2025屆黑龍江省黑河市通北一中數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

2025屆黑龍江省黑河市通北一中數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-22．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.3．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.55．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.46．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.10．如圖，在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知點是拋物線上的一點,F是拋物線的焦點,則點M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.212．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.14．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為___________.15．某校組織了一場演講比賽，五位評委對某位參賽選手的評分分別為9，x，8，y，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6，方差為0.24，則______16．曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線：，點，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點：當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，橢圓E的一個焦點為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于兩點.求的最大值.20．（12分）已知為等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和，，，，在①；②；③．這三個條件中任選其中一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則按選擇的第一個解答計分）（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點和.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點且斜率存在的直線與圓交于，兩點，且，求直線的方程.22．（10分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.2、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】連接與，因為，則為所求，又是正三角形，.故選：C.3、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A4、C【解析】直線l過定點D(1，1)，當(dāng)時，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.5、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B6、A【解析】將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬中檔題.7、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B8、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可.詳解】當(dāng)時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A9、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.10、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量、平面的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點D為坐標(biāo)原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)面的法向量為，有，取，則，所以，，，則直線與平面所成角的正弦值為故選：D.11、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意，,解得所以故選：B.12、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用相似關(guān)系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、3【解析】根據(jù)平均變化率的定義即可計算.【詳解】設(shè)，因，，所以.故答案為：315、1【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式，求得，則問題得解.【詳解】由題可知：整理得：；，整理得：，聯(lián)立方程組得，解得或，對應(yīng)或，故.故答案為：1.16、【解析】運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）8.【解析】（1）將點代入拋物線方程可解得基本量.（2）設(shè)直線AB為，代入聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程，運用韋達(dá)定理，得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)最值.【小問1詳解】當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，，，則代入拋物線方程得，所以拋物線方程是【小問2詳解】設(shè)點，，直線AB方程為，聯(lián)立拋物線整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，則，即，∴，可得，又O到AB的距離，∴，而，∴，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；∴的最小值為,此時，.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】解：（1）由題意得，，令，得，令，得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）易知，因為,所以（或由，可得）,又當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為【點睛】確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長公式得到弦長的表達(dá)式，再通過換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問1詳解】依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，，，由得由得由，得設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率不存在時，，的最大值為20、（1）無論選擇哪個條件答案均為；（2）.【解析】（1）先根據(jù)題設(shè)條件求解，然后根據(jù)選擇的條件求解；（2）先求，然后利用分組求和的方法求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為，因為，；所以，解得，所以.選①：設(shè)的公比為，則；由題意得，因為，所以，解得或（舍）；所以.選②：由，當(dāng)時，，因為，所以；當(dāng)時，，整理得；即是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以.選③：因為，，所以，解得；所以.【小問2詳解】由（1）得；所以.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得，，結(jié)合兩點間的距離公式求解的值，則圓心與半徑可求，圓的方程可求；（2）若直線的斜率不存在，設(shè)直線的方程為，符合題意，若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離與半徑關(guān)系求得，則直線方程可求【小問1詳解】解：（1）設(shè)圓心，由題意得，，，解得.圓心坐標(biāo)為，半徑.則圓的方程為；【小問2詳解】解：（2）直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，，圓心到直線的距離，即，解得，得直線的方程為.22、（1）（2）【解析】由已知式子變