湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際學(xué)校2025屆高一上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙麓山國(guó)際學(xué)校2025屆高一上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B.C. D.2．已知條件，條件，則p是q的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)、當(dāng)時(shí)，都有.如果存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.4．棱長(zhǎng)為1的正方體可以在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)部任意地轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最小值為A. B.C. D.5．一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則原梯形的面積為()A.2 B.C.2 D.46．已知為兩條直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．已知，，且，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.88．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為A. B.C. D.9．不等式的解集為（）A. B.C. D.10．下列各題中，p是q的充要條件的是（）A.p：，q：B.p：，q：C.p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分D.p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列命題“①設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則；②定義：若任意，總有，就稱(chēng)集合為的“閉集”，已知且為的“閉集”，則這樣的集合共有7個(gè)；③已知函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上有最小值.其中正確的命題序號(hào)是_________.12．已知，，試用a、b表示________.13．已知函數(shù),現(xiàn)有如下幾個(gè)命題：①該函數(shù)為偶函數(shù)；

②是該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；③該函數(shù)的最小正周期為；④該函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；⑤該函數(shù)值域?yàn)?其中正確命題的編號(hào)為_(kāi)_____14．要制作一個(gè)容器為4，高為無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_______（單位：元）15．用表示a，b中的較小者，則的最大值是____.16．已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值；（3）解關(guān)于的不等式：.18．已知函數(shù).（1）若的圖象恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，已知是半徑為圓心角為的扇形，是該扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，記為.（1）若的周長(zhǎng)為，求的值；（2）求的最大值，并求此時(shí)的值.20．已知函數(shù)（1）若存在，使得成立，則求的取值范圍；（2）將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和21．（1）化簡(jiǎn)與求值：lg5＋lg2＋＋21n（π-2）0：（2）已知tanα＝3．求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】函數(shù)，滿足.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選D.點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,

這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判斷根所在區(qū)間.2、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】由，得，即，由，得，即推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分條件.故選：B3、A【解析】∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴，不妨設(shè)a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，即f（a）＞f（b）∴f（x）在R上單調(diào)遞增，∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等價(jià)于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）∴不等式等價(jià)于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，∵存在實(shí)數(shù)使得不等式c2+c＜2x成立，∴c2+c＜6，即c2+c﹣6＜0，解得，，故選A點(diǎn)睛：處理抽象不等式的常規(guī)方法：利用單調(diào)性及奇偶性，把函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的自變量間的關(guān)系；同時(shí)注意區(qū)分恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題.4、A【解析】由題意可知正方體的外接球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球時(shí)a最小，此時(shí)R=，.5、D【解析】由斜二測(cè)畫(huà)法原理，把該梯形的直觀圖還原為原來(lái)的梯形，結(jié)合圖形即可求得面積【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法原理，把該梯形的直觀圖還原為原來(lái)的梯形，如圖所示；設(shè)該梯形的上底為a，下底為b，高為h，則直觀圖中等腰梯形的高為h′＝hsin45°；∵等腰梯形的體積為（a+b）h′＝（a+b）?hsin45°＝，∴（a+b）?h＝＝4，∴該梯形的面積為4故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的直觀圖的還原與求解問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)明確直觀圖與原來(lái)圖形的區(qū)別和聯(lián)系，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】A中，有可能，故A錯(cuò)誤；B中，顯然可能與斜交，故B錯(cuò)誤；C中，有可能，故C錯(cuò)誤；D中，由得，，又所以，故D正確.7、C【解析】根據(jù)條件,變形后，利用均值不等式求最值.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.故選：C8、C【解析】去絕對(duì)值符號(hào)，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的周期性【詳解】，其中，所以函數(shù)的最小正周期，選擇C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)最小正周期的判斷方法，需要對(duì)三角函數(shù)的解析式整理后，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求得9、D【解析】化簡(jiǎn)不等式并求解即可．【詳解】將不等式變形為，解此不等式得或.因此，不等式解集為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式解法，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，滿足，所以充分性不成立，反之：當(dāng)時(shí)，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分條件，不符合題意；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即充分性成立；反之：當(dāng)時(shí)，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，不符合題意；對(duì)于C中，若四邊形是正方形，可得四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分，但四邊形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是充分不必要條件，不符合題意；對(duì)于D中，若兩個(gè)三角形相似，可得兩個(gè)三角形三邊成比例，即充分性成立；反之：若兩個(gè)三角形三邊成比例，可得兩個(gè)三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要條件，符合題意.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②【解析】對(duì)于①，如果，則，也就是，所以，進(jìn)一步計(jì)算可以得到該和為，故①正確；對(duì)于②，我們把分成四組：，由題設(shè)可知不是“閉集”中的元素，其余三組元素中的每組元素必定在“閉集”中同時(shí)出現(xiàn)或同時(shí)不出現(xiàn)，故所求的“閉集”的個(gè)數(shù)為，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，故在上的最大值為，所以在上的最小值為，在上的最小值為，故③錯(cuò)．綜上，填①②點(diǎn)睛：（1）根據(jù)可以得到，因此，這樣的共有，它們的和為，依據(jù)這個(gè)規(guī)律可以寫(xiě)出和并計(jì)算該和（2）根據(jù)閉集的要求，中每組元素都是同時(shí)出現(xiàn)在閉集中或者同時(shí)不出現(xiàn)在閉集中，故可以根據(jù)子集的個(gè)數(shù)公式來(lái)計(jì)算（3）注意把非奇非偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)或偶函數(shù)來(lái)討論12、【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此有：，故答案為?3、②③【解析】由于為非奇非偶函數(shù),①錯(cuò)誤.,此時(shí),其在上為增函數(shù),②正確.由于,所以函數(shù)最小正周期為,③正確.由于,故④正確.當(dāng)時(shí),,故⑤錯(cuò)誤.綜上所述,正確的編號(hào)為②③.14、160【解析】設(shè)底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為和,先求側(cè)面積，進(jìn)一步求出總的造價(jià)，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為和,則，所以總造價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)區(qū)到最小值則該容器的最低總造價(jià)是160.故答案為：160.15、【解析】分別做出和的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】解：分別做出和的圖象，如圖所示：又，當(dāng)時(shí)，解得：，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.16、【解析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到化簡(jiǎn)結(jié)果；（2）結(jié)合（1）得到的結(jié)果，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式進(jìn)行求解，即可計(jì)算出結(jié)果；（3）結(jié)合（1）得到的結(jié)果，將其轉(zhuǎn)化為不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，，，?（2）由（1）可知，=11（3）因?yàn)?，可轉(zhuǎn)化為整理可得，則，解得，故不等式的解集為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答第一問(wèn)時(shí)關(guān)鍵是需要熟練掌握誘導(dǎo)公式，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，并能結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算結(jié)果，解答第二問(wèn)時(shí)可以將其轉(zhuǎn)化為齊次式，即可計(jì)算出結(jié)果.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得恒成立，再借助判別式列出不等式求解即得.(2)根據(jù)給定條件列出不等式，再分離參數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值范圍即可推理作答.【小問(wèn)1詳解】因函數(shù)的圖象恒在直線上方，即，，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【小問(wèn)2詳解】依題意，，，令，，令函數(shù)，，，，而，即，，則有，即，于是得在上單調(diào)遞增，因此，，，即，從而有，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)即可求得，以及；將目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求得；（2）用表示出，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，求該三角函數(shù)的最大值即可求得結(jié)果.【詳解】（1），，則若的周長(zhǎng)為，則，，平方得，即，解得（舍）或.則.（2）中，，，在中，，，則因?yàn)?，，?dāng)，即時(shí)，有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查已知正切值求齊次式的值，以及幾何圖形中構(gòu)造三角函數(shù)，并求三角函數(shù)最值的問(wèn)題，涉及倍角公式和輔助角公式的利用，屬綜合中檔題.20、（1）；（2）【解析】（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）＝sin（2x），由存在，使得成立，只需fmax（x）≥a即可；（2）由函數(shù)圖象變換可得，即求g（x）0的零點(diǎn)，由三角函數(shù)的對(duì)