導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第04講 恒成立問(wèn)題之端點(diǎn)不成立（含答案及解析）

第04講恒成立問(wèn)題之端點(diǎn)不成立【典型例題】例1．已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．例2．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求在內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明：．例3．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，在點(diǎn)，（1）處的切線方程是．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4．已知函數(shù)滿足（1）．（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；例6．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例7．已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．已知函數(shù)．（1）求，求的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．附：，．7．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；（3）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

第04講恒成立問(wèn)題之端點(diǎn)不成立【典型例題】例1．已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．【解析】解：，所以．考慮函數(shù)，則設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，．而（1），故當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得從而當(dāng)，且時(shí)，，即．設(shè)．由于當(dāng)時(shí)，，故，而（1），故當(dāng)時(shí)，，可得，與題設(shè)矛盾．設(shè)．此時(shí)，而（1），故當(dāng)時(shí)，，可得，與題設(shè)矛盾．綜合得，的取值范圍為，．例2．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求在內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明：．【解析】解：（1），（1），又（1），，，令得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．證明：（2），設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，即．例3．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，在點(diǎn)，（1）處的切線方程是．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，由條件可知（1），（1），解得，，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）知．要使在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立．令，則只需即可．，令，則，在上單調(diào)遞增，又，（1），有唯一的零點(diǎn)，且，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，則有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，即．．于是實(shí)數(shù)的取值范圍是，．例4．已知函數(shù)滿足（1）．（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值．【解析】解：（1）由（1），令，得（1）（1），所以；令，得（1），所以（1）．所以的解析式為．因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，與矛盾．②當(dāng)時(shí)，在，上遞減，在，上遞增，所以所以，又，所以令，則所以在上遞增，，上遞減，即．所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，為．例5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），所以切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，，即，令，設(shè)，，，當(dāng)，，單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以（1），所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．例6．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）證明：時(shí)，，設(shè)，在遞增，又（1），時(shí)，在遞增，時(shí)，（1），即，時(shí)，，即．（6分）（2）若存在，使，即即存在，使．設(shè)，則，設(shè)，在，遞增，，所以在，恒成立，在，恒成立，所以在，遞增，所以時(shí)，，需．（12分）例7．已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）由已知得，故（1分）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（2分）②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（4分）（2），令，得，（5分）設(shè)，則，（6分）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的值域是；（7分）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)根，，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；（9分）當(dāng)時(shí)，，所以有唯一實(shí)根，即有唯一實(shí)根，（10分）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；（11分）綜上所述，，即的取值范圍是．（12分）【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令得舍去），則時(shí)，，單調(diào)遞減；，時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）首先時(shí)，不等式成立，由（1）得，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立，即證不等式恒成立，令，則，設(shè)，對(duì)稱軸，則（4），記，則，在，上單調(diào)遞增，且（1），，恒成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．2．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，，故的取值范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式在，上恒成立，，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時(shí)，，函數(shù)遞增，時(shí)，函數(shù)遞減，則，即，當(dāng)時(shí)，，則在，遞增，可得，則，即的取值范圍是，．3．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間是；時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減，遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是；（2）由（1）可知，時(shí)，恒成立；時(shí)，（a），，，綜上所述，．4．已知函數(shù)．（1）求，求的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，則，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值（2），無(wú)極大值，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有極小值點(diǎn)2，無(wú)極大值點(diǎn)．（2），則，，，令，定義域?yàn)?，則，在上單調(diào)遞增，且（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．5．已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）設(shè)，，，時(shí)，．①當(dāng)，即時(shí)，令，在，上是單調(diào)遞增的，，在，上單調(diào)遞增，恒成立；②當(dāng)即時(shí)，令，則；當(dāng)，時(shí)，，在，上是單調(diào)遞減，，在，上單調(diào)遞減，這與恒成立矛盾．綜上，的取值范圍是，．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．附：，．【解析】解：（1），，①若，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②若，由，解得或；由，解得．函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，，，上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，．，．①若，則，由，解得；由，解得．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間，上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得最大值為（1），當(dāng)時(shí)，恒成立．②若，由，解得；由，解得或，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間，，上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為（1）．要使當(dāng)時(shí)，，則需，解得．，．又，時(shí)，恒成立．③若，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，又（1），當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．④若，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，，上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為（1），不滿足題意．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值和最小值；（3）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）時(shí)，，，，，故切線方程是：，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，是偶函數(shù)，函數(shù)在，上的最大值及最小值，即為在，上的最大值及最小值，此時(shí)，導(dǎo)數(shù)為，，令，導(dǎo)數(shù)為，即遞增，即有，則，即在，遞增，時(shí)，取得最小值0，時(shí)，取得最大值，則有函數(shù)在，上的最大值，最小值為0；（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒有，即有，即，顯然，時(shí)，顯然成立；由偶函數(shù)的性質(zhì)，只要考慮的情況．當(dāng)時(shí)，，即為，由，則，考慮的導(dǎo)數(shù)為，即遞減，即有，即，則有，故，即有，解得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．8．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，令，則，△時(shí)，即，方程兩根為，，，，①當(dāng)時(shí)，△，恒成立，的增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，的增區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間，．（2），時(shí)，恒成立，即，，令，，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；（1），，則實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí)．9．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），，，，記，，當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增，，故恒成立，所以在上單調(diào)遞增（2），令，，當(dāng)時(shí)，，在，上單增，．ⅰ當(dāng)即時(shí)，恒成立，即，在，上單增，，，所以．ⅱ當(dāng)即時(shí)，在，上單增，且，當(dāng)時(shí)，，，使，即．當(dāng)時(shí)，，即，單減；當(dāng)，時(shí)，，即，單增．，，，由，．記，，，，在，上單調(diào)遞增，，