四川省眉山一中辦學共同體2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

四川省眉山一中辦學共同體2025屆高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關(guān)系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B.C. D.2．已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，點為切點.若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知為等差數(shù)列，為公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.4．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.135．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.6．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.7．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(0，0)對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.38．已知橢圓：的離心率為，則實數(shù)（）A. B.C. D.9．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點坐標為B.拋物線的準線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱10．拋物線的準線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.11．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.12．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______14．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點，，為的準線上一點，則的面積為________15．若直線與函數(shù)的圖象有三個交點，則實數(shù)a的取值范圍是_________16．曲線在點處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實軸長為2.（1）求雙曲線的焦點到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.18．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點且.（1）求圓的標準方程；（2）若直線，圓上僅有一個點到直線的距離為1，求直線的方程.19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.20．（12分）已知直線經(jīng)過點，且滿足下列條件，求相應(yīng)的方程.（1）過點；（2）與直線垂直.21．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若,,求22．（10分）已知雙曲線的左焦點為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點，，當直線經(jīng)過的右焦點且垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點，使得直線過點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先對求導，然后將代入導數(shù)式，可得出該物體在時的瞬時速度【詳解】對求導，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及弦長公式求出，進而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因為拋物線的性質(zhì)：在拋物線上任意一點處的切線方程為，設(shè)，所以在點處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，所以直線的方程為，即，點到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.3、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項公式，再代入數(shù)列，利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項和為：.故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.4、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點時截距最小，求出點A坐標，代入目標式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點時截距最小，由，得，則.故選：C.5、A【解析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.6、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當時，由，不妨設(shè)，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B7、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠的點的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.8、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C9、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，故A錯誤；拋物線的準線方程為，故B錯誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯誤；故選：C.10、C【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準線方程是y＝﹣故答案為C【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程和簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題11、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.12、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時，圓的圓心坐標為，半徑為2，此時圓與軸相切；當圓與軸相切時，因為圓的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、69【解析】由圖可知，第行有個數(shù)，求出第行的最后一個數(shù)，從而可分析計算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個數(shù)，第行最后一個數(shù)為，因為，所以第行的最后一個數(shù)為2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案為：69.14、【解析】先設(shè)出拋物線方程，寫出準線方程和焦點坐標，利用得到拋物線方程，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，則焦點為，準線方程為，由題意，得，，，所以，解得，所以.故答案為：.15、【解析】求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，則，所以當或時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值，因為直線與函數(shù)的圖象有三個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.16、.【解析】由求導公式求出導數(shù)，再把代入求出切線的斜率，代入點式方程化為一般式即可.【詳解】由題意得，∴在點處的切線的斜率是，則在點處的切線方程是，即.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義.注意區(qū)分“在某點處的切線”與“過某點的切線”，前者“某點”是切點，后者“某點”不一定是切點.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知計算雙曲線的基本量，得雙曲線焦點坐標及漸近線方程，再用點到直線距離公式得解.（2）直線方程代入雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，運用韋達定理弦長公式列方程得解.【小問1詳解】雙曲線離心率為，實軸長為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；∴雙曲線C的焦點坐標為，漸近線方程為，即為，∴雙曲線焦點到漸近線的距離為.【小問2詳解】設(shè),,聯(lián)立，，，，，，解得18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長公式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進行求解即可.小問1詳解】因為圓的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設(shè)方程為：，圓心，設(shè)圓心到直線的距離為，因為，所以有，或舍去，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因為直線，所以設(shè)直線的方程為，因為圓上僅有一個點到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.當兩平行線間的距離為，于是有：，當時，圓心到直線的距離為：，不符合題意；當時，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時直線的方程為.故直線方程為或.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得，進而求得拋物線方程.（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當k=0時，S最小，最小值為.20、（1）（2）【解析】（1）直接利用兩點式寫出直線的方程；（2）先求出直線的斜率，由點斜式寫出直線的方程.【小問1詳解】直線經(jīng)過，兩點，由兩點式得直線的方程為.【小問2詳解】與直線垂直直線的斜率為由點斜式得直線的方程為.21、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項公式（2）化簡通項得，根據(jù)特點求和時采用錯位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點：1．等比數(shù)列通項公式；2．錯位相減求和22、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設(shè)存在