黑龍江省龍東十校2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

22級(jí)高三上學(xué)年開學(xué)考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

L若集合'={-1，2,3},N={-1,0,2,5},則V<JN=（）

A.{-1,2}B{-1,2,3}c{-1,0,2,5}D{-1,0,2,3,5}

2.若tan3（z=-12,則tanQ—3a）=（）

J_1

A.-12B.12c.12D.12

3.函數(shù)"x）=（4x-5Q的極值點(diǎn)為（）

3￡5

A.4B,4C,2D,4

_1,_V2_2

4.已知J2+J3J6+J2,貝ij（）

c>a>bB.b>c>a

QC>b>a°b>a>c

5.已知"x）為累函數(shù)，加為常數(shù)，且加>1,則函數(shù)8（"）=/（"）+廢?的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A?！梗〣。）cl」）DIZ

3.aa1

sma=—sincos——二一

6.“4”是“222，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm,高為25cm的圓錐容器，以2cm?/s的速度向該容器內(nèi)注入溶液，

隨著時(shí)間,（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)

‘=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

V150,V300,V300,V150,

----cm/s-----cm/s-----cm/s-----cm/s

A.3兀B,5兀c,6兀D,2兀

8.已知函數(shù)/（"）滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)“，都有/（/G+y））=/（"）+/”）成立，且/（°）=i.給出下列

四個(gè)結(jié)論:①/⑴=。；②/-I）的圖象關(guān)于點(diǎn)（TO對(duì)稱;③若/（2°24）>1,則/（-2024）<1；

④VxeRJ（x）+/（—x）=/（—1）,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.③④C.②④D.②③

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）

2

卜VxR,x-3x+5>0

A.G

3xeR,x2-3x+V2>0

￡R>.

c.至少存在兩個(gè)質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)

D.存在一個(gè)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列

10.若4"=3"=24,則（）

2<Q<-_

A.2B.2<6<3

31,112

Q2abD.。b3

11.已知函數(shù)"x）='+S-2）x2-2加有彳個(gè)不同的零點(diǎn)，則q的取值可以為（）

2+eln2

A.-3B.-2C「eln2D.2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若"x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X〉。時(shí)，“"）一"\則5）=.

13.已知函數(shù)小）=躍。。-1。）則函數(shù)k/（1+/（4的定義域?yàn)?

兀兀兀_

14.已知函數(shù)/（x）=sm2x-GCOS2”['可與]§句上的值域均為用，則。的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

“c、4X2+141-1

f（2x）=----------+--------

己知函數(shù)2x4'+1,

（1）求/（X）的解析式；

（2）判斷函數(shù)g（x）="G）的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（3）求/（1）+/（唾32）+/（1嗎0?5）的值.

16.（15分）

已知函數(shù)/（X）—5-2—（"o）

⑴求曲線片/（X）在點(diǎn)53〃處的切線方程;

（2）討論/（X）的單調(diào)性.

17.（15分）

已知a+b=l(a>0,￡>>0)

(1)求的取值范圍;

15

----1---

(2)求a6的最小值;

1a22b

—+——>m

(3)若aa恒成立，求加的取值范圍.

18.（17分）

在ANBC中，見仇。分別是內(nèi)角4民0的對(duì)邊，且〃+°2=5

b+c=3,cosA=-—,D

(1)若4為的中點(diǎn)，求幺￡)的長(zhǎng);

s.c°sC=^,sm("C)=巫,…〈巫

⑵若16242,求人的值.

19.(17分)

若函數(shù)/(X)在上存在<“2<6),使得

'/⑷-/⑷&)_/⑷

，b-a'、2b-a,則稱是也句上的“雙中值函數(shù),,，其中西也稱為

/GO在口，句上的中值點(diǎn).

(1)判斷函數(shù)"*)="—獷+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數(shù),,，并說(shuō)明理由.

(2)已知函數(shù)"")2%XlWC",存在根>〃>0,使得/(")=/(〃)，且/(X)是［〃時(shí)上的

“雙中值函數(shù)”，再"2是/CO在口，加］上的中值點(diǎn).

①求a的取值范圍；

②證明：玉+“2>0+2.

22級(jí)高三上學(xué)年開學(xué)考試

數(shù)學(xué)參考答案

1DMuN={-1,023,5}

2ctan（兀-3a）=-tan3a=12

33

3.B/'（%）=（8%-6卜2二令八x）<0,得x<W,令/'O。,得

3

1

b=,V2+y/3>y/3+1>0,.1.z）>a

V3+1

4.DV6+V2

又0<〃<1,-=Q（I->0,?Q>0,?）>Q>0

5.B因?yàn)槿瘮?shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（U）,所以g（x）=/3+”'1的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)O'2）.

.aa1.2a「aa2al八。a3

sin---cos—=—sm---2sin—cos——I-cos—=—2sm—cos—=一

6.B由222,可得22224,則224,即

.3.31a3、「aa2a1

sma=—sma=-2sm-cos一二一sm---2sm—cos——I-cos一二一

4.由4,可得224即22224,則

.aa1j.

sm---cos——二一

4，得222或2

7.A設(shè)注入溶液的時(shí)間為f（單位：S）時(shí)，溶液的高為/zcm,

因?yàn)?、兀廣，所以當(dāng)/=兀時(shí)，3V7i3371，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為

迥cm/s

3兀

8.D令x=N=O,則《（。））=2/（0）,因?yàn)椤?）=1,所以"1）=2,故①錯(cuò)誤

令kf,則/（八°））=/（x）+〃一x）=/0）=2,所以N="x）關(guān)于點(diǎn)（°』）對(duì)稱，所以

/（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（T』）對(duì)稱，故②正確.

因?yàn)椤?024）+"-2024）=2,所以“-2024）=2-/（2024）,因?yàn)椤?。24）〉1,所以

/（-2024）=2-/（2024）＜1；故③正確

因?yàn)?=/（x）+/（-x）J（l）=2,所以2=/（1）+/（-1）,所以/（-1）=°,故④錯(cuò)誤.

9.BD“VxeR，x2-3x+5＞0,,不是存在量詞命題，A錯(cuò)誤.因?yàn)橹挥匈|(zhì)數(shù)2的平方為偶數(shù)，所以不存在

兩個(gè)質(zhì)數(shù)的平方是偶數(shù)，C錯(cuò)誤.內(nèi)角為3°°，60°,90。的直角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，口正確.

(5A

2223

a=log424elog44,log44,b=log324e(log33,log33)

10.ABC因?yàn)?"=3"=24,所以1),所以

511313

2<a<—,2<b<3—=log244,—=log943,-—I--=—log744+log243

2,A,B均正確b~2ab2

1111-2

3

log2424=l,-+-=log2412-+-=log2412＞log2424=-

ab，因?yàn)?23＞242,所以ab3,c正確，D錯(cuò)誤.

11.AD由題意可得方程O'+依乂2'-2'）=。有4個(gè)不同的根.方程2*-2x=°的2個(gè)根為

再=1,%=2,則方程丁+ax=°有2個(gè)不同的根，且。力―2,即函數(shù)卜=2、與函數(shù)＞的圖象有兩

個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線歹二一"與函數(shù)＞的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為6。'2而），因?yàn)榱?21n2,所以

-6Z=2x?ln2,]

_XQ—=log2Q~_eln2__

「'解得歷2".要使函數(shù)丁=2與函數(shù)＞=一度的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需

直線）=-ax的斜率大于eln2,故a的取值范圍為（一叫-2）o（-2,-ln2）

12.-18因?yàn)?G）是定義在R上的奇函數(shù),所以，（。）+/（-5）=。-，（5）=-（25+1-8）=18

13（炮9。，2）（或（1+炮9,2））由100-10，＞0,得x＜2,由1+?。?,得/（x）＜l,則

100-10,<10,解得10”〉90,gpX>lg90

兀5兀兀c兀c兀71

f(x)=2sin(2x-jxea?——2x----e2a----

25-123」，得

14.由題意可得.由3-33,由

兀兀兀兀兀4兀

XGCCH----,——2x----￡2aH—.一2sin2sin—=V3,2sin

3」.因?yàn)?/p>

33，得-333,所以

c兀、4兀

2a——2------,

33

Gi兀/兀兀兀兀5兀

2a+彳W—不，—-----

t=-2,則32解得212,即a的取值范圍是L212

x——

15.解：（1）（方法一）令2x=/,得2

4l+1)―12，—1

2

/(0=-+F+i

2x—■+1

則2

x2+l2T-1

所以心------1--------

x2A+1

）

（方法二）因?yàn)椤?x2-+1

x2+l2X-1

所以小"j^+2v+l

2x

(~x)+l12~-lX-+11-2'//、(c、\

⑵因?yàn)?一少-------+--7=-f(X),Xe(-℃,0)o(0,+co)

-x2-T+lx1+2v7

所以g(-X)=，(-"=M("=g(x),

所以g（x）為偶函數(shù).

(3)因?yàn)閘°g3°-5=Tog32,

所以由（2）知“噫2）+”噫。.5）=0,

7

所以"小”火。力/心

16.解：⑴/'3=5/-8/("0),

166416

3，

a3a

C22、2

-，/

所以曲線歹=/3在點(diǎn)

aa/處的切線方程為a

1632

即'一/

8

⑵/'(X)=X3(5G—8)("O),令/。)=0,得*=0*2

5a

88

當(dāng)a〉0時(shí)，令/'（x）<0,得°<“<5。，令/得X<O或x〉—

5a

8

—,+。

所以"x）在

哈上單調(diào)遞減，在5a上單調(diào)遞增.

88

當(dāng)a<0時(shí)，令得x<5a或x>0,令/'(x)〉0,得<0

8

—oo.——

所以/⑺在,（0,+?9）

5a上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(f0)，2

綜上，當(dāng)?！?時(shí)，/（X）在

哈上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

,（0,+oo）

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

a+2ba+b+b1+b

因?yàn)閍+6=l(a〉0,b〉0),所以0<6<1,所以1<1+6<2.

y=

因?yàn)镮為減函數(shù),

1+6

所以的取值范圍是,即的取值范圍是

15,Jl5「「b5。、-0

-+-=（z?+/>）—+-=1+5+—+——26+2。5

（2）因?yàn)閍+6=1（。〉0,6〉0）,所以口b\ab）ab

\6-1

a~4，

b5a=5-75

當(dāng)且僅當(dāng)。b,即1"+°=b即〔4時(shí)，等號(hào)成立,

2+5

所以。石的最小值為6+2石.

1a12b（a+4a22bb2a2c

,一八、—r+—T----=-+—r----=1A+—7+—r>1+2=3

（3）因?yàn)?+"=1（">0,'>°）,所以/b?aa1b2aa2b2

當(dāng)且僅當(dāng)“b5時(shí)，等號(hào)成立，

(1a22by“

m<-2~-2----=3z、

所以b"aJm.n,即加的取值范圍為(f3)

18.解：（1）因?yàn)?+0=3,/+。2=5,所以3+c）2=/+/+2火=5+2慶=9

所以秘=2.

AD=-（A8+Ic）

因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以2，

222

川~AD=；（而+%y~AD\=；（而’+22§?AC+\AC[^=^（C+2bccosA+b）

1

=-x5+4x=1AD=IADI=1

44,則??

siib4cosc=,sin（4-C）=siib4cosc-cosZsinC-

⑵因?yàn)?6IJ24

cos^sinC=—

所以48

sin5=sin（4+C）=siib4cosc+cos/sinC=^1E

則12

siiL4cosC_acosC_3

則siiiSb4'

222

a+b-cT,得,2

a--------------

即2ab

22a

又6+c-=5,所以

\<b<M?<c<2

因?yàn)?,所以2所以6<c,則5<C，5為銳角,

整理得NT)?-2)=0,解得〃=2或〃=亍

I〈亞廠

又2,所以b=72.

19.(1)解：函數(shù)/(“)是H'S]上的“雙中值函數(shù),,.

理由如下：

因?yàn)?(x)=xJ3/+