平面向量及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學一輪復習

專題09平面向量及其應(yīng)用

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

混易錯?聯(lián)券＜4期

易錯點1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

點撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。

【典例1］（23-24高三上.全國.專題練習）（多選）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

易錯點2忽視兩個向量成為基底的條件

點撥：如果￡、B是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量工，有且只有一對實數(shù)4,

%,使2=4￡+4行。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W習

這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。

【典例1】（2024.上海浦東新.三模）給定平面上的一組向量1、則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的

基底的是（）

A.2,+4和6一4B.6+3弓和弓+3e1

C.3ex-e2和2,-6,D.ex和ex+e2

【典例2］（23-24高三上.福建.階段練習）（多選）下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個基底的是

e2=(1,2)G，4=(-2,2)

ex=(1,-2),e2=(3,6)ex=(1,2),弓=(-3,-4)

易錯點3錯誤使用向量平行的等價條件

點撥：對于。=（玉,%）,石=（%2，%），-%乂=0，若是使用1=/■,容易忽略o

%2

這個解.考生解題過程中要注意等價條件的完備性。

【典例1】（2024?青海海西?模擬預測）已知向量方=（1,-2）,若［〃坂，貝卜=（）

A.-2B.-1C.0D.2

【典例2】（2024?陜西渭南二模）已知向量彼=（2力，則）=2”是“￡〃慶’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

易錯點4混淆向量數(shù)量積運算和數(shù)乘運算的結(jié)果

點撥：向量的數(shù)乘運算結(jié)果依舊為向量，而數(shù)量積的運算結(jié)果為實數(shù)，兩者要區(qū)分開。尤其使用數(shù)量積的

運算時不可約公因式。

【典例1］（23-24高三上.江蘇揚州?階段練習）（多選）下列關(guān)于向量萬，b,*的運算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.［a-b^-c=a-{b-c^

C.2?方4同間D.|a-Z?|<|a|+|z?|

【典例2】（2024高三?全國?專題練習）（多選）設(shè)很5忑是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命

題中的真命題是（）

A.（方方）不1）5=0B.同一回V忸一同

C.（加）日一（萩）5不與e垂直D.（34+2現(xiàn)31一2萬）=9忖12T5|2

易錯點5確定向量夾角時忽略向量的方向

點撥：錯誤理解向量的夾角，在使用a4=|acos<a,B>求解時，特別注意要共起點才能

找夾角，否則使用的可能是其補角造成錯誤。

【典例1］（23-24高三下?河北滄州?期中）己知AABC是邊長為4的正三角形，則荏.而=（）

A.8B.8A/3C.-8D.-8有

易錯點6忽視兩向量夾角<￡,石〉的取值范圍

點撥：向量的夾角范圍是從［0,解題時易忽略夾角為o和夾角為萬的情況。

【典例1］（23-24高三上.山東聊城?期末）已知向量Z=（3t+1,2）,5=（1,r）,若々與B所成的角為鈍角，則實

數(shù)才的取值范圍：.

【典例2】（23-24高三上.全國.專題練習）已知；，］為互相垂直的單位向量，a=l-2j,為，且Z與

辦的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍為.

專題09平面向量及其應(yīng)用

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

混笏錯?睢掾吊螃

易錯點1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

點撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。

【典例1］（23-24高三上.全國.專題練習）（多選）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

【答案】ACD

【解析】對于A,零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；

對于B,根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤;

對于C,根據(jù)單位向量的定義，可知C項正確；

對于D,方向相同且模相等的兩個向量相等，

因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確.故選：ACD.

易錯點2忽視兩個向量成為基底的條件

點撥：如果￡、B是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量工有且只有一對實數(shù)4,

%，使2=4￡+4后。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W習

這部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。

【典例1】（2024.上海浦東新.三模）給定平面上的一組向量［、工,則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的

基底的是（）

A.2q+%和q-e?B.q+3%和62+3。

C.3q-e2和2e2-6qD.q和q+e2

【答案】C

【解析】對A：不存在實數(shù)2,使得2「+最=2何-可，故省+晟和1一互不共線，可作基底；

對B：不存在實數(shù)為，使得4+3最=/1（￡+3冢），故1+3/和￡+3冢不共線，可作基底；

對C：對-晟和2最-6冢，因為一，1是不共線的兩個非零向量，

且存在實數(shù)-2,使得261=-2(31-項，故3冢-區(qū)和2/-61共線，不可作基底;

對D：不存在實數(shù)2,使得印=4任+可，故]和1+公不共線，可作基底.故選：C.

【典例2](23-24高三上?福建.階段練習)(多選)下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個基底的是

()

A.ex=(1,1),e2=(1,2)B.ex=(-1,1),e2=(-2,2)

C.q=(l,-2),e2=(3,6)D.q=(l,2),-(-3,-4)

【答案】ACD

【解析】易知能作為基底的兩個平面向量不能共線，

111-212

1236-3-4

則選項A、C、D中兩個向量均不共線，而B項中1=(-2,2)=2冢，則B錯誤.故選：ACD

易錯點3錯誤使用向量平行的等價條件

1

點撥：對于￡=(%1，X),石=(%2，%)，a//b<^xiy2-x2yx=0,若是使用o—=2■,容易忽略0

一一一一x?%

這個解.考生解題過程中要注意等價條件的完備性。

【典例1】(2024.青海海西.模擬預測)已知向量商=。,一2),5=(/,1-/),若￡〃石，則公()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【解析】若有=解得f=-l.故選：B.

【典例2】(2024?陜西渭南?二模)已知向量￡=”3,-1),6=(2"),則)=2”是“￡〃斤’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若則f(—3)_(-l)x2=0,解得f=l或2,

故“f=2”是“￡〃斤’的充分不必要條件.故選：A

易錯點4混淆向量數(shù)量積運算和數(shù)乘運算的結(jié)果

點撥：向量的數(shù)乘運算結(jié)果依舊為向量，而數(shù)量積的運算結(jié)果為實數(shù)，兩者要區(qū)分開。尤其使用數(shù)量積的

運算時不可約公因式。

【典例1］（23-24高三上?江蘇揚州?階段練習）（多選）下列關(guān)于向量萬，b,工的運算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.（a-b^-c=a-^b-c^

C.無54同佃D.|a-&|<|?|+|&|

【答案】AC

【解析】A：由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可以判斷本選項一定成立；

B：（無到1與e共線，無值句與「共線，而5與e不一定共線，

所以（無5）七=無（彳"不一定成立，因此本選項不一定成立；

C：無5=同［4《?@5〉w同.忖，所以本選項一定成立；

D：當方=6時，,-5卜同+問，所以本選項不一定成立，故選：AC

【典例2】（2024高三.全國.專題練習）（多選）設(shè)很反^是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命

題中的真命題是（）

A.（a-b^c-（c-d）b=0

B.|a|-|5|<|a-^|

C.（5年）江一（萬專）5不與0垂直

D.（3萬+21）彳3萬-2石）=9|萬『

【答案】BD

【解析】由于反季是不共線的向量，因此,石,-伍0）5的結(jié)果應(yīng)為向量，故A錯誤；

由于為B不共線，故口及乙-5構(gòu)成三角形，因此B正確；

由于［阿斤（利方”=（時（萬可祠阿）=0,故C中兩向量垂直,故c錯誤；

根據(jù)向量數(shù)量積的運算可以得（34+2現(xiàn)3"25）=9K|2-4時，故D是正確的.故選：BD.

易錯點5確定向量夾角時忽略向量的方向

點撥：錯誤理解向量的夾角，在使用〃％=|〃||6|?05<〃,后>求解時，特別注意要共起點才能

找夾角，否則使用的可能是其補角造成錯誤。

【典例1］（23-24高三下?河北滄州?期中）已知AABC是邊長為4的正三角形，則而.而=（）

A.8B.C.—8D.—8y/3

【答案】C

【解析】正融C的邊長為4,貝UAB?BC=|A8||JBC|cos（兀-§）=42x（_5）=-8.故選：C

易錯點6忽視兩向量夾角<4出〉的取值范圍

點撥：向量的夾角范圍是從［0,解題時易忽略夾角為o和夾角為萬的情況。

【典例1］（23-24高三上?山東聊城?期末）已知向量Z=（3/+l,2）,g=（lj）,若Z與5所成的角為鈍角，則實

數(shù)I的取值范圍：.

【答案】（一00，-1）。（一1，-'1|

【解析】Z與另所成的角為鈍角即且Z與B不平行，