山東省濟(jì)省實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

山東省濟(jì)省實驗學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.92．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.34．過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.5．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或6．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.27．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.8．拋物線y＝4x2的焦點坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.9．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.410．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.11．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項和為（）A.11 B.12C.13 D.1812．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)n的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是橢圓上的一點，分別為橢圓的左、右焦點，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.14．已知點，，其中，若線段的中點坐標(biāo)為，則直線的方程為________15．在空間直角坐標(biāo)系中，點到x軸的距離為___________.16．設(shè)拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的離心率為2，經(jīng)過C的焦點垂直于x軸的直線被C所截得的弦長為12.（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B是C上兩點，線段AB的中點為，求直線AB的方程.18．（12分）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：（1）種植萬千克蓮藕利潤(單位：萬元)為的解析式；（2）要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.19．（12分）已知兩定點，，動點與兩定點的斜率之積為（1）求動點M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過點，且與C交于P，Q兩點．問：在x軸上是否存在一點T，使得對任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B2、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B3、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.4、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A5、D【解析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設(shè)直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D6、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設(shè)與軸交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A8、C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點坐標(biāo)得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標(biāo)為（0，）.故選：C9、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現(xiàn)2點這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B10、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A11、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，∴前36項共有12項為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項和為12×1+24×0＝12.故選：B12、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.14、【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.15、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點到軸的距離為計算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離為故答案為：16、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為.不妨設(shè),故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標(biāo),然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標(biāo),進(jìn)而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標(biāo).最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得的方程.（2）結(jié)合點差法求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問1詳解】因為C的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則，.因此，即.因為線段AB的中點為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.18、（1），；（2）6萬千克，萬元.【解析】(1)根據(jù)題意找等量關(guān)系即可求g(x)解析式，根據(jù)函數(shù)值可求a；(2)根據(jù)g(x)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求其最大值即可.【小問1詳解】種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為：，，即，，當(dāng)時，，解得，故，；【小問2詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴時，利潤最大為萬元.19、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動點M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件，同時結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點T的坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動點M的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因為，所以，即，所以，設(shè)，，，直線l的方程為，因為，所以，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點，使得對任意且，都有.20、（1）；（2）；（3）.【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).（1）寫出、的坐標(biāo)，利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設(shè).以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，即得證明結(jié)論，并根據(jù)等比數(shù)列求通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出，再分和，求.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是第二問弄清楚數(shù)列與的前項和的關(guān)系，在