2025屆廣西柳州市融水苗族自治縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆廣西柳州市融水苗族自治縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-22．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．3．若，則的虛部是A．3 B． C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．6．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．7．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．8．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點，設(shè)λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣129．等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．10．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．4012．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為______.14．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.15．已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，若，則直線的方程為___________．16．棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.18．（12分）某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，）表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.19．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點，求的值.21．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點，為棱上一點，若平面.（1）求線段的長；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當(dāng)與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.2、B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.3、B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．4、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.5、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.8、D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得，，然后計算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立則，因為直線經(jīng)過C的焦點，所以.同理可得，所以故選：D.【點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。9、A【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出．【詳解】設(shè)與的等比中項是．

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當(dāng)，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.11、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查等差數(shù)列基本量的計算，是一道容易題.12、A【解析】

由的解集，可知及，進(jìn)而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運用直線的點斜式求出切線的方程.【詳解】令，，所以，又，所求切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查運用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值．【詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數(shù)項等于，故答案為1．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線．由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.16、【解析】

由棱長為的正四面體求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因為，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計算能力.18、（1），眾數(shù)為150；（2）；（3）【解析】

（1）由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率，由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此能將表示為的函數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．【詳解】（1）由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150，由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：∴估計需求量的平均數(shù)為：（2）當(dāng)時，當(dāng)時，∴（3）由（2）知當(dāng)時，當(dāng)時，得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，考查概率的估計，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用．19、（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因為在曲線上，故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡可得.設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計算，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.22、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由短軸長可知，設(shè)，，由設(shè)而不求法作差即可求得，將相應(yīng)值代入即求得，橢圓方程可求；（2）考慮特殊位置，即直線與軸垂直時候，成立，