(3)已知、是正整數(shù)，，，求證：是滿足條件的唯一一組值.【解析】（1）的導(dǎo)函數(shù)為，令，得，列表：極大值所以，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）判斷得到，下面證明：由（1），，即，所以，由的單調(diào)遞增，得到.推廣：對(duì)于實(shí)數(shù)，若，則即，以下是證明過(guò)程：由（1）知：在上是嚴(yán)格減函數(shù)，因?yàn)?，所以，則，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以.（3）因?yàn)?，可?jiàn)滿足，

下面證明唯一性：①若，由第二問(wèn)的結(jié)論可知，與矛盾；②若，則即，與矛盾；③若，則即，顯然不滿足，成立，若，由第二問(wèn)結(jié)論可知：，則，于是，與矛盾.綜上，是滿足條件的唯一一組值.3．已知函數(shù)．(1)這比較與的大??；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）令，則設(shè)，則，令，則在上為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)．為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴，即．∴在上單調(diào)遞增，由于，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．綜上可知：（2）當(dāng)時(shí)，要證明，只需證明．由（1）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此只需證明當(dāng)時(shí)，即可．設(shè)，則，因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以的最小值只能是與中最小的一個(gè)．因?yàn)?，而．因?yàn)?，所以，所以，，所以，．所以，?dāng)恒成立，即，所以，當(dāng)時(shí)，．4．已知為正整數(shù)，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數(shù)的取值的集合.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的最大值為.（2）因?yàn)楹愠闪?，所以，即恒成立，所?，當(dāng)或時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，此時(shí)滿足，故或滿足條件.當(dāng)時(shí)，令可得；令時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，所以，所以，令，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的零點(diǎn).令可得：；令可得：.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，?因?yàn)?，所?綜上，正整數(shù)的取值的集合為5．已知函數(shù)．(1)若，求a的值；(2)已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．（?。┣蟮谋磉_(dá)式；（ⅱ）估計(jì)的近似值（精確到0.01）．參考數(shù)值：，，，．【解析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，又，且，所以是的極小值點(diǎn)，故．而，于是，解得．下面證明當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，即符合題意．綜上，．（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率為，故n人生日至少有兩人相同的概率為．（ⅱ）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由（?。┑茫?，則，即，由參考數(shù)值得，于是，故．6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)設(shè)，，證明：有且僅有個(gè)零點(diǎn).（參考數(shù)據(jù)：，.）【解析】（1）已知，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，即，所以在上單調(diào)遞減，即，所以的最小值為（2）因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增.又，，故，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，.所以在上存在唯一零點(diǎn)，顯然，故是的一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，再設(shè)，于是，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且，，故，使得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，故，使?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以在上無(wú)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，所以在上存在唯一零點(diǎn).④當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，此時(shí)無(wú)零點(diǎn).綜上所述，在上有且僅有個(gè)零點(diǎn).7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：對(duì)于任意，恒成立.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意可得定義域?yàn)镽，.當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明:因?yàn)?，且，所以，故，則要證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)于任意恒成立，即證對(duì)一切恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故在處取得極大值，也是最大值，故.因?yàn)?，所以，即，所以，則.故對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立.8．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)求的最小值；(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.所以.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，在處的切線為，由于切線過(guò)點(diǎn)，所以，而由（1），在上單調(diào)遞增，不同的值對(duì)應(yīng)的切線斜率不同設(shè)，所以過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根.，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，至多有一個(gè)實(shí)根，不合題意；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.而時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線.只需證時(shí)，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即.（*）設(shè)，只需證.1）當(dāng)時(shí)，由，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.而，所以，則.2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，.綜上得：原不等式成立.9．已知函數(shù)，其中，函數(shù)在上的零點(diǎn)為，函數(shù).(1)證明：①;②函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）證明：①∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在單調(diào)遞增，∵，∴，，∴存在唯一的零點(diǎn)，且．②當(dāng)時(shí)，，，∵，，∴，∴，∴在單調(diào)遞增，∵，∴，又∵，∴在有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，∴，，則在有唯一的零點(diǎn)，∴在有唯一的零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：由（1）可知，其中，由得，即，由得，設(shè)，則，∵，∴，而時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，∴，要證，即證，即證，即證，設(shè)，則即證，設(shè)，則，（，，取不到等號(hào)）∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即，故．10．已知函數(shù)．證明：(1)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)；(2)有且僅有唯一零點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：．）【解析】（1）由題可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，由函?shù)零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）（ⅰ）由（1）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以，在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)；（ⅳ）下面證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，令，，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以，即在區(qū)間內(nèi)，恒成立，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)；綜上，有且僅有唯一零點(diǎn)．11．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)證明：．參考數(shù)據(jù)：．【解析】（1）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).記，，i.當(dāng)，，在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；ii.當(dāng)，由得，即，故當(dāng)，∴即在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，由得，且當(dāng)，，令，當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，故當(dāng)時(shí)，，綜上，由零點(diǎn)存在定理得，當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)；（2），即，令，，由，故單調(diào)遞增，故，∴，即，即，由得，故，故要證，即需證，即，令，即需證，又在單調(diào)遞增，即需證，由（1）得，且由得，由在單調(diào)遞減，且，故只需證，∵，故，得證.12．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為．(1)求的最小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：，．【解析】（1）由題得，又，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令得，所以.所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減.所以函數(shù)的最小值為.所以函數(shù)的最小值為0.（2）當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），又，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在使得即.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以.故得證.13．已知函數(shù).(1)證明：有兩個(gè)極值點(diǎn)，且分別在區(qū)間和內(nèi)；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)的值.參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）∵，則，令，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，且，，∴在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；則在上單調(diào)遞增，且，，∴在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：有兩個(gè)零點(diǎn)，且分別在區(qū)間和內(nèi)，可設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，且分別在區(qū)間和內(nèi).（2）由題意可得：∵，即∴，解得又∵，則，且為整數(shù)，則或0，故整數(shù)的值為或0.14．已知函數(shù)，．(1)若在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，．（參考：，，，）【解析】（1）由題意，在上有變號(hào)零點(diǎn)，，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴，∴的取值范圍為．（2）時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；此時(shí)，，存在唯一的使且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；且，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，，單調(diào)遞增，且注意到，，∴存在唯一的使，即，且在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，令，，在上單調(diào)遞減，∴∴，綜上：對(duì)有．15．已知函數(shù)．(1)記，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，求整數(shù)a的值．參考數(shù)據(jù)：，，，．【解析】（1），則，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，，而，，所以必存在，，使，且在和上，在上所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．要使有3個(gè)零點(diǎn)，則必有．由得，，所以，．故．又，所以，；，，所以，．故符合的整數(shù)a的值有0和－1．當(dāng)時(shí)，，，，，結(jié)合單調(diào)性，知在上各存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，，結(jié)合單調(diào)性，知在一個(gè)零點(diǎn)為0，在上各存在一個(gè)零點(diǎn)；故所求整數(shù)a的值為0和－1．16．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，，，.【解析】（1）定義域?yàn)?，由題意知，解得.（2）（i）由（1）知，令，則，從而即單調(diào)遞增又，故存在唯一的使得0極小值從而有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，且（ii），的極小值令，則，從而在上單調(diào)遞減，，故下證，即證一方面令，則，則在上單調(diào)遞增，從而另一方面，令，令有0極大值從而從而即成立，故.17．已知函數(shù)，，且(1)若，且，試比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，且，證明：（i）；（ii）.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，.而，.由，知，因此，唯一且由知，.構(gòu)造，則.故在單調(diào)遞增；因此，由知.故，結(jié)合單調(diào)性知.（2）（i）證明：由題意得.構(gòu)造，則，.因此.因此.故.因此故.因此.構(gòu)造，則.而，，因此.（ii）由知.因此.構(gòu)造，則.因此在上單調(diào)遞減.因此，故.因此，結(jié)合單調(diào)性知，故.構(gòu)造，，則.因此在上單調(diào)增，上單調(diào)減.而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減.因此，.而，因此，因此.因此.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若滿足，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，試比較a和1.5625的大?。畢⒖紨?shù)據(jù)：，，，．【解析】(1)，因?yàn)?，所以與均單調(diào)遞增，從而是上的增函數(shù)，又滿足，所以是在上的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．(2)，當(dāng)時(shí)，原不等式可轉(zhuǎn)化為，令，則，令，