平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（華東師大版）（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專題18.5平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為平行四邊形】 1【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】 5【題型3平行四邊形的證明】 9【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 15【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 20【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 24【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運(yùn)用】 29【題型8坐標(biāo)系中的平行四邊形問題】 36【題型1添加條件使成為平行四邊形】【例1】（2024八年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，連接CE，BD．添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠DCE B．∠AEC=∠CBD C．EF=BF D．∠AEB=∠BCD【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定及三角形全等逐個(gè)分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD∥CE，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B：∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意，選項(xiàng)C：∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，在△DEF與△CBF中，∠DEF＝∠CBF，∠DFE＝∠CFB，EF＝BF，∴△DEF≌△CBF（ASA），∴DF=CF，∵EF=BF，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D：∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，E，F(xiàn)是□ABCD對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【分析】用反推法，假如四邊形是平行四邊形，會(huì)推出什么結(jié)果，這結(jié)果就是要添加的條件．【詳解】解：使四邊形AECF是平行四邊形．就要使AE∥CF，AE=CF，就要使△AEB?△CFD，而在平行四邊形中已有AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加一個(gè)BE=DF或BF=DE可用SAS證△AEB?△CFD，或∠BAE=∠DCF用ASA證△AEB?△CFD．故答案為：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，本題是開放題，答案不唯一，可以針對(duì)各種特殊的平行四邊形的判定方法，給出條件，本題主要是通過給出證明△AEB?△CFD的條件來得到AE∥CF，AE=CF，根據(jù)四邊形中一組對(duì)邊平行且相等就可證明為是平行四邊形．【變式1-2】（2024八年級(jí)下·山東青島·期中）下列條件中，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，AD∥BCC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C【分析】本題考查平行四邊形判定．根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案．【詳解】解：∵AB∥CD，AB=CD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；∵AB∥CD，AD∥BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；∵AB=AD，BC=CD，不可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故C選項(xiàng)符合題意；∵AB=CD，AD=BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式1-3】（2024八年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上兩個(gè)不同點(diǎn)．連接AE，AF，CE，CF，添加一個(gè)條件使得四邊形AFCE是平行四邊形．

(1)請(qǐng)?jiān)谝韵逻x項(xiàng)中選擇所有符合條件的選項(xiàng)，將其序號(hào)填寫在下方橫線上．①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足；②BE=DF；③AE=CF；④AE∥(2)選擇其中一個(gè)條件，寫出證明過程：我選擇________，證明過程如下：【答案】(1)①②④(2)①（答案不唯一），見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定解答即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定解答即可．【詳解】（1）解：填①②④的任意一個(gè)都正確；故答案為：①②④；（2）解：選擇①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足；證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE與△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF(AAS∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．選擇②BE=DF，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形．選擇④AE∥證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵AE∥∴∠AEB=∠CFD，在△ABE與△CDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】【例2】（2024八年級(jí)下·河北滄州·期中）如圖，E為平行四邊形ABCD邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為DE，AE的中點(diǎn)，若△DCE與△ABE的面積之和為6，則四邊形DAGF的面積是．【答案】4.5【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可知S△ADE=12S□ABCD，結(jié)合S△DCE+S△ABE=6，SADE+S△DCE+S△ABE=【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴S△ADE又∵S△DCE+S∴S△ADE連接DG，∵F、G分別為DE、AE的中點(diǎn)，∴S△ADG=S∴四邊形DAGF的面積=S故答案為：4.5．【變式2-1】（2024八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ECD沿直線ED翻折至平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC′D，連結(jié)DC′，并延長(zhǎng)DC′，BA交于點(diǎn)F，若CD=【答案】22+1【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的折疊問題，延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于G，根據(jù)△ECD折疊得到△EC′D得到∠CDE=∠C′DE，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到【詳解】解：延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于G，∵△ECD折疊得到△EC∴∠CDE=∠C∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=2，AF=1∴AB=2，AB∥CD∴∠G=∠CDE，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，在△GEB與△DEC中，∠GEB=∠DEC∠G=∠CDE∴△GEB≌△DEC(AAS∴BG=CD=2∵∠C∴FD=FG=2【變式2-2】（2024八年級(jí)下·浙江湖州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)此平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)為O，則BO的長(zhǎng)為【答案】2或1或5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．分三種情況討論：①BC為邊，AB是對(duì)角線；②AB，BC為邊，③AB，AC為邊，作出圖形，分別由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理可求BO的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2∴AB=2①如圖，若BC，AC為邊，AB是對(duì)角線，∵四邊形ACBD1是平行四邊形，且∠ACB=90°，∴BO=BO②若AB，AC為邊，BC為對(duì)角線，∵四邊形ABD∴BO=BO③若AB，BC為邊，AC為對(duì)角線，∵ABCD∴CO∴BO=BO故答案為：2或1或5．【變式2-3】（2024八年級(jí)下·重慶北碚·開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長(zhǎng)度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出∠BEA=∠BAE，根據(jù)等腰三角形的判定得出AB=EB，分兩種情況討論：當(dāng)EB=5，EC=4時(shí)，當(dāng)EB=4，EC=5時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥∴∠BEA=∠DAE，∵∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴AB=EB，當(dāng)EB=5，EC=4時(shí)，如圖1，則AB=EB=5，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×5+2×9=28；當(dāng)EB=4，EC=5時(shí)，如圖2，則AB=EB=4，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×4+2×9=26，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為26或28，故選：B．【題型3平行四邊形的證明】【例3】（2024八年級(jí)下·寧夏石嘴山·期中）在△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D恰好落在BC邊的延長(zhǎng)線上．(1)求證：AE∥(2)連接CE，判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形ABCE是平行四邊形，理由見解析．【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)．(1)由于△ABC和△ADE都是等腰三角形，易求得∠B=∠BAC=∠BDA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得所求的兩條線段所在直線的內(nèi)錯(cuò)角相等，由此得證；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知：AC=AE=BC，且已證得AE∥BD，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可判定四邊形【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BAC=∠DAE，AB=AD，∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵AB=AD，∴∠B=∠BDA，∴∠DAE=∠BDA，∴AE∥（2）四邊形ABCE是平行四邊形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，又∵AE∥∴四邊形ABCE是平行四邊形．【變式3-1】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠DAO=∠ECO．

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；(2)若AB=BC，若CD=10，AC=16，則DE=______．【答案】(1)證明見解析(2)12【分析】（1）通過證明△AOD≌△COE，得到DO=EO，再結(jié)合AO=CO即可利用對(duì)角線互相平分證明平行四邊形．（2）根據(jù)AB=BC和AO=CO證明DB⊥AC，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：在△AOD和△COE中，∠DAO=∠ECOAO=CO∴△AOD≌△COEASA∴DO=EO，又AO=CO，∴四邊形AECD是平行四邊形．（2）解：∵AB=BC，AO=CO，AC=16，∴DB⊥AC，CO=8，∵CD=10，由勾股定理得：DO=C∴DE=2DO=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的證明，勾股定理，等腰三角形“三線合一”，掌握平行四邊形的證明方法以及找到合適的全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2024八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線交AD,BC于P,Q兩點(diǎn)，交BA，DC的延長(zhǎng)線于M,N兩點(diǎn)．

(1)求證：AP=CQ；(2)連接DM,BN，求證：四邊形BNDM是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AC，證明△AOE≌△COFAAS，得到AM=CN，再證明△PAM≌△QCN（2）連接DM,BN，根據(jù)AB=CD,AM=CN，得到BM=DN，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,OA=OC，AD∥BC，∴∠M=∠N，在△AOM和△CON中，∠M=∠N∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CONAAS∴OM=ON,AM=CN，∵AB∥CD，∴∠B=∠NCQ，∵AD∥BC，∴∠B=∠MAP，∴∠MAP=∠NCQ，在△PAM與△QCN中，∠M=∠NAM=CN∴△PAM≌△QCNASA∴AP=CQ；（2）連接DM,BN，

∵AB∥CD,AB=CD,AM=CN，∴BM=DN，∴四邊形BNDM是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等．【變式3-3】（2024八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥AB交的EF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且FG=EF．

圖1

圖2(1)如圖1，求證：四邊形BDGE是平行四邊形；(2)如圖2，連接BF，若AC=BF，AD=BD，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中長(zhǎng)度與AF長(zhǎng)度相等的所有線段（不包括線段AF）．【答案】(1)見詳解(2)DF、EF、FG、CD【分析】（1）證△AEF≌△DGF(ASA)，得AE=DG，再證（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=DF，EG∥BC，再證△ABD和△AEF是等腰直角三角形，得EF=AF，則FG=AF，然后證Rt△ADC≌Rt△BDF(【詳解】（1）證明：∵DG∥AB，∴∠AEF=∠G，在△AEF和△DGF中，∠AEF=∠GEF=GF∴△AEF≌△DGF(ASA∴AE=DG，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴BE=DG，又∵DG∥BE，∴四邊形BDGE是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，△AEF≌△DGF，四邊形BDGE是平行四邊形，∴AF=DF，EG∥BC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，EG⊥AD，∵AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF，∵FG=EF，∴FG=AF，在Rt△ADC和RtAC=BFAD=BD∴Rt∴CD=DF=AF，∴圖2中長(zhǎng)度與AF長(zhǎng)度相等的所有線段為DF、EF、FG、CD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)】【例4】（2024八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，AD∥BC，∠B=60°，BA=AD=DC=1，則BC的長(zhǎng)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，又由AD∥BC，得到四邊形ADCE是平行四邊形，從而EC=AD=1，AE=DC=1，又AB=DC，得到AB=AE，再∠B=60°，得到△ABE是等邊三角形，因此【詳解】解：過點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)

∵AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴EC=AD=1，AE=DC=1，∵AB=DC=1，∴AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=1，∴BC=BE+EC=1+1=2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2024八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．26 C．25 D．32【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，先證∠DHC=90o，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結(jié)果．【詳解】過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60o，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60o，∵DH⊥BC，

∴∠DHC=90o，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=12CD=32，DH=∴BD∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴BE∴BE=32故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．【變式4-2】（2024八年級(jí)下·河北廊坊·期中）如圖，在?ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF=1cm，那么對(duì)角線BDA．1cm B．2cm C．23【答案】D【分析】先連接DE；然后利用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：連接DE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵DF＝12CD，AE＝12∴DF平行且等于AE，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴EF＝AD＝1cm，∵AB＝2AD，∴AB＝2cm，∵AB＝2AD，AB＝2AE，∴AD＝AE，∴∠1＝∠4，∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AE，∵AE＝BE，∴DE＝BE，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∴∠2＝∠3＝30°，∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，∴BD=A故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，比較復(fù)雜，綜合性較強(qiáng)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解答．【變式4-3】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，在?ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，則BD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．61 C．12 D．2【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，先由平行四邊形性質(zhì)得BC=5，再由勾股定理求出AC=12，然后證四邊形ACED是平行四邊形，得CE=AD=5，DE=AC=12，然后再由勾股定理求解即可【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，∵?ABCD，∴BC=AD=5，AD∥BC，∵AC⊥BC∴∠ACB=90°，由勾股定理，得AC=AB∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=5，DE=AC=12，∴BE=BC+CE=10，∵DE⊥BC，∴由勾股定理，得BD=BE故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例5】（2024八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A′BC′，點(diǎn)A′恰好落在AC上，連接A．110° B．100° C．90° D．70°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，可得∠A′B【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠A′BC′=∠ABC，∴∠A=∠BA∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，AC=BC∴∠A∴AC∥BC∴四邊形ABC∴∠ACC′+∠A=180°故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式5-1】（2024八年級(jí)下·北京東城·期中）在?ABCD中，BC=2AB，若E為BC的中點(diǎn)，則∠AED=．【答案】90°【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四邊形AFEB，推出AF＝DF＝EF，然后推出∠AEB=∠AEF，∠FED=∠CED，由此即可求解．【詳解】解：取AD的中點(diǎn)F，連接EF，∵平行四邊形ABCD，BC＝2AB，E為BC的中點(diǎn)，∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，∴AB＝BE＝AF＝DF，∴AF＝BE，AF∥BE，∴∠EAF=∠AEB，四邊形AFEB是平行四邊形，∴EF＝AB＝AF＝DF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠AEB=∠AEF，同理可得∠FED=∠CED，∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，能求出AF＝DF＝EF是解此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC=68°，△DBE由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，若點(diǎn)C在DE上，連接AE，則∠EAC=°．【答案】24【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角的性質(zhì)證明DE∥BA和DE=AB，即可得到四邊形ABDE為平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到【詳解】解：∵AB=AC，△DBE由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，∴∠D=∠ACB=∠ABC=68°，∴∠BCD=∠D=68°，∴∠ECA=180°?∠D?∠BCA=180°?68°?68°=44°，∵AB=AC，∴∠DEB=∠CAB=180°?∠ACB?∠ABC=180°?68°?68°=44°，∵∠CFE=∠AFB，∴∠DEB=∠CAB=∠ACE=∠ABE=44°，∴DE∥∵△DBE由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得且AB=AC，∴DE=BE=AB=AC，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴∠EAB=∠D=68°，又∵∠CAB=44°，∴∠EAC=∠EAB?∠CAB=68°?44°=24°，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對(duì)等角的性質(zhì)、平行線的判定和平行四邊形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024八年級(jí)下·河北唐山·期中）已知如圖，直線CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分（1）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是；（2）在平行移動(dòng)AB的過程中，當(dāng)∠COE=（度）時(shí)，∠OEC=∠OBA．【答案】1:215【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，從而得出答案，（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：2，故答案為：1：2；（2）當(dāng)∠COE=15°時(shí)，∠OEC=∠OBA．∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，∴∠AOC=∠ABC=60°，∴四邊形AOCB為平行四邊形，∴∠OEC=∠EOB+∠AOB，∠OBA=∠BOC=∠COE+∠EOB，又∵∠OEC=∠OBA，∴∠AOB=∠COE，∴∠COE=∠EOF=∠FOB=∠AOB=60°÷4=15°，∴∠EOB=2×15°=30°，∴∠OBA=∠OEC=30°+15°=45°，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例6】（2024八年級(jí)下·海南儋州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，AB=CD=5，AG=4，CG=2BG，點(diǎn)P在AC上，E、F分別在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，連接

A．24 B．20 C．18 D．16【答案】C【分析】用勾股定理求出BG=3，由CG=2BG得到CG=2BG=6，則BC=BG+CG=9，設(shè)AP交EF于點(diǎn)O，證明四邊形ABCD是平行四邊形，則AD∥BC，AD=BC，可證△ABC≌△CDASSS，則S△ABC=S△ACD=12S【詳解】解：∵AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，∴∠AGB=90°，在RtAGB中，∠AGB=90°，AB=5，AG=4∴BG=A∵CG=2BG，∴CG=2BG=6，∴BC=BG+CG=3+6=9，設(shè)AP交EF于點(diǎn)O，

∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AC=AC，∴△ABC≌△CDASSS∴S△ABC∵PE∥BC，PF∥∴PE∥AF，PF∥AE，∴四邊形AEPF是平行四邊形，∴OA=OP,OE=OF，∵∠AOE=∠POF，∴△AOE≌△POFSAS∴S△AEO∴S陰影故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，且AM=6，BD=12，AD=45，則該平行四邊形的面積為

【答案】48【分析】如圖，過點(diǎn)D作DH∥AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．證明∠BDH=90°，進(jìn)而即可求解．【詳解】

∵AD∥MH，AM∥DH，∴四邊形ADHM是平行四邊形，∴AM=DH=6，AD=MH=45∵BM=CM=25，∴BH=65，∵BD=12，∴BD∴∠BDH=90°，∴S△BDH∴S△BCD∴SABCD故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，四邊形ADFE的面積為．

【答案】10【分析】過點(diǎn)A作AG⊥DF于G，過點(diǎn)C作CM垂直于FD的延長(zhǎng)線于M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BEF≌△BAC≌△FDC，然后得出△ABE，△ACD是等邊三角形，再證明四邊形AEFD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)A作AG⊥DF于G，過點(diǎn)C作CM垂直于FD的延長(zhǎng)線于M，如圖所示：

根據(jù)題意知，△BEF≌△BAC≌△FDC，∴BE=BA=FD，EF=AC=DC，∵∠ABE=60°，∠ACD=60°，∴△ABE，△ACD是等邊三角形，∴AE=AB，AC=AD，∴AE=DF，AD=EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE∥FD，∴AG=CM，∴S故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABE、△ACD是等邊三角形.【變式6-3】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點(diǎn)，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使PD=DE，連接CE、ME．

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形PAMB的面積為_________．【答案】(1)ME與BC的數(shù)量關(guān)系：ME=BC，位置關(guān)系：ME∥BC(2)2【分析】（1）連接AE和CP，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AP∥BM且AP=BM，再由PD=DE，D為AC邊中點(diǎn)可知四邊形AECP是平行四邊形，從而得到AP∥CE且AP=CE，繼而得到BM∥CE且BM=CE，四邊形BMEC是平行四邊形，從而得解；（2）連接BD，利用三角形的中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形求解即可．【詳解】（1）解：連接AE和CP，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴AP∥BM且AP=BM，又∵PD=DE，D為AC邊中點(diǎn)，即AD=CD，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE且AP=CE，∴BM∥CE且BM=CE，∴四邊形BMEC是平行四邊形，∴ME=BC且ME∥BC，即ME與BC的數(shù)量關(guān)系是：ME=BC，位置關(guān)系是：ME∥BC；（2）連接AE、BD，設(shè)PM與AB交于點(diǎn)O，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴O是PM和AB的中點(diǎn)，∴S△BOP∵M(jìn)為PD中點(diǎn)，∴S△BMP∴S△ABD∵D為AC邊中點(diǎn)，∴S△ABD∴S△ABC∵∠ABC=90°，AC=2BC=4，∴BC=2，∴AB=A∴S△ABC∴S?PAMB故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中線將這個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形等知識(shí)，正確作出有用的輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運(yùn)用】【例7】（2024八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個(gè)以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF=∠DAE，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，通過一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形使問題得到解決，請(qǐng)根據(jù)小谷的思路完成下面的作圖與填空．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，連接AF，(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△CFB中，∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFBASA∴AE=CF，③．∴180°?∠AED=180°?∠CFB，即∠AEF=∠CFE，∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE【分析】（1）以B點(diǎn)為圓心DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF即為所求；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對(duì)邊平行且相等即可證明．【詳解】（1）如圖：以B點(diǎn)為圓心DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)F，連接CF，則∠BCF即為所求

（2）如圖：連接CE，AF

∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC∴∠ADE=∠CBF在△AED與△CFB中∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFB∴AE=CF，∠AED=∠CFB∴180°?∠AED=180°?∠CFB即∠AEF=∠CFE∴AE∴四邊形AECF為平行四邊形故答案為：AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE∥【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2024八年級(jí)下·北京懷柔·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以三點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形”．

小懷的作法如下：①分別連接線段AB，②以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑，在BC上方作弧，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，在AB右側(cè)作弧，兩弧交于點(diǎn)D；③分別連接線段CD，DA．所以四邊形根據(jù)小懷的作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=_________，BC=__________，∴四邊形ABCD是平行四邊形（________________________）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見解析(2)CD，【分析】（1）根據(jù)作圖步驟，尺規(guī)作圖即可；（2）由作圖過程可得AB=CD，BC=AD，然后根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可解答．【詳解】（1）解：如圖：四邊形ABCD即為所求．

（2）解：證明：∵AB=CD，BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．故答案為：CD，【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖作平行線四邊形、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，理解平行四邊形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2024八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在?ABCD中，AB>BC，點(diǎn)E為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且△ADE為等邊三角形．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：以BC為邊在?ABCD內(nèi)作等邊△BCF．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)在（1）所作圖形中，連接CE、AF，猜想四邊形AFCE的形狀，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)平行四邊形，證明見解析【分析】（1）作∠BCG=∠ADE，在射線CG上截取CF=AB，則等邊△BCF即為所求（2）證明△CDE≌△ABF進(jìn)而可得CE=AF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AE=CF，進(jìn)而證明四邊形AFCE是平行四邊形．【詳解】（1）如圖所示，（2）如圖，連接CE、AF，四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下，∵△ADE，△BCF是等邊三角形∴AD=AE=DE,BC=FC=BF,∠FBC=60°,∠ADE=60°∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD=BC∴AE=CF，BF=DE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,∠ABC=∠ADC∴∠ABF=∠ABC?CBF=∠ABC?60°，∠CDE=∠ADC?∠ADE=∠ADC?60°∴∠ABF=∠CDE在△ABF和△CDE中AB=CD∴△CDE≌△ABF∴CE=AF∴四邊形AFCE是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了作三角形，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確的作圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2024八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：無刻度直尺作圖：“無刻度直尺”是尺規(guī)作圖的工具之一，它的作用在于連接任意兩點(diǎn)、作任意直線、延長(zhǎng)任意線段．結(jié)合圖形的性質(zhì)，只利用無刻度直尺也可以解決一些幾何作圖問題．如圖1，已知點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，分別以PA、PB為邊在AB的同側(cè)作△PAC與△PBD，其中CA=CP，DP=DB，∠ACP=∠PDB．求作：線段PC的中點(diǎn)E．按照常規(guī)思路，用尺規(guī)作線段PC的垂直平分線，垂足即為PC的中點(diǎn)．仔細(xì)分析圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，只用無刻度的直尺連接線段AD，AD與CP交點(diǎn)E即為PC的中點(diǎn)（如圖2）．證明：連接CD．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（依據(jù)1），∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180°?∠ACP……(1)【任務(wù)1】寫出上述證明過程中依據(jù)1的內(nèi)容：________．(2)【任務(wù)2】請(qǐng)補(bǔ)全證明過程．(3)【任務(wù)3】如圖，在平行四邊ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)．求作：△ABQ，使△ABQ的面積與平行四邊ABCD的面積相等．（要求：利用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．）【答案】(1)同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)“同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”判定即可．（2）根據(jù)已知易得四邊形ACDP是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求解；（3）連接AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，△ABQ即為所求．【詳解】（1）解：寫出上述證明過程中依據(jù)1的內(nèi)容：同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角．故答案為：同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角；（2）證明：連接CD，如圖2．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角）．∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180同理，∠DPB=180∵∠ACP=∠PDB，∴∠CAP=∠DPB，∴AC//∵P是AB的中點(diǎn)，∴AP=BP．在△CAP和△DPB中，∠ACP＝∴△CAP≌△DPBAAS∴AC=PD．∵AC//∴四邊形APDC是平行四邊形.∴CE=PE，∴E是PC的中點(diǎn)；（3）解：如圖，△ABQ即為所求【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【題型8坐標(biāo)系中的平行四邊形問題】【例8】（2024八年級(jí)下·天津西青·期中）如圖，在平面坐標(biāo)系中，直線l:y=kx+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A?32(1)求直線l的解析式；(2)若點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，且△ABC的面積是154，求點(diǎn)C(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=2x+3(2)(0,8)或(0,?2)(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(32,1)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,a)，則BC=a?3，根據(jù)△ABC的面積是15（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,?2)，再分①四邊形ABDC是平行四邊形，②四邊形ACBD是平行四邊形和③四邊形ABCD是平行四邊形三種情況，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?32,0,B解得k=2b=3則直線l的解析式為y=2x+3．（2）解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,a)，則BC=a?3∵A?∴OA=3∵△ABC的面積是154∴1解得a=8或a=?2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8)或(0,?2)．（3）解：∵在（2）的條件下，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，∴C(0,?2)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(m,n)，由題意，分以下三種情況：由①如圖，當(dāng)四邊形ABDC是平行四邊形時(shí)，∵平行四邊形ABDC的對(duì)角線互相平分，∴?32則此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3②如圖，當(dāng)四邊形ACBD是平行四邊形時(shí)，∴AD=BC=3?(?2)=5,AD∥BC，∴n=5，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即m=?3則此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?3③如圖，當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，∴AD=BC=3?(?2)=5,AD∥BC，∴n=?5，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即m=?3則此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?3綜上，存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(32,1)或(?【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2024八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖1，在ΔCEF中，CE=CF，∠ECF=90°，點(diǎn)A是∠ECF的平分線上一點(diǎn)，AG⊥CE于G，交FE的延長(zhǎng)線于B，AD⊥AE交CF的延長(zhǎng)線于D，連接BC．（1）直接寫出∠ABF的大?。唬?）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（3）建立如圖2所示的坐標(biāo)系，若BG=2，BC=29，直線AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，求直線l【答案】（1）∠ABF=45°；（2）見解析；（3）y=7【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)得出∠BEG=45°，則可得出結(jié)論；（2）連接AC，證明△BGC≌△EGA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCG=∠EAG，得出BC//AD，則可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)EA交直線l于點(diǎn)H，連接DE，作HI⊥x軸于點(diǎn)I，證得△EDH為等腰直角三角形，得出∠EDH=90°，ED=DH，證明△CED≌△IDH（AAS），得出CE=ID=3，CD=IH=7，求出H(10，7)，設(shè)直線l的表達(dá)式為：y=kx+b，求出k，b，則得出直線l的表達(dá)式為y=7【詳解】（1）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CEF=45°，∴∠BEG=45°，∵AG⊥CE，∴∠AGC=90°，∴∠ABF=45°；（2）∵AG⊥CG，∴∠AGC=90°，∵∠ECF=90°，∴∠AGC+∠ECF=180°，∴AB//CD．連接AC，∵點(diǎn)A是∠ECF的平分線上一點(diǎn)，∴∠GCA=∠GAC=45°，∴CG=AG．又∵CE=CF．∴∠CEF=∠CFE=45°，∴∠BEG=∠GBE=45°，∴BG=EG．在ΔBGC和ΔEGA中BG=EG∠BGC=∠EGA=90°∴ΔBGC≌ΔEGA(SAS∴∠BCG=∠EAG，∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠EAG=90°，∴∠CBG+∠BAD=∠CBG+∠EAG+∠EAD=180°，∴BC//AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（3）延長(zhǎng)EA交直線l于點(diǎn)H，再連接DE，作HI⊥x軸于點(diǎn)I，∵在RtΔBGC中，BG=2，BC=∴由勾股定理得，CG=B∴CE=CF=5?2=3．∵ΔBGC≌ΔEGA，四邊形ABCD是平行四邊形，∴CG=GA，BC=EA，∴CD=AB=2+5=7，又∵EA⊥AD，∴∠EDA=