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文檔簡介
高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練—三個(gè)二次問題(二次
函數(shù)、不等式、方程)
1.解關(guān)于x的不等式:(1)/一(〃+l)x+〃VO,(2)2x2+mx+2>0.
2.設(shè)集合A={x|/+33三2-2x—1)},B={x|f一(2%—1)攵+F20},且A[B,試求左的取值
范圍.
3.不等式(川一2加一3)——(徵一3)x—1V0的解集為R,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.
4.已知二次函數(shù)y=f+px+q,當(dāng)yVO時(shí),有解關(guān)于x的不等式qf+px
+1>O.
5.若不等式,/+qx+°〉o的解集為{X[2<X<4},求實(shí)數(shù)p與g的值.
P
6.設(shè)〃x)=/+"+4"0),若|/(0)M1,⑴卜1,/(—1)|41,試證明:對于
任意—IWXWI,<|/(x)|<|.
7.(經(jīng)典題型,非常值得訓(xùn)練)設(shè)二次函數(shù)/(%)=依2+班+&〃>0),方程/(%)—%=。
的兩個(gè)根%i,%2滿足0<匹<%2<,.當(dāng)]£(0,%)時(shí),證明%v/(x)v%i.
8.已知關(guān)于x的二次方程x^+lmx+lm+1=0.
(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求機(jī)的范圍.
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求機(jī)的范圍.
9.已知二次函數(shù)/OOuaf+fcv+c和一次函數(shù)g(x)=~bx,其中〃、Z?、c滿足a>b>c,a+b+c=O,(a,b,c
£R)
(1)求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B;
(2)求線段A3在x軸上的射影A/i的長的取值范圍.
10.已知實(shí)數(shù)/滿足關(guān)系式log”——=loga(〃>0且
aa
⑴令t二4六求y力(%)的表達(dá)式;
(2)若x£(0,2]時(shí),)有最小值8,求〃和x的值.
11.如果二次函數(shù)y=mx1+(m—3)x^l的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè),試求m
的取值范圍.
12.二次函數(shù)中實(shí)數(shù)p、q、廠滿足一乙+"+-=0淇中”>0,求證:
m+2m+1m
m
(1M)<0;
m+1
(2)方程/(x)=0在(0,1)內(nèi)恒有解.
13.一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣,月銷售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為尸=160—2x,生
產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.
(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí),月獲得的利潤不少于1300元?
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤?最大利潤是多少元?
14.已知a、b、c是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)uax'+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)一
lWxWl時(shí),|f(x)|Wl.⑴證明:|c|Wl;
⑵證明:當(dāng)一IWxWl時(shí),|g(x)|W2;
15.設(shè)二次函數(shù)/(X)=a/+0x+da〉0),方程/(x)-x=0的兩個(gè)根毛,巧滿足
0<Xj<x2<—.且函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=/對稱,證明:x0.
16.已知二次函數(shù)/(x)=a/+bx+l(。/eR,a>0),設(shè)方程/(x)=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
為xx和x2.
(1)如果不<2</<4,設(shè)函數(shù)/(%)的對稱軸為x=%,求證:x0>-1;
⑵如果㈤<2,昆一再|(zhì)=2,求b的取值范圍.
17.設(shè)/(x)=3分之+2for+c.若Q+人+0=0,/(0)>0,求證:
丁「a
(I)〃>0且一2V—V—1;
b
(II)方程/(%)=()在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
18.已知二次函數(shù)丁=a-+&x+c(a工0)的圖象如圖所示:
(1)試判斷abc及b2-4ac的符號;
(2)若|OA|=QB],試證明ac+i>+l=Ov
19.那為何值時(shí),關(guān)于x的方程8x2+=0的兩根:
(1)為正數(shù)根;(2)為異號根且負(fù)根絕對值大于正根;(3)都大于1;(4)一根大
于2,一根小于2;(5)兩根在0,2之間。
20.證明關(guān)于x的不等式(呆-2),+2丘+化-1<0與叱-五)x+丘+1>0,當(dāng)
此為任意實(shí)數(shù)時(shí),至少有一個(gè)桓成立。
21.已知關(guān)于x的方程--2爾+4/-6=0兩根為必/,試求
(所1)"-1)2的極值。
22.若不等式如+2Q<o對一切*恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.
mx-mx—1
23.設(shè)不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<B}(0<a<B),求不等式cx2+bx+a<0的
解集.
答案:
1.解:⑴原不等式可化為:(X—Q)(x—1)<0,若a>1時(shí),解為IVXVQ,若。>1時(shí),
解為a<x<1,若a=l時(shí),解為。
(2)△二機(jī)2—16.
①當(dāng)m2-16>。即根<-4或加>4時(shí),△>0.
-m-4m2-16-m+4m2-16
方程2/+如+2=0有二實(shí)數(shù)根:玉",
原不等式的解集為L|x<一〃7療16或無>一m+3”-16
44
m
①當(dāng)加二±4時(shí),△=(),兩根為七=%——
若根=4,則其根為一1,原不等式的解集為卜|xeR,且x關(guān)-1}.
若加=-4,則其根為1,.?.原不等式的解集為{x|xeR,且xwl}.
②當(dāng)一4(加<4時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.原不等式的解集為R.
2.解:A={x|[x-(3^-l)][x-(^+l)]>0},比較北一1?+1的大小,
因?yàn)?3無_1)_(無+1)=2/-1),
(1)當(dāng)上>1時(shí),3k~l>k+l,A={無仇\3左一1或x4k+1}.
(2)當(dāng)k=l時(shí),xeR.
(3)當(dāng)人<1時(shí),3A—1<左+1,A={x|x2左+1則V3左+1}.
B中的不等式不能分解因式,故考慮判斷式A=4/—4(r+左)=—4左,
(1)當(dāng)上。時(shí),A<0,xe7?.
(2)當(dāng)人>0時(shí),△<(),x&R.
(3)當(dāng)k<0時(shí),A〉。,x〈左一V—kE^jX2k+J-k.
故:當(dāng)上上0時(shí),由B=R,顯然有A。瓦
3k_i<k—~\1-k
當(dāng)k<0時(shí),為使需要<——nkN—l,于是kN—l時(shí),40左
k+l>k+yl-k
綜上所述,k的取值范圍是:左二0或一1K左<0.
3..解:(1)當(dāng)用2一2加一3=0,即根=3或m=-1時(shí),
①若m=3,原不等式解集為R
②若m=—1,原不等式化為4x—1<0
.?.原不等式解集為{尤I無<工=,不合題設(shè)條件.
4
(2)若浮一2H1-3W0,依題意有
m2—2m—3<0-1<m<3
BP1
A=(m—3)2+4(m2—2m—3)<0—<m<3
[5
1
——<m<3
5
綜上,當(dāng)一時(shí),不等式(蘇一2機(jī)一3)/—(?i—3)x—1<0的解集為R.
;,工2=;是方程x2+px+q=0的根,
4..解:由已知得沏
11
.?一p=-1+1q=-—x-
2323
1_1
"q~~6,,不等式qf+px+lX)
即—L+L+AO
66
.,.x2-6<0,-2<x<3.
即不等式G^+px+l>。的解集為{xI—2<x<3].
5..解:由不等式工—+/+〃>o的解集為{%12<x<4},得
P
2和4是方程+/+〃=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且工<0.(如圖)
解得P=-2-\/2,q=*V2.
6.解::/(-1)=a-b+c,/(1)=a+b+c,/(0)=c,
?1?a=1(/(1)+/(-1)-2/(0))力=1(/(1)-/(-l)),c=/(O),
???/W=j+/(o)(i-x?)..??當(dāng)—1K0時(shí),
/(小|〃1)|?安+I〃T|?曰+|"0)|?”燈
<2!、(2、
X+XX-X2
+—^―+(Z11—冗)、
2J\27
-x2-x+1=-(%+—)2+—<—.
244
22
當(dāng)0W尤WT時(shí),/(耳K丁+1/(-1J-號+1/(0).|1-^2|
22/2、/2、
X+%X-xL2|%%—X+X2\
<++H=-+—+Z(11)
22\27</7
T+X+j-W/.
244
7.證明:由題意可知/(x)-x=^(x-xx)(x-x2)-
0<X<Xl<X2<—,〃(九一玉X九一九2)>0,
q
當(dāng)%£(0,匹)時(shí),/(X)>X.
又/(%)_X]=a(X_X1)(X_12)+X_再=(%_/)(〃X_ax2+1),
x-x1<0,-ax2+1>1-ax2>0,/(x)<xx,
綜上可知,所給問題獲證.
8.解:⑴條件說明拋物線1%)1+2加什2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和(1,2)內(nèi),
畫出示意圖,得
1
m<——
/(0)=2m+l<0,2
meR,
/(-1)=2>0,
<n<1
/(I)=4m+2<0,m<——,
/(2)=6m+5>0%
m>——
I6
51
——<m<——
62
/(0)>0,
(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi),列不等式組,/I:。'
0<-m<1
1
m>——
2
1
m>一5,(這里0<—m<l是因?yàn)閷ΨQ軸x=-m應(yīng)在區(qū)間(0,1)內(nèi)通過)
m>1+血或m<1-V2,
-1<m<0.
9.(1)證明:由aX消去y得〃
y=-bx
3
22c22
d=4/?—4QC=4(—C)—4QC=4(Q2+GC+C2)=413+_)+—c]
*.*a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0
3
.,--c2>0,.\4>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).
4
_27?c
(2)解:設(shè)方程OX2+Z?X+C=0的兩根為XI和X2,貝IX\+X2=——,X1X2=—.
aa
|A1B1|2=(X1—X2)2=(%l+X2)2—4處也
22
2b24c4b-4ac4(-tz-c)-4ac
~-2—2
aaaa
C2CC1、23
=44r[z(-)+-+1]=4[(-+-)2+-]
aaa24
*.*?>Z?>c,4z+Z?+c=0,6z>0,c<0
「1
a>—a—c>c,解得一金(一2,——)
a2
/(£)=4[(£)2+£+i]的對稱軸方程是£=一」.
aaaa2
u1
為減函數(shù)
a2
AIA1B1I2W(3,12),故|A向斤(V3,2V3).
10..解:(1)由loga-^=logf4得log/—3=logL310g刈
aa
由/=〃知x=log”,代入上式得x—3="g"'
XX
log^=x2—3x+3,即y=ax-3-¥+3(xWO).
33
(2)令u=x1~3x+3=(x--)2+-(xWO),則y=au
①若0V〃VI,要使廣〃"有最小值8,
33一
則"=(x——P+—在(0,2]上應(yīng)有最大值,但〃在(0,2]上不存在最大值.
24
33
②若要使產(chǎn)。"有最小值8,則〃=(x——>+―,x£(0,2]應(yīng)有最小值
24
33-
??當(dāng)X=—時(shí),Uin=~。4
2m4
-、3
由“4=8得〃=16..??所求。=16尸一.
2
11.解:vy(o)=i>o
(1)當(dāng)mVO時(shí),二次函數(shù)圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè),符合題意.
A>0
(2)當(dāng)心0時(shí),則,3-相解得OVmWl
^-^>0
、m
綜上所述,機(jī)的取值范圍是{m且加W0}.
、-r口口~m、ATI2/m、
12.證明:(I)小(--)=p[p(-------)+q(------)+r]
m+lm+1m+1
pmqr、pmp
=pm[r----------+----+一]=pm[r---------------------]
(m+1)m+1m(m+1)m+2
=2〃H〃S+2)-(,”+%
(m+l)2(m+2)
=pm2---------J--------,由于是二次函數(shù),故.wo,又m>0,所以,pf(-m-)<o.
(m+1)(m+2)m+1
(2)由題意,得10)=哂l)=p+q+r
vyi
①當(dāng)p<0時(shí),由(1)知八----)<0
m+1
TT1
若廠>0,則大0)>0,又?----)<0,所以於)二0在(0,-------)內(nèi)有解;
m+1m+1
若rW04(J/(l)=p+q+r=p+On+D=(———-----—)+r=——-------—>0,
m+2mm+2m
又八一?一)<0,所以八x)=0在(二一,1)內(nèi)有解.
m+1m+1
②當(dāng)pVO時(shí)同理可證.
13..解:(1)設(shè)該廠的月獲利為%依題意得
y=(160—2x)x—(500+30無)=-2爐+130%—500
由yN1300知一2爐+130;(—50021300
.,.^-65^+900^0).,.(尤一20)(無一45)忘0,解得20WxW45
,當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時(shí),月獲利不少于1300元.
(2)由(1)知y=—2f+130x—500=—2(x—^)2+1612.5
:尤為正整數(shù),;.x=32或33時(shí),y取得最大值為1612元,
當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí),可獲得最大利潤1612元.
14.解⑴|c|=|f(0)]Wl(因?yàn)?£[—1,1]).
rf(0)=c,f(l)=a+b+c
(2)因?yàn)橛桑?/p>
f(-l)=a-b+c
解得{:
|b=-[f(1)-f(-1)],c=f(0)
所處x)=+f(-l)]-f(0:)L:
X*1,X-1
=—f(l)+—f(-l)-xf(0),
所以當(dāng)一lWxWl時(shí),
V+1X—1
Ig(x)I=H-f(D+—f(-i)-rf(o)
<|瑁IRl)I+要1f<-1)I+IxIIRO)|
15.解:由題意—x—ax2+(b—1)%+c.
它的對稱軸方程為九=互二1
-2a
由方程/(x)—X=0的兩個(gè)根毛,%2滿足o<X]<<),可得
cb-11口b-1b-1
(J<X]<----<%2<-9且-------—%2---------,
—2QQ—2?!?。
.b-1b-11b-1
?.------X]=------<---------,
—2?!?au—2。
卜
即一—<七,而X=—g
a°la
故/<三.
16.解:設(shè)g(X)=/(九)一犬=。九2+(。-1)%+1,則g(%)=0的二根為七和
g(2)<。
(1)由〃>0及九1<2<%2<4,可得
S(4)>0’
4〃+2Z?—1<0
即\
16tz+4Z?-3>0
b3
3+3--------<0,
2a4a
即
-4-2--+—<0,
2a4〃
b
兩式相加得——<1,所以,/>—1;
2a
(2)由($―9產(chǎn)=(B)2-土可得2a+l=J(6_l)2+L
aa
又七九2=l>0,所以同號.
a
0<<2<x2x2<-2<<Q
.?.周<2,I%-再|(zhì)=2等價(jià)于<__________4_____________
2a+1=7(^-l)2+1-[2a+1=^(Z?-1)2+1
g⑵〉0g(-2)>0
即〈g(0)〉0或vg(0)>0
2a+1=也-1)2+12a+l=J3_l)2+1
17
解之得b<一或b>—.
44
17.證明:(錯(cuò)誤!未找到引用源。)因?yàn)?(0)>0,/⑴>0,
所以。>0,3a+2Z?+c>0.
由條件a+8+c=0,消去人,得
a>c>0;
由條件a+b+c=O,消去。,得
a+b<0,2a+b>0.
故
a
(錯(cuò)誤!未找到引用源。)拋物線/(%)=3af+2"+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
b3ac-b2
(一亮’3a,
b11b2
在—2〈一<—1的兩邊乘以——,得一<——<-.
a333a3
又因?yàn)?(0)>0"⑴>0,
72,2
,”力、a+c-ac
而/(----)二-------------<0,
3a3〃
bb
所以方程/(X)=0在區(qū)間(0,-土)與(-土』)內(nèi)分別有一實(shí)根。
3a3a
故方程/(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.
18.解析:解本題主要是應(yīng)用拋物線的幾何特性(張口方向,對稱軸,截距,與x軸交點(diǎn)
個(gè)數(shù))及函數(shù)零點(diǎn)(方程)的有關(guān)知識,即
(1)由拋物線張口方向、對稱軸位置、截距及與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),立即可得:a>0,
2
b<0rc<0rb-4ac>0
-b-Vi2-Aacs/1?])
ax2+8x+c=0Q『=--------------=|Q4|=|以
⑵由方程JO5|=-c,\OA\=\OB\結(jié)論
19.解析:關(guān)于方程根的討論,結(jié)合二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置的充要條件即可
求:即設(shè)方程兩根為X1,X2則
rA>0
?再+芯2>0=749或冽225
1)[網(wǎng),通>°
rA>0
<X1+X2<0=$>?M<1
⑵l*〈0;
「△20
<五+X?>2=冽225
(3)S-1)(叼-2)>0.
rA>0
=>w>27
(x「2)(x「2)<0
4)
'△20
Xj+%>0
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