2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)三十四 高考中的解三角形問題

三十四高考中的解三角形問題

（時間：45分鐘分值:85分）

【基礎落實練】

1.（5分）在&45。中M5=3MC=2,cosNR4cW，點D在BC邊上且40叱，

貝Usin/4DC=（）

A*B.|C<D竽

【解析】選A.在ZU5C中,由余弦定理得

BC^AB2+AC2-2ABACcos^BAC^9+4-2x3x2x1=3,

所以5C=4民所以/3G4=NMC,

所以sinZ5G4=sinZ5^4C=/1-：一之，,

4^/3

/1?］，口11E弓入'―彳、JsinN℃asin/ADC，即2返sinz.ADC,

亍

所以sinZADC^j-.

2.（5分）在&45。中角A,B,C的對邊分別為a也c.若asin4+2csinC=2bsinCeosA,

則角A的最大值為（）

,n_IT_71_2IT

A-6C-3DT

【解析】選A.因為asin/+2csinC=2bsinCeosA,

由正弦定理可得a2+2c2=2Z?ccosA①,

由余弦定理可得a2=Zj2+c2-2Z?ccosA②,

222

+曰c,“會口”,b+c-a〃+2

b+3C2

由①②可得2成=屬一02,所以cos4=~乙—DC一^=----乙-DC-----―4DC,

因為〃+3。222M7=2f她當且僅當b=S時取等號，所以cos金翌等，

又/金（0,九）,所以角A的最大值為看

3.（5分）在AABC中,。為邊BC上一點40=6,50=3,N43C=45。,則sinNADC的

值為（）

A2+平口1+出「1+"n道

A.-§-4C4DT

【解析】選C.如圖，

在博BD中，由正弦定理得總行溪而即福/5,故MAD」.

又BD<40廁ZBAD<ZABC,

故/BAD只能是銳角，故cos/R4D*

所以sin//DC=sin(ZBAD+/ABD)

=sin（ZBAD+^5°）用

4.（5分）在AABC中，已知NA4C的平分線交BC于點必且BM:MC=2：3.

若/4MB=60。廁絲產(chǎn)=（）

DC

A.2B.pC.y/7D.3

【解析】選C.因為4〃平分NR4C,由角平分線的性質(zhì)：

2BC

所以*191，設力=2碎＞。）廁4C=3左,由正弦定理:點號①，

2

3BC

__三②

sinzCXM辿j

T

①+②可得:⑥r(nóng)|可求得:sin.

~T

22

LL~/c/50fc-3BC

所以cos/B4c=1-2sm2ZBAM=--------——.

50k

根據(jù)余弦定理：出02=（2左）2+（3左）2_2*2衣3上吧=對，整理可得：5。￥.

50k7

I-..iAB+AC5k

則BC-3?

7

5.（5分）（多選題）在&45。中Q在線段48上，且/。=5,夙）=3,若CB=2CD,

cosZCDB^,^）

3

A.sinZC7）5=^

B.ZU5C的面積為8

C.ZU3C的周長為8+4更

D.AABC為鈍角三角形

【解析】選BCD.由cosNC7）5=d可得

sinZCDB=Jl故A錯誤；

2

設CD=x,CB=2x,在ACBD中，由余弦定理，可得人-尺合Q-I~-Y=-4r1

整理可得,5%2-2、由-15=0,解得，即CD=F,CB=2p,

所出△AB/△BC/S△逆43x存等存5*存等=8,故B正確;

222222

CB+BD-CDCB+AB-AC20+9-520+64-AC

由余弦定理，可知cosB=一腳居，解得

2CBBD2CBAB2x3x22x8x2非

AC=2巡，故AABC的周長為/5+4。+。5=8+2&+2"=8+4&,故C正確；

由余弦定理，可得cos/心-27黑工T＜。，故為鈍角，故D正確?

6.（5分）已知ZU5C為銳角三角形刀￡分別為ABAC的中點，且⑺上成則cos

A的取值范圍是（）

1

A即B.

「4

【解析】選D.如圖，設ZU3c的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。也c,設CD,BE交于

點G,連接AG并延長交BC于點凡則F為BC的中點,

由CZUBE,可得b6守0|凡

373\2/1\231

虧.在中,-2x-a--a-cosNAFB,

/G=aXF4乙,乙cJ2=b\乙a)J+(ya乙)乙

31

在ZUC/中，/=(|a)+仇)-2x-a--a-cosAAFC,

因為NAFC+N/Fgi,所以上面兩式相加得。2+左=5比

因為&18。為銳角三角形，所以a2+62>c2,62+c2>q2,c2+q2>b2,可得3於>283〃>2冊,

2

EI2b3J6bJ6

則別吟nn<La

°CJJLz乙

又cos小二:'"+可，+々能+J弓當且僅當b=c時取等號，

設片目《考），則刖=5在目,1）上單調(diào)遞減，在（1，/上單調(diào)遞增.

COL?J4

因為媚）=/$片，白cosA<^~.

7.（5分）在AABC中,/5=60。48=2〃是5。的中點MM=2避廁心,

cos/MAC=.

【解析】在中,由余弦定理得A^AB^B^-T.BM-BA-cosB,

1

即12=4+6冊-25Mx2X],解得akU4(負值舍去)，所以BC=2BM=2CM=8,

1

在AABC中,由余弦定理得5=4+64-2*2*8*h52,

所以42H

.人AC2+AM2-MC252+12-162聞

在AWC中,由余弦XE理得cosNMK-2WC—2X2TX23F

―,—2A/39

答案：2聲

8.（5分）已知在A45C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a也c,若a2^b2+c2-bc,a^3,^]

^ABC的周長的最大值為.

【解析】因為。2=〃+。21。,所以bc^b2+c2-a2,

22?

r-r-rib+c-a1

所以COS4A—2bcW

因為/￡（0,兀）,所以力三.

方法一:因為a=3,

所以由正弦定理得高^^273.

2

所以b=2psin3,c=2/sinC,

則a+b+c=3+2^/3sin5+2^/3sinC

=3+2/sin5+2^/3sin(^-5)

=3+3/sin5+3cos5=3+6sin(5+1),

因為左(0號,所以當例時，周長取得最大值9.

方法二:因為4=3,

所以由余弦定理得9^b2+c2-bc,

所以(b+c)2-3bc=9,

所以(b+c)2-9=3bcS3?(”一尸，

所以(6+c)2g36,

因為b+c>0,所以0<b+cS6,當且僅當b=c時取“=”，

所以日計經(jīng)9,所以&45C的周長最大值為9.

答案：9

9.(5分)(2022?全國甲卷)已知ZU5C中，點D在邊5c上，

AC

/4。5=120。4)=2,。。=2四.當右取得最小值時00=.

【解析】設8=2皿=2加>0廁在AA8。中，

AB2^BD2+AD2-2BD-ADcosZADB^+A+lm,

在ZUCD中H。=。。2+4￡)2_28/￡>cosN/DC=4加2+4-4加，

24m2+4-4/2714(m+4+2m)-12(1+m)1212r—

所以-------q-------2—-—-―-4------------>4--=4-2^3,

ABm+4+2mm+4+2mm+1+__2J(m+1).—

當且僅當加+1高,即m=Rl時等號成立.所以當言取得最小值時，出”退-L

A

BDC

答案

【加練備選】

已知D是A45C邊4C上一點，且CD=3AD,BD=退,C4S/48。二則3AB+BC的

最大值為.

【解析】解法一:設小曰,則8=30。=書，

AABC內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,

在ZU5。中,cosNADB=_3—,

在△5。。中,cos/BDC-?t)+『又cos/ADB=-cosZBDC,

2\2-3t

22

E二")2-。2(3t)+(A/2).a—TzH222j_2Q不

所以2網(wǎng)「2/3t，可信12/MCW-8,?

在&45。中〃。=(書)2=42+。2-

1

2accosNABC,即16t2^a2+c2--ac,(^)

__Q

由①②可得Q2+9C2+2〃C=32,

R2fn-4-2q

所以32=(a+3c)2-a-3c>(a+3c)2--x()=^(a+3c)2,

口n/rg8X32匚Ll、lr164

即(。+3。)2二飛一，所以a+3c<—^.

當且僅當a=3c,即時等號成立，

所以3AB+BC的最大值為萼.

解法二:因為8=340,所以而=3方，

即麗-麗=3(瓦屋瓦5),

整理得說而疑，兩邊平方，

44-

f--->29----->21---->23----->---->

有BD^BA+^BC+^BABC.

1616o

所ul以]\ic9----->2+—1-B--C->2+^3-B---A-?B--C--,>

loloo

即2春對&迸29^H麗仔"

整理得32=9\BA\2+\BC\2+^BA\-\BC\,

________39

設c=|B4>|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+-ac=(3c+a)2--ac.

.__,M9ac3-3c-a3/3c+a\^、9,3,5,

，所以x32=(3c+a)2--ac>(3c+a)2--(3c+a)2=^(3c+a)-,5P3c+a<

乙乙乙\乙J乙C_JC_J

廳-飾為當且僅當關時等號成立，所以3AB+BC的最大值為

農(nóng)案.曳！

口木，5

10.(10分)在ZU5C中Q是邊BC上一點dD=5MC=7.

⑴若QC=3,N3=45。,求AB-

(2)若D為BC的中點，且證明:/4DC=2N4DA

.9+2549

【解析】⑴在A4QC中4D=5MC=7QC=3,由余弦定理得cosN4OC=…乂

1

所以//￡>C=120。.即ZADB^6Q0.

在AABD中40=5,/5=45。,/405=60。,

由正弦定理得鼻AB魂軍得/5卓.

sin60°

(2)設BD=DC=x.

2

在AABD中,由余弦定理得cosZADB-.,

Z7XXXD

2

/上好49

在A4DC中,由余弦定理得cosZADC^-——r.

4X久XD

,_,、］LLI'I%+25-19x+25-49._

因為ZADC+ZADB^l80。,所以+=0,解得yi=1x=3,

乙人人人。乙人九人。

9+25491

所以cosN4Z)C=^所以N/DC=120°,從而//。5=60。,故/4DC=2N

ZX73XJV乙

ADB.

11.(10分)(2023?武漢模擬)在①冊"，②4C邊上的高為竽，③sin臺"這三個條

件中任選一個，補充在下面問題中并完成解答.

問題記&45C內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4=60。產(chǎn)計1,.

⑴求c的值；

⑵設AD是AA2C的角平分線，求AD的長

【解析】選條件①：

(1)因為。=?1=6+1么=60。，

,222

由余弦定理彳導COS4=~

解得b=2或4-3(舍去),

所以c=b+l=3.

(2)因為AD是&45C的角平分線，所以NB4Q=30。,

a2+.2c,-2b7+9-4

cosB=——-----1-COS2B=

2ac2x^/7x3苧2

A/21J32A/715A/7

貝Usin///>8=sin(5+30o)=sin5cos30°+cosBsin30o=-^z-x—+—-x-=--.

/Z/Z14

國

由正弦定理得篙嬴編,所以/。蜷言二

14

選條件②:

(1)4。邊上的高為芋，由三角形的面積公式得［S+l)-sin/1兵,

LL41

解得6=2,所以c=3.

(2)因為AC邊上的高為六)=60。,

所以。=/(號)2+(2_|)2=".

因為AD是AABC的角平分線，

所以N5AD=30。,

G+c-b7+9-42j\/7

cosB=——----=---言——

2ac2x"x37

sin5=J1-COS2B=J1-：一季

貝Usin/4Z)B=sin(5+30°)=sin3cos30°+

cosBsm30°^^-x—+--x-=——.

/Z/Z14

由正弦定理得北AB

sinZ-ADB^

y/2i

ABsinB3x-_6A/3

所以3

sinZ-ADB5"5",

IT

選條件③:

（l）sin由題意可知B<C,

所以cos5=J]_sin?B=：1_49=；.

因為A+B+C^TI,

LL~A/32A/71J2i3y/2i

所以sinC=sm(Z+5)=sinAcosB+cosAsm5=^-x--+-x-.

Z/L/14

V21

由正弦定理得需l，則"p

14

解得42,所以c=3.

(2)因為AD是&43。的角平分線，所以NB4D=30。，

A/21J32A/715A/7

貝Usin/ADBusinCS+BO^nsinBcos30°+cosBsm30o=^z-x^-+---x-=--

/Z/Z14

國

由正弦定理得skJ篇所以4仁代展

14

【能力提升練】

12.（5分）頂角為36。的等腰三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形看起來既標準

又美觀.如圖所示,ZU5C是黃金三角形。，作N45C的平分線交AC于點D,

易知△5Q）也是黃金三角形.若5。=1,則AB=借助黃金三角形可計算

sin234°=.

A

【解析】由題可得/4=//m=/。5。=36。,/。=/3。。=72。,所以95。64

5C7),得祟若，且AD=BD=BC=1.

設力3=4C=x,貝UC7>x-1,所以H，解得占妥(負值舍去).

J-X--L4

因為sin234o=sin(180o+54°)=-sin54°=-cos36。.在ZU5C中，根據(jù)余弦定理可得

X2+X2-1遂A/5+1

cos36°=-----2~—4，所以sin234°=-——.

2%44

區(qū)安道+1在+1

白木,-24

13.(5分)在A18C中Q為BC邊上一點，且BD^CD^4D^BD,^\]tanZ5^Ccos2B

的最大值為.

【解析】解法一：在&45。中，由BD^CD得:前當?shù)?|前,兩邊取模得:

|AD|2=||AB+|xc|，又/￡)=皿代入得:，=|c2+，+SccosABAC,

即4a2^c2+4b2+4bccosXBAC,4(c2+Z?2-a2)-3c2+4Z?ccosNBAC=0.

由余弦定理得：8bccosXBAC-3c2+4bccosNA4C=0,即46cos/BAC=c.

再由正弦定理得:4sin5cosZBAC^sinC=sin(N5+NA40,

即4sin5cosXBAC^sinBcosXBAC+cosBsinABAC,

所以tanN5力。=3tanB,

33Tl

所以tanZBAC-cos25=3tan5cos25=^sin25與(當時,"="成立).

LL4

________丫

解法二:如圖，由已知，設3。=%廁4D=x,CDf

A

工b2b

在力為中，氤嬴?在as中

5sin(zBy4C-乙B)sin2B’

虧sinB

所以抬而xsinBcosBxsinBcosB

sin(Z-BAC-(B)sinZ-BACcosB-cos/BACsin夕

33

化間可得:tanBAC-cos5=3sin氏可得:tanNA4C?cos25=^sin2B<-

解法三:如圖，分別過D,C作AB邊上的高DE,CF,故DE//CF.

在^ABD中,由三線合一知BE=AE.

3

rp^DE

由DE〃CF3D=2CD得BE=2AFQE:CF=2:3,所以tanNA4Cr~=3tanB)

Ar

^BE