2025屆重慶市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆重慶市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列3．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值4．在空間中，“直線與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件5．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.726．已知圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.7．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問(wèn)題，松長(zhǎng)三尺，竹長(zhǎng)一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.28．若數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.509．以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或10．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.11．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或412．現(xiàn)有4本不同的書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，則不同的分法有（）A.12種 B.24種C.36種 D.48種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______14．已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為_(kāi)_____.15．已知直線與，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____16．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值18．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.19．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程20．（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個(gè)等級(jí)，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時(shí)，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）21．（12分）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)、之間)，且滿足，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點(diǎn)，且平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.2、D【解析】由，化簡(jiǎn)得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.3、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：4、A【解析】由于在空間中，若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線與平行或異面，再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中，若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線與平行或異面.故“直線與沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的必要不充分條件.故選：A.5、C【解析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)之和為：故選：C.6、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒(méi)有公共點(diǎn)，則有或，即或，又，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B7、B【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a＝3，b＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時(shí)，a，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時(shí)，a，b＝8，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時(shí)，a，b＝16，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答8、B【解析】由前項(xiàng)和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，所以.故選：B.9、C【解析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C10、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合直線斜截式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A11、A【解析】由兩條直線平行的充要條件即可求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得，故選：A.12、C【解析】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列求解.【詳解】先把4本書按2，1，1分為3組，再全排列，則有種分法，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.14、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意得到直觀圖的原圖如下：且，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】由可得，從而可求出實(shí)數(shù)a的值【詳解】因?yàn)橹本€與，且，所以，解得，故答案：16、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問(wèn)2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴為原點(diǎn))面積的最大值為18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.19、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過(guò)的定點(diǎn),再根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問(wèn)1詳解】直線即,所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€PC的斜率所以此時(shí)直線的斜率所以當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求直線的方程為,即【小問(wèn)2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為20、（1）A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見(jiàn)解析；（2）在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進(jìn)行判斷；(2)令＞即可求解.【小問(wèn)1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開(kāi)始，經(jīng)過(guò)年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過(guò)1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問(wèn)2詳解】由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞減，又，，所以在2025年底實(shí)現(xiàn)A等設(shè)備量超過(guò)生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.21、（1）（2）【解析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，以及即得解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式，分析即得解【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，解得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在，方程為，則，.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得：.由得：.設(shè)，，則，，又，，，則，，所以，所以，解得：,又，綜上所述：的取值范圍為.22、（1）（2）線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可