平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（華東師大版）（解析版） 八年級數(shù)學(xué)下冊

專題18.5平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為平行四邊形】 1【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】 5【題型3平行四邊形的證明】 9【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長】 15【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 20【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 24【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運用】 29【題型8坐標系中的平行四邊形問題】 36【題型1添加條件使成為平行四邊形】【例1】（2024八年級下·山東臨沂·期中）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上一點，連接BE交CD于點F，連接CE，BD．添加下列一個條件后，仍不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠DCE B．∠AEC=∠CBD C．EF=BF D．∠AEB=∠BCD【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定及三角形全等逐個分析即可．【詳解】解：選項A：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD∥CE，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項A不符合題意；選項B：∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項B不符合題意，選項C：∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，在△DEF與△CBF中，∠DEF＝∠CBF，∠DFE＝∠CFB，EF＝BF，∴△DEF≌△CBF（ASA），∴DF=CF，∵EF=BF，∴四邊形BCED為平行四邊形，故選項C不符合題意；選項D：∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四邊形BCED為平行四邊形；故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024八年級下·福建福州·期中）如圖，E，F(xiàn)是□ABCD對角線BD上的兩點，請你添加一個適當?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形．

【答案】BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【分析】用反推法，假如四邊形是平行四邊形，會推出什么結(jié)果，這結(jié)果就是要添加的條件．【詳解】解：使四邊形AECF是平行四邊形．就要使AE∥CF，AE=CF，就要使△AEB?△CFD，而在平行四邊形中已有AB=CD，∠ABE=∠CDF，再加一個BE=DF或BF=DE可用SAS證△AEB?△CFD，或∠BAE=∠DCF用ASA證△AEB?△CFD．故答案為：BE=DF或BF=DE或∠BAE=∠DCF．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，本題是開放題，答案不唯一，可以針對各種特殊的平行四邊形的判定方法，給出條件，本題主要是通過給出證明△AEB?△CFD的條件來得到AE∥CF，AE=CF，根據(jù)四邊形中一組對邊平行且相等就可證明為是平行四邊形．【變式1-2】（2024八年級下·山東青島·期中）下列條件中，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，AD∥BCC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C【分析】本題考查平行四邊形判定．根據(jù)題意逐一對選項進行分析即可得到本題答案．【詳解】解：∵AB∥CD，AB=CD，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故A選項不符合題意；∵AB∥CD，AD∥BC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故B選項不符合題意；∵AB=AD，BC=CD，不可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故C選項符合題意；∵AB=CD，AD=BC，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判定出四邊形ABCD為平行四邊形，故D選項不符合題意；故選：C．【變式1-3】（2024八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)是對角線BD上兩個不同點．連接AE，AF，CE，CF，添加一個條件使得四邊形AFCE是平行四邊形．

(1)請在以下選項中選擇所有符合條件的選項，將其序號填寫在下方橫線上．①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足；②BE=DF；③AE=CF；④AE∥(2)選擇其中一個條件，寫出證明過程：我選擇________，證明過程如下：【答案】(1)①②④(2)①（答案不唯一），見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定解答即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定解答即可．【詳解】（1）解：填①②④的任意一個都正確；故答案為：①②④；（2）解：選擇①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足；證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE與△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF(AAS∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．選擇②BE=DF，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形．選擇④AE∥證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠ABE=∠CDF，∵AE∥∴∠AEB=∠CFD，在△ABE與△CDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF(SAS∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】【例2】（2024八年級下·河北滄州·期中）如圖，E為平行四邊形ABCD邊BC上一點，F(xiàn)，G分別為DE，AE的中點，若△DCE與△ABE的面積之和為6，則四邊形DAGF的面積是．【答案】4.5【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可知S△ADE=12S□ABCD，結(jié)合S△DCE+S△ABE=6，SADE+S△DCE+S△ABE=【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴S△ADE又∵S△DCE+S∴S△ADE連接DG，∵F、G分別為DE、AE的中點，∴S△ADG=S∴四邊形DAGF的面積=S故答案為：4.5．【變式2-1】（2024八年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，將△ECD沿直線ED翻折至平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC′D，連結(jié)DC′，并延長DC′，BA交于點F，若CD=【答案】22+1【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的折疊問題，延長DE交AB延長線于G，根據(jù)△ECD折疊得到△EC′D得到∠CDE=∠C′DE，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到【詳解】解：延長DE交AB延長線于G，∵△ECD折疊得到△EC∴∠CDE=∠C∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=2，AF=1∴AB=2，AB∥CD∴∠G=∠CDE，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在△GEB與△DEC中，∠GEB=∠DEC∠G=∠CDE∴△GEB≌△DEC(AAS∴BG=CD=2∵∠C∴FD=FG=2【變式2-2】（2024八年級下·浙江湖州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D是△ABC所在平面內(nèi)一點，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)此平行四邊形的對角線交點為O，則BO的長為【答案】2或1或5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，運用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．分三種情況討論：①BC為邊，AB是對角線；②AB，BC為邊，③AB，AC為邊，作出圖形，分別由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理可求BO的長．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2∴AB=2①如圖，若BC，AC為邊，AB是對角線，∵四邊形ACBD1是平行四邊形，且∠ACB=90°，∴BO=BO②若AB，AC為邊，BC為對角線，∵四邊形ABD∴BO=BO③若AB，BC為邊，AC為對角線，∵ABCD∴CO∴BO=BO故答案為：2或1或5．【變式2-3】（2024八年級下·重慶北碚·開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出∠BEA=∠BAE，根據(jù)等腰三角形的判定得出AB=EB，分兩種情況討論：當EB=5，EC=4時，當EB=4，EC=5時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)∠BAD的平分線交BC于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥∴∠BEA=∠DAE，∵∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴AB=EB，當EB=5，EC=4時，如圖1，則AB=EB=5，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×5+2×9=28；當EB=4，EC=5時，如圖2，則AB=EB=4，BC=EB+EC=9，∴2AB+2BC=2×4+2×9=26，∴平行四邊形ABCD的周長為26或28，故選：B．【題型3平行四邊形的證明】【例3】（2024八年級下·寧夏石嘴山·期中）在△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點D恰好落在BC邊的延長線上．(1)求證：AE∥(2)連接CE，判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形ABCE是平行四邊形，理由見解析．【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)．(1)由于△ABC和△ADE都是等腰三角形，易求得∠B=∠BAC=∠BDA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得所求的兩條線段所在直線的內(nèi)錯角相等，由此得證；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知：AC=AE=BC，且已證得AE∥BD，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可判定四邊形【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠BAC=∠DAE，AB=AD，∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵AB=AD，∴∠B=∠BDA，∴∠DAE=∠BDA，∴AE∥（2）四邊形ABCE是平行四邊形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，又∵AE∥∴四邊形ABCE是平行四邊形．【變式3-1】（2024八年級下·吉林長春·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO=CO，點E在BD上，滿足∠DAO=∠ECO．

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；(2)若AB=BC，若CD=10，AC=16，則DE=______．【答案】(1)證明見解析(2)12【分析】（1）通過證明△AOD≌△COE，得到DO=EO，再結(jié)合AO=CO即可利用對角線互相平分證明平行四邊形．（2）根據(jù)AB=BC和AO=CO證明DB⊥AC，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：在△AOD和△COE中，∠DAO=∠ECOAO=CO∴△AOD≌△COEASA∴DO=EO，又AO=CO，∴四邊形AECD是平行四邊形．（2）解：∵AB=BC，AO=CO，AC=16，∴DB⊥AC，CO=8，∵CD=10，由勾股定理得：DO=C∴DE=2DO=12，故答案為：12．【點睛】本題考查平行四邊形的證明，勾股定理，等腰三角形“三線合一”，掌握平行四邊形的證明方法以及找到合適的全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2024八年級下·江西南昌·期中）如圖，點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，過點O的直線交AD,BC于P,Q兩點，交BA，DC的延長線于M,N兩點．

(1)求證：AP=CQ；(2)連接DM,BN，求證：四邊形BNDM是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AC，證明△AOE≌△COFAAS，得到AM=CN，再證明△PAM≌△QCN（2）連接DM,BN，根據(jù)AB=CD,AM=CN，得到BM=DN，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,OA=OC，AD∥BC，∴∠M=∠N，在△AOM和△CON中，∠M=∠N∠AOM=∠CON∴△AOM≌△CONAAS∴OM=ON,AM=CN，∵AB∥CD，∴∠B=∠NCQ，∵AD∥BC，∴∠B=∠MAP，∴∠MAP=∠NCQ，在△PAM與△QCN中，∠M=∠NAM=CN∴△PAM≌△QCNASA∴AP=CQ；（2）連接DM,BN，

∵AB∥CD,AB=CD,AM=CN，∴BM=DN，∴四邊形BNDM是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等．【變式3-3】（2024八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）在△ABC中，AD⊥BC于點D，E是AB的中點，F(xiàn)是AD上一點，過點D作DG∥AB交的EF延長線于點G，且FG=EF．

圖1

圖2(1)如圖1，求證：四邊形BDGE是平行四邊形；(2)如圖2，連接BF，若AC=BF，AD=BD，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度與AF長度相等的所有線段（不包括線段AF）．【答案】(1)見詳解(2)DF、EF、FG、CD【分析】（1）證△AEF≌△DGF(ASA)，得AE=DG，再證（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=DF，EG∥BC，再證△ABD和△AEF是等腰直角三角形，得EF=AF，則FG=AF，然后證Rt△ADC≌Rt△BDF(【詳解】（1）證明：∵DG∥AB，∴∠AEF=∠G，在△AEF和△DGF中，∠AEF=∠GEF=GF∴△AEF≌△DGF(ASA∴AE=DG，∵E是AB的中點，∴AE=BE，∴BE=DG，又∵DG∥BE，∴四邊形BDGE是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，△AEF≌△DGF，四邊形BDGE是平行四邊形，∴AF=DF，EG∥BC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，EG⊥AD，∵AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AF，∵FG=EF，∴FG=AF，在Rt△ADC和RtAC=BFAD=BD∴Rt∴CD=DF=AF，∴圖2中長度與AF長度相等的所有線段為DF、EF、FG、CD．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長】【例4】（2024八年級下·新疆喀什·期中）如圖，AD∥BC，∠B=60°，BA=AD=DC=1，則BC的長為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】過點A作AE∥CD交BC于點E，又由AD∥BC，得到四邊形ADCE是平行四邊形，從而EC=AD=1，AE=DC=1，又AB=DC，得到AB=AE，再∠B=60°，得到△ABE是等邊三角形，因此【詳解】解：過點A作AE∥CD交BC于點

∵AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴EC=AD=1，AE=DC=1，∵AB=DC=1，∴AB=AE，∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=1，∴BC=BE+EC=1+1=2．故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2024八年級下·廣東深圳·期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長交BE于點P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長為（）A．5 B．26 C．25 D．32【答案】D【分析】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，先證∠DHC=90o，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結(jié)果．【詳解】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60o，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60o，∵DH⊥BC，

∴∠DHC=90o，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=12CD=32，DH=∴BD∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴BE∴BE=32故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些性質(zhì)解決問題．【變式4-2】（2024八年級下·河北廊坊·期中）如圖，在?ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，EF=1cm，那么對角線BDA．1cm B．2cm C．23【答案】D【分析】先連接DE；然后利用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：連接DE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∵DF＝12CD，AE＝12∴DF平行且等于AE，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴EF＝AD＝1cm，∵AB＝2AD，∴AB＝2cm，∵AB＝2AD，AB＝2AE，∴AD＝AE，∴∠1＝∠4，∵∠A＝60°，∠1＋∠4＋∠A＝180°，∴∠1＝∠A＝∠4＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AE，∵AE＝BE，∴DE＝BE，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2＋∠3，∠1＝60°，∴∠2＝∠3＝30°，∴∠ADB＝∠3＋∠4＝90°，∴BD=A故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，比較復(fù)雜，綜合性較強，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，用平行四邊形及等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)解答．【變式4-3】（2024八年級下·福建福州·期中）如圖，在?ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，則BD的長為（

）A．6 B．61 C．12 D．2【答案】D【分析】過點D作DE⊥BC，交BC延長線于E，先由平行四邊形性質(zhì)得BC=5，再由勾股定理求出AC=12，然后證四邊形ACED是平行四邊形，得CE=AD=5，DE=AC=12，然后再由勾股定理求解即可【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥BC，交BC延長線于E，∵?ABCD，∴BC=AD=5，AD∥BC，∵AC⊥BC∴∠ACB=90°，由勾股定理，得AC=AB∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=5，DE=AC=12，∴BE=BC+CE=10，∵DE⊥BC，∴由勾股定理，得BD=BE故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，點D作DE⊥BC，交BC延長線于E，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例5】（2024八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，AC=BC，以點B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A′BC′，點A′恰好落在AC上，連接A．110° B．100° C．90° D．70°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，可得∠A′B【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∠A′BC′=∠ABC，∴∠A=∠BA∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，AC=BC∴∠A∴AC∥BC∴四邊形ABC∴∠ACC′+∠A=180°故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-1】（2024八年級下·北京東城·期中）在?ABCD中，BC=2AB，若E為BC的中點，則∠AED=．【答案】90°【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四邊形AFEB，推出AF＝DF＝EF，然后推出∠AEB=∠AEF，∠FED=∠CED，由此即可求解．【詳解】解：取AD的中點F，連接EF，∵平行四邊形ABCD，BC＝2AB，E為BC的中點，∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，∴AB＝BE＝AF＝DF，∴AF＝BE，AF∥BE，∴∠EAF=∠AEB，四邊形AFEB是平行四邊形，∴EF＝AB＝AF＝DF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠AEB=∠AEF，同理可得∠FED=∠CED，∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，∴∠AEF+∠FED=∠AED=90°故答案為：90°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，能求出AF＝DF＝EF是解此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC=68°，△DBE由△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得，若點C在DE上，連接AE，則∠EAC=°．【答案】24【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角的性質(zhì)證明DE∥BA和DE=AB，即可得到四邊形ABDE為平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到【詳解】解：∵AB=AC，△DBE由△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得，∴∠D=∠ACB=∠ABC=68°，∴∠BCD=∠D=68°，∴∠ECA=180°?∠D?∠BCA=180°?68°?68°=44°，∵AB=AC，∴∠DEB=∠CAB=180°?∠ACB?∠ABC=180°?68°?68°=44°，∵∠CFE=∠AFB，∴∠DEB=∠CAB=∠ACE=∠ABE=44°，∴DE∥∵△DBE由△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)所得且AB=AC，∴DE=BE=AB=AC，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴∠EAB=∠D=68°，又∵∠CAB=44°，∴∠EAC=∠EAB?∠CAB=68°?44°=24°，故答案為：24．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)、平行線的判定和平行四邊形的判定和性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024八年級下·河北唐山·期中）已知如圖，直線CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分（1）若平行移動AB，那么∠OBC:∠OFC的值是；（2）在平行移動AB的過程中，當∠COE=（度）時，∠OEC=∠OBA．【答案】1:215【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，從而得出答案，（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA，又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，∴∠OBC：∠OFC=∠AOB：∠FOA=∠AOB：2∠AOB=1：2，故答案為：1：2；（2）當∠COE=15°時，∠OEC=∠OBA．∵CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，∴∠AOC=∠ABC=60°，∴四邊形AOCB為平行四邊形，∴∠OEC=∠EOB+∠AOB，∠OBA=∠BOC=∠COE+∠EOB，又∵∠OEC=∠OBA，∴∠AOB=∠COE，∴∠COE=∠EOF=∠FOB=∠AOB=60°÷4=15°，∴∠EOB=2×15°=30°，∴∠OBA=∠OEC=30°+15°=45°，故答案為：15．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例6】（2024八年級下·海南儋州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AG⊥BC交BC于點G，AB=CD=5，AG=4，CG=2BG，點P在AC上，E、F分別在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，連接

A．24 B．20 C．18 D．16【答案】C【分析】用勾股定理求出BG=3，由CG=2BG得到CG=2BG=6，則BC=BG+CG=9，設(shè)AP交EF于點O，證明四邊形ABCD是平行四邊形，則AD∥BC，AD=BC，可證△ABC≌△CDASSS，則S△ABC=S△ACD=12S【詳解】解：∵AG⊥BC交BC于點G，∴∠AGB=90°，在RtAGB中，∠AGB=90°，AB=5，AG=4∴BG=A∵CG=2BG，∴CG=2BG=6，∴BC=BG+CG=3+6=9，設(shè)AP交EF于點O，

∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵AC=AC，∴△ABC≌△CDASSS∴S△ABC∵PE∥BC，PF∥∴PE∥AF，PF∥AE，∴四邊形AEPF是平行四邊形，∴OA=OP,OE=OF，∵∠AOE=∠POF，∴△AOE≌△POFSAS∴S△AEO∴S陰影故選：C【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024八年級下·福建福州·期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點M是BC的中點，且AM=6，BD=12，AD=45，則該平行四邊形的面積為

【答案】48【分析】如圖，過點D作DH∥AM交BC的延長線于點H．證明∠BDH=90°，進而即可求解．【詳解】

∵AD∥MH，AM∥DH，∴四邊形ADHM是平行四邊形，∴AM=DH=6，AD=MH=45∵BM=CM=25，∴BH=65，∵BD=12，∴BD∴∠BDH=90°，∴S△BDH∴S△BCD∴SABCD故答案為：48．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024八年級下·山東濟南·期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當∠BAC=120°時，四邊形ADFE的面積為．

【答案】10【分析】過點A作AG⊥DF于G，過點C作CM垂直于FD的延長線于M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BEF≌△BAC≌△FDC，然后得出△ABE，△ACD是等邊三角形，再證明四邊形AEFD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積得出結(jié)論．【詳解】解：過點A作AG⊥DF于G，過點C作CM垂直于FD的延長線于M，如圖所示：

根據(jù)題意知，△BEF≌△BAC≌△FDC，∴BE=BA=FD，EF=AC=DC，∵∠ABE=60°，∠ACD=60°，∴△ABE，△ACD是等邊三角形，∴AE=AB，AC=AD，∴AE=DF，AD=EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE∥FD，∴AG=CM，∴S故答案為：10．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABE、△ACD是等邊三角形.【變式6-3】（2024八年級下·吉林長春·期中）如圖①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長到點E，使PD=DE，連接CE、ME．

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當點P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點時，平行四邊形PAMB的面積為_________．【答案】(1)ME與BC的數(shù)量關(guān)系：ME=BC，位置關(guān)系：ME∥BC(2)2【分析】（1）連接AE和CP，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AP∥BM且AP=BM，再由PD=DE，D為AC邊中點可知四邊形AECP是平行四邊形，從而得到AP∥CE且AP=CE，繼而得到BM∥CE且BM=CE，四邊形BMEC是平行四邊形，從而得解；（2）連接BD，利用三角形的中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形求解即可．【詳解】（1）解：連接AE和CP，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴AP∥BM且AP=BM，又∵PD=DE，D為AC邊中點，即AD=CD，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE且AP=CE，∴BM∥CE且BM=CE，∴四邊形BMEC是平行四邊形，∴ME=BC且ME∥BC，即ME與BC的數(shù)量關(guān)系是：ME=BC，位置關(guān)系是：ME∥BC；（2）連接AE、BD，設(shè)PM與AB交于點O，

∵四邊形PAMB是平行四邊形，∴O是PM和AB的中點，∴S△BOP∵M為PD中點，∴S△BMP∴S△ABD∵D為AC邊中點，∴S△ABD∴S△ABC∵∠ABC=90°，AC=2BC=4，∴BC=2，∴AB=A∴S△ABC∴S?PAMB故答案為：23【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形等知識，正確作出有用的輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運用】【例7】（2024八年級下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在對角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF=∠DAE，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形使問題得到解決，請根據(jù)小谷的思路完成下面的作圖與填空．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對角線BD交于點F，連接AF，(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△CFB中，∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFBASA∴AE=CF，③．∴180°?∠AED=180°?∠CFB，即∠AEF=∠CFE，∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE【分析】（1）以B點為圓心DE長為半徑畫弧，交BD于點F，連接CF，則∠BCF即為所求；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對邊平行且相等即可證明．【詳解】（1）如圖：以B點為圓心DE長為半徑畫弧，交BD于點F，連接CF，則∠BCF即為所求

（2）如圖：連接CE，AF

∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC∴∠ADE=∠CBF在△AED與△CFB中∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFB∴AE=CF，∠AED=∠CFB∴180°?∠AED=180°?∠CFB即∠AEF=∠CFE∴AE∴四邊形AECF為平行四邊形故答案為：AD=BC，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AE∥【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2024八年級下·北京懷柔·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以三點A，B，C為頂點的平行四邊形”．

小懷的作法如下：①分別連接線段AB，②以點A為圓心，BC長為半徑，在BC上方作弧，以點C為圓心，AB長為半徑，在AB右側(cè)作弧，兩弧交于點D；③分別連接線段CD，DA．所以四邊形根據(jù)小懷的作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=_________，BC=__________，∴四邊形ABCD是平行四邊形（________________________）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見解析(2)CD，【分析】（1）根據(jù)作圖步驟，尺規(guī)作圖即可；（2）由作圖過程可得AB=CD，BC=AD，然后根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可解答．【詳解】（1）解：如圖：四邊形ABCD即為所求．

（2）解：證明：∵AB=CD，BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．故答案為：CD，【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖作平行線四邊形、平行四邊形的判定等知識點，理解平行四邊形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2024八年級下·重慶·期中）如圖，在?ABCD中，AB>BC，點E為?ABCD內(nèi)一點，且△ADE為等邊三角形．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：以BC為邊在?ABCD內(nèi)作等邊△BCF．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)在（1）所作圖形中，連接CE、AF，猜想四邊形AFCE的形狀，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)平行四邊形，證明見解析【分析】（1）作∠BCG=∠ADE，在射線CG上截取CF=AB，則等邊△BCF即為所求（2）證明△CDE≌△ABF進而可得CE=AF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AE=CF，進而證明四邊形AFCE是平行四邊形．【詳解】（1）如圖所示，（2）如圖，連接CE、AF，四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下，∵△ADE，△BCF是等邊三角形∴AD=AE=DE,BC=FC=BF,∠FBC=60°,∠ADE=60°∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD=BC∴AE=CF，BF=DE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,∠ABC=∠ADC∴∠ABF=∠ABC?CBF=∠ABC?60°，∠CDE=∠ADC?∠ADE=∠ADC?60°∴∠ABF=∠CDE在△ABF和△CDE中AB=CD∴△CDE≌△ABF∴CE=AF∴四邊形AFCE是平行四邊形【點睛】本題考查了作三角形，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確的作圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2024八年級下·山西運城·期中）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：無刻度直尺作圖：“無刻度直尺”是尺規(guī)作圖的工具之一，它的作用在于連接任意兩點、作任意直線、延長任意線段．結(jié)合圖形的性質(zhì)，只利用無刻度直尺也可以解決一些幾何作圖問題．如圖1，已知點P是線段AB的中點，分別以PA、PB為邊在AB的同側(cè)作△PAC與△PBD，其中CA=CP，DP=DB，∠ACP=∠PDB．求作：線段PC的中點E．按照常規(guī)思路，用尺規(guī)作線段PC的垂直平分線，垂足即為PC的中點．仔細分析圖形，你會發(fā)現(xiàn)，只用無刻度的直尺連接線段AD，AD與CP交點E即為PC的中點（如圖2）．證明：連接CD．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（依據(jù)1），∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180°?∠ACP……(1)【任務(wù)1】寫出上述證明過程中依據(jù)1的內(nèi)容：________．(2)【任務(wù)2】請補全證明過程．(3)【任務(wù)3】如圖，在平行四邊ABCD中，點E是CD邊的中點．求作：△ABQ，使△ABQ的面積與平行四邊ABCD的面積相等．（要求：利用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．）【答案】(1)同一個三角形中，等邊對等角(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)“同一個三角形中，等邊對等角”判定即可．（2）根據(jù)已知易得四邊形ACDP是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)求解；（3）連接AE，延長AE交BC的延長線于點Q，△ABQ即為所求．【詳解】（1）解：寫出上述證明過程中依據(jù)1的內(nèi)容：同一個三角形中，等邊對等角．故答案為：同一個三角形中，等邊對等角；（2）證明：連接CD，如圖2．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（同一個三角形中，等邊對等角）．∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180同理，∠DPB=180∵∠ACP=∠PDB，∴∠CAP=∠DPB，∴AC//∵P是AB的中點，∴AP=BP．在△CAP和△DPB中，∠ACP＝∴△CAP≌△DPBAAS∴AC=PD．∵AC//∴四邊形APDC是平行四邊形.∴CE=PE，∴E是PC的中點；（3）解：如圖，△ABQ即為所求【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【題型8坐標系中的平行四邊形問題】【例8】（2024八年級下·天津西青·期中）如圖，在平面坐標系中，直線l:y=kx+b分別與x軸，y軸交于點A?32(1)求直線l的解析式；(2)若點C是y軸上一點，且△ABC的面積是154，求點C(3)在（2）的條件下，當點C在y軸負半軸時，在平面內(nèi)是否存在點D，使以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=2x+3(2)(0,8)或(0,?2)(3)存在，點D的坐標為(32,1)或【分析】（1）根據(jù)點A,B的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；（2）設(shè)點C的坐標為C(0,a)，則BC=a?3，根據(jù)△ABC的面積是15（3）先求出點C的坐標為C(0,?2)，再分①四邊形ABDC是平行四邊形，②四邊形ACBD是平行四邊形和③四邊形ABCD是平行四邊形三種情況，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：將點A?32,0,B解得k=2b=3則直線l的解析式為y=2x+3．（2）解：設(shè)點C的坐標為C(0,a)，則BC=a?3∵A?∴OA=3∵△ABC的面積是154∴1解得a=8或a=?2，則點C的坐標為(0,8)或(0,?2)．（3）解：∵在（2）的條件下，點C在y軸負半軸上，∴C(0,?2)，設(shè)點D的坐標為D(m,n)，由題意，分以下三種情況：由①如圖，當四邊形ABDC是平行四邊形時，∵平行四邊形ABDC的對角線互相平分，∴?32則此時點D的坐標為(3②如圖，當四邊形ACBD是平行四邊形時，∴AD=BC=3?(?2)=5,AD∥BC，∴n=5，點D的橫坐標與點A的橫坐標相同，即m=?3則此時點D的坐標為(?3③如圖，當四邊形ABCD是平行四邊形時，∴AD=BC=3?(?2)=5,AD∥BC，∴n=?5，點D的橫坐標與點A的橫坐標相同，即m=?3則此時點D的坐標為(?3綜上，存在，點D的坐標為(32,1)或(?【點睛】本題考查了一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2024八年級下·廣東佛山·期中）如圖1，在ΔCEF中，CE=CF，∠ECF=90°，點A是∠ECF的平分線上一點，AG⊥CE于G，交FE的延長線于B，AD⊥AE交CF的延長線于D，連接BC．（1）直接寫出∠ABF的大小；（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（3）建立如圖2所示的坐標系，若BG=2，BC=29，直線AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，求直線l【答案】（1）∠ABF=45°；（2）見解析；（3）y=7【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)得出∠BEG=45°，則可得出結(jié)論；（2）連接AC，證明△BGC≌△EGA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCG=∠EAG，得出BC//AD，則可得出結(jié)論；（3）延長EA交直線l于點H，連接DE，作HI⊥x軸于點I，證得△EDH為等腰直角三角形，得出∠EDH=90°，ED=DH，證明△CED≌△IDH（AAS），得出CE=ID=3，CD=IH=7，求出H(10，7)，設(shè)直線l的表達式為：y=kx+b，求出k，b，則得出直線l的表達式為y=7【詳解】（1）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CEF=45°，∴∠BEG=45°，∵AG⊥CE，∴∠AGC=90°，∴∠ABF=45°；（2）∵AG⊥CG，∴∠AGC=90°，∵∠ECF=90°，∴∠AGC+∠ECF=180°，∴AB//CD．連接AC，∵點A是∠ECF的平分線上一點，∴∠GCA=∠GAC=45°，∴CG=AG．又∵CE=CF．∴∠CEF=∠CFE=45°，∴∠BEG=∠GBE=45°，∴BG=EG．在ΔBGC和ΔEGA中BG=EG∠BGC=∠EGA=90°∴ΔBGC≌ΔEGA(SAS∴∠BCG=∠EAG，∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠EAG=90°，∴∠CBG+∠BAD=∠CBG+∠EAG+∠EAD=180°，∴BC//AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（3）延長EA交直線l于點H，再連接DE，作HI⊥x軸于點I，∵在RtΔBGC中，BG=2，BC=∴由勾股定理得，CG=B∴CE=CF=5?2=3．∵ΔBGC≌ΔEGA，四邊形ABCD是平行四邊形，∴CG=GA，BC=EA，∴CD=AB=2+5=7，又∵EA⊥AD，∴∠EDA=