湖北省宜昌二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

湖北省宜昌二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.2．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-103．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.6．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－197．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.28．橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.9．有7名同學(xué)參加百米競賽，預(yù)賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差10．在正方體中，分別為的中點，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且，則（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率______.14．已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______15．雙曲線的左焦點到直線的距離為________.16．設(shè)a為實數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求“”的概率.18．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點、.（1）設(shè)點為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點，求線段的長（用表示）；（2）設(shè)點為曲線上任意一點，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請研究雙曲線的性質(zhì)（從對稱性、頂點、漸近線、離心率四個角度進行研究）.19．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值20．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長度為3的線段，端點，分別在軸、軸上運動，為線段上一點，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知不過原點的直線與相交于，兩點，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時直線的方程.22．（10分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.2、C【解析】根據(jù)向量共線可得滿足的關(guān)系，從而可求它們的值，據(jù)此可得正確的選項.【詳解】因為，故存在常數(shù)，使得，所以，故，所以，故選：C.3、B【解析】因但4、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A5、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因為在平行六面體中，，，，所以，故選：B6、C【解析】將所求進行變形可得，根據(jù)二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C7、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A8、B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.9、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學(xué)成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進入決賽.故選：C.10、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，，，則，，設(shè)異面直線與所成角為（），則.故選：A11、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，由得：，即，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗：滿足，，故選：B.12、B【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，，得，解得.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.14、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，對于任意的實數(shù)、，的最小值為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的方程為，設(shè)其左焦點的坐標(biāo)為，故可得，解得，故左焦點的坐標(biāo)為，則其到直線的距離.故答案為：.16、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】由題意可知試驗的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為18、（1）；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）由兩點間的距離公式求出距離，進而將式子化簡即可；（2）求出，進而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問1詳解】由題意，.【小問2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點對稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點，則它關(guān)于直線對稱，還關(guān)于與垂直且過原點的直線對稱.，則，易得.綜上：雙曲線關(guān)于原點（0,0）對稱，且關(guān)于直線對稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實軸，將代入雙曲線解得頂點：.于是實軸長為焦距為，則離心率.19、（1）見解析；（2）【解析】（1）取中點，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點，連接，以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點，連接，易知，、分別為的中點，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點，連接，以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，易知平面的一個法向量為，∴，∴二面角的余弦值為【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理和面面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）導(dǎo)數(shù)四則運算中的乘除法則.（2）求導(dǎo)數(shù)，主要考查復(fù)合函數(shù)，外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.21、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點之間的距離公式表示出，化簡即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點為，利用兩點坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理表示、進而得出弦長，利用點到直線的距離公式求出原點到的距離，結(jié)合基本不等式計算即可.【小問1詳解】設(shè)，由為線段上一點，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，線段的中點為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達定理，得，∴∵原點到直線的距離為∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即時，三角形的面積最大，此時直線的方程為.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、、、AC與BD的交點為O，由直四