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文檔簡介
龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試卷
注意事項:
1.本試卷共6頁,22小題,滿分150分,考試用時120分鐘.
2.答題前,請將學(xué)校、班級、姓名和考號用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上,并將條形碼
粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.
3.本卷試題,考生必須在答題卡上按規(guī)定作答;凡在試卷、草稿紙上作答的,其答案一律無
效.答題卡必須保持清潔,不能折疊.
4.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,
如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案;非選擇題答案必須用規(guī)定的筆,按作答題目的
序號,寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).
5.考試結(jié)束,請將答題卡交回.
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有
一項是符合題目要求的.
1.化簡sin420。的值是()
A一立B.--C.|D.立
2222
2設(shè)集合M={x[0<x<4},N="尤-<%<5^則AfcN=()
3
A.<x0<^<—>B.<x—<x<4>
3:3
C.{x4Kxv5}D.1x|0<x<5}
3.當(dāng)〃>1時,在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=與y=log“x的圖像是()
k:
OUlXC
9
4.已知命題“VxwR,/+(〃一2)%+—>0”是真命題,則實數(shù)〃的取值范圍是()
4
A.(―8,—1)B.(—5,1)C.(―5,+oo)D.(—1,5)
5.“85。>0且5由2。<0”是“。為第四象限角”的()
A.充要條件B.必要不充分條件
C,充分不必要條件D.既不充分也不必要條件
6.已知“x)=%5+加+陵+3且/(—2)=5,則/'(2)的值是()
A.-3B.-1C.1D.3
7.已知角e終邊上有一點(cos1—sinl,cos1+sin1),則。=()
5兀19兀9〃
A.-+1B.----1C.—D.----1
4444
3\x<0
8.設(shè)函數(shù)〃%對任意給定me(l,+co),都存在唯一的XGR,使得
log3x,x>Q
=+2a〃z-3(a>0)成立,則a的最小值是()
13
A.=B.1C.-D.2
22
二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符
合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知a,b,c為實數(shù),則下列命題中正確的是()
ab
A.若一^<―^,則a</?B.若ac>be,貝!
cc
C.若匕,c>d,則a+c>〃+dD.若Q〈Z?VO,則一>;
ab
10.在中,下列等式恒成立的是()
A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0
,A+BB+C
sin-----cos—
C.-----A=1D.
cos——cos—
22
TT
11.0<a</3<-ftanc和tan/是方程f—5+2=0的兩個根,則下列結(jié)論正確的是()
Atana+tan[3-mB.tan(?+/7)>0
m>2^2D.m+tancif>4
2
—,x<0
12.設(shè)y(x)Tx,則下列選項中正確的有()
(x-l)',x>0
A.丁=/(力與了=。,。€區(qū)的圖象有兩個交點,則ae(l,+co)
B.方程/(X)-機=0有三個實數(shù)根,則相?0,1]
C.21的解集是[2,包)
D.0</(/(x))<l的解集是(―s,T]U[0,行+1]
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.函數(shù)/(x)=JH+lnx的定義域是.
14.如圖1,折扇又名“撒扇”“紙扇”,是一種用竹木或象牙做扇骨,朝紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子,其
展開的平面圖如圖2的扇形A08,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,則扇面(曲邊四邊形ABOC)的
3
15.設(shè)a=log30-3力=log|0.2,c=0.2°-3,則mb>。的大小關(guān)系為.
3
JT
16.對任意]《鼠恒有/(1一%)=/(1+1)=/(%-1),對任意6c0,—,/(sm6))=cos20,現(xiàn)已知
函數(shù)丁=/(尤)的圖像與丁="有4個不同的公共點,則正實數(shù)上的值為.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.己知集合4={,-3<%<2},集合_8={乂1一w<x<3祖-1}.
(1)當(dāng)m=3時,求(。4)仆2;
(2)若A。3,求實數(shù),"的取值范圍.
18.函數(shù)/(%)=Acos(ftW+0)(其中A>O,0>O,M<])部分圖象如圖所示,先把函數(shù)/(九)的圖象上
的各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變),把得到的曲線向左平移四個單位長度,再向上平移1個單
24
位,得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)g(x)圖象的對稱中心;
(2)當(dāng)xe時,求g(x)的值域.
OO
19.已知函數(shù)/(力=簽,是定義在(—1,1)上的奇函數(shù),且/=
(1)求函數(shù)/(%)的解析式;
(2)判斷函數(shù)/(%)在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)解關(guān)于.的不等式:++
兀
20.已知函數(shù)/(%)=sin(2%—)-cos2x,xeR.
6
⑴求函數(shù)“X)的最小正周期;
(2)求函數(shù)八%)的對稱軸方程;
(3)求函數(shù)"%)在[0,會上的單調(diào)區(qū)間.
21.黨的二十大報告指出:必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力.科技興則民族
興,科技強則國家強.2023年9月,華為Mate60系列的發(fā)布再次引發(fā)了廣泛關(guān)注,它不僅展示了中國科技產(chǎn)
業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展,更體現(xiàn)了中國人民自主創(chuàng)新、頑強不屈的精神.某芯片企業(yè)原有400名技術(shù)人員,年
人均投入。萬元(?!?),現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入,該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員,
其中技術(shù)人員x名,調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加(4司%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為機
萬元.
(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入,求調(diào)整后的研發(fā)人員
的人數(shù)最少為多少人?
(2)為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性,企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下
三個條件:①技術(shù)人員不少于100人,不多于275人;②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總
投入;③技術(shù)人員的年人均投入始終不減少.請問是否存在這樣的實數(shù)滿足以上兩個條件,若存在,
求出機的范圍;若不存在,說明理由.
22.已知函數(shù)/(x)=9,—2?3A+m(m>0).
(1)當(dāng)加=1時,求不等式27的解集;
⑵若%>占>0且石馬=加2,試比較尤J與/(九2)的大小關(guān)系;
⑶令g(x)=/(£)+/(—x),若y=g(x)在R上的最小值為-11,求相的值.
龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試卷
注意事項:
1.本試卷共6頁,22小題,滿分150分,考試用時120分鐘.
2.答題前,請將學(xué)校、班級、姓名和考號用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上,并將條形碼
粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請保持條形碼整潔、不污損.
3.本卷試題,考生必須在答題卡上按規(guī)定作答;凡在試卷、草稿紙上作答的,其答案一律無
效.答題卡必須保持清潔,不能折疊.
4.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,
如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案;非選擇題答案必須用規(guī)定的筆,按作答題目的
序號,寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).
5.考試結(jié)束,請將答題卡交回.
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有
一項是符合題目要求的.
1.化簡sin420。的值是()
【答案】D
【解析】
【分析】用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)求解.
【詳解1sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=.
故選:D
2.設(shè)集合M={x[0<x<4},N=<x,則AfcN=()
A.<xQ<x<—>B.<x—<x<4>
3、3
C.1x|4<%<51D.1x|0<%<51
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集定義運算即可
【詳解】因為/=口|0<工<4},雙=口|!<工<5},所以McN=klg<x<41,
故選:B.
【點睛】本題考查集合的運算,屬基礎(chǔ)題,在高考中要求不高,掌握集合的交并補的基本概念即可求解.
【解析】
【分析】由可知0(L<1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的單調(diào)性即可判斷得出結(jié)果.
a
【詳解】依題意可將指數(shù)函數(shù)y=G'化為、=化[,由a>1可知0<工<1;
a
由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得y=為單調(diào)遞減,且過定點(0,1),即可排除BD,
由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得》=1。瓦%為單調(diào)遞增,且過定點(1,0),排除C,
故選:A.
9
4.已知命題“V%eR,犬2+(〃-2)%+w〉0”是真命題,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.B.(—5,1)C.(-5,+co)D.(-1,5)
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得AvO,即可得解.
9
【詳解】因為命題"VxwR,V+S—2)尤+1〉0”是真命題,
所以A=(a—2『—9<0,解得—1<。<5,
所以實數(shù)a的取值范圍是(-1,5).
故選:D.
5.“cos6>0且sin26?<0”是*為第四象限角”的()
A,充要條件B.必要不充分條件
C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先考查充分性,根據(jù)條件確定。的終邊位置,再考查必要性,有終邊位置確定符號即可.
【詳解】充分性:
因為cos6>0,
所以。為第一象限角或第四象限角或終邊在x軸的非負(fù)半軸,
又sin2e=2sin8cose<0,則sin6<0,
所以。為第三象限角或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸,
綜上知,。為第四象限角,故充分性成立;
必要性:若。為第四象限角,則cos?!?。且sin(9<0,
此時sin20=2sinGeos0<0,
故必要性成立,故"cos。>0且sin26?<0”是“0為第四象限角”的充要條件,
故選:A.
6.已知/(x)=%5+加+區(qū)+3且/(—2)=5,則/(2)的值是()
A.-3B.-1C.1D.3
【答案】C
【解析】
【分析】^g(x)=x5+ax3+bx,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】4g(x)=x5+av3+bx,
Hg(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),
由〃—2)=g(—2)+3=5,得g(—2)=2,所以g(2)=—g(—2)=—2,
所以〃2)=g(2)+3=L
故選:c.
7.已知角(0,2%),a終邊上有一點(cos1—sin1,cos1+sin1),則a=()
9TI
T
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷點在第幾象限,再求tanc并用正切得兩角和公式化簡,然后求得答案.
【詳解】因為le,所以cos1>0,sin1>0,cos1<sin1,
4'2
所以點(cosl-sinl,cosl+sinl)在第二象限.
tan——I-tan1
cos1+sin11+tan1
由已知得tana=
cos1-sin11-tan11-tan—tan1
4
7T
所以a=l+<
故選:A
,、3x,x<0/、
8.設(shè)函數(shù)/(%)={,對任意給定的me(l,4^o),都存在唯一的xeR,使得
log3x,x>0
/(/(%))=■+2劭7—3(。>0)成立,則a的最小值是()
【答案】C
【解析】
【分析】4g(rn)=m2+2am-3(a>0),結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求加e(l,+e)上的值域,畫出了(%)的大致圖
象,根據(jù)已知及圖象有(2a-2,+oo)是(1,+8)的子集,求。的范圍即可.
【詳解】4g(m)=m2+2am-3(a>0),開口向上且對稱軸為加=一。<0,
則g(m)在(1,+oo)上遞增,故對應(yīng)值域為(2a-2,+oo),
由解析式可得函數(shù)大致圖象如下,
y”
令r=/(x),貝hwo或ci時有一個解;0</wi時有兩個解,結(jié)合圖象,
當(dāng)/⑺e(70,0],則0<Yl,此時/=/(x)有兩個解;
當(dāng)/⑺e(0,l],則*0或1<區(qū)3,此時。=/(x)有兩個解;
當(dāng)/”)G(L+8),則r>3,此時/=/(x)有一個解;
任意給定的me(1,+oo),存在唯一的xeR使/(。=g(m)成立,
所以/0)e(l,+8),且(2a—2,+oo)是(1,+co)子集,所以2a—221,即
故選:C
【點睛】關(guān)鍵點點睛:將問題化為g(nz)=4+2am-3(a>0)在〃??1,+8)上的值域為(1,+<功的子集
為關(guān)鍵.
二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符
合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知a,b,c為實數(shù),則下列命題中正確的是()
db
A.若不<二,則B.若ac>be,則4>人
cc
C.若a>b,c>d,則a+c>〃+dD.若avbvO,則
ab
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.
ah
【詳解】對于A,若二<二,則,2>。,所以〃<從故A正確;
CC
對于B,當(dāng)c<0時,若ac>be,則故B錯誤;
對于C,若c>d,則a+c>Z?+d,故C正確;
對于D,若a<b<0,則一>不,故D正確.
ab
故選:ACD.
10.在AA5C中,下列等式恒成立的是()
A.sin(A+B)-sinC=0B.cos(B+C)-cosA=0
.A+BB+C
sin—cos—
C.-----^=1D.------_=]
A
cos—cos—
22
【答案】AC
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系分別對各選項進(jìn)行化簡計算即可驗證.
【詳解】對于A,sin(4+3)-sinC=sinC-sinC=O,A正確;
對于B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B錯誤;
,A+BC
sm-----cos—
對于c,-----2__—合=l,c正確;
cos——COS——
22
B+C|71A.A
cos---c-o-s
對于D,-----"—g=tan?,D錯誤.
A~~T-A2
cos—coscos—
222
故選:AC.
八c兀
11.0<a</<w,tana和tan4是方程9―3+2=0的兩個根,則下列結(jié)論正確的是()
A.tana+tanJ3=mB.tan(a+/?)>0
C.m>2>/2D.m+tana>4
【答案】AD
【解析】
【分析】由題設(shè)tan。>tana>0,利用根與系數(shù)關(guān)系及判別式有tan?+tan/7=m>O,tan(ztan/7=2,
m>2立,再結(jié)合和角正切公式、基本不等式判斷各項正誤.
71
【詳解】由0<a<夕<5,貝!|tan/7>tana>0,
則tana+tan〃=n?>0,tanatan/7=2且八=:/一&>。,則山〉2立,
由tan(〃+止:器=人對,B、C錯;
由tan[3----,貝!J根+tana=2tana+----->2/2tana-------4,
tan。tana\tana
當(dāng)且僅當(dāng)tana=l,tan/?=2時取等號,故陽+tana之4,D對.
故選:AD
-2
—,x<0
12.設(shè)y(x)=jx,則下列選項中正確的有()
(x-l)2,x>0
A.y=/(x)與y=a,aeR的圖象有兩個交點,則ae(l,+8)
B.方程/(x)-〃z=0有三個實數(shù)根,則me(0,1]
C.〃#21的解集是[2,也)
D.0</(〃力)W1的解集是(―嗎—1]U[0,后+”
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)解析式化為函數(shù)大致圖象,數(shù)形結(jié)合判斷各項的正誤.
要使丁=/(%)與y=a,aeR的圖象有兩個交點,則ae(l,+8),A對;
方程/(%)—機=。有三個實數(shù)根,則程e(0,1],B對;
由圖象知:/(同之1的解集是[—2,0]。[2,+8),c錯;
令t=/(x),由OW/“)W1,貝Ue(f,—2]U[0,2],而/=/(x)20,
0<--<2°,(x1)<2可得xV—1或o<x<l+0,故解集是
所以=/(%)<2,則X或<
x>0
x<0
(—00,—l]U[0,V2+l],D對.
故選:ABD
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.函數(shù)/(x)=JH+lnx的定義域是
【答案】{x|0<x<2]
【解析】
【分析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組,解不等式組可得答案.
2-x>0
【詳解】要使/(x)=12-x+lnx有意義,只需<c,解得0〈尤W2,
x>Q
故函數(shù)的定義域為{x[0<x<2},
故答案為:{x[0<x<2]
14.如圖1,折扇又名“撒扇”“紙扇”,是一種用竹木或象牙做扇骨,初紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子,其
展開的平面圖如圖2的扇形AO8,其中NAO5=150°,CO=-AO=2,則扇面(曲邊四邊形ABOC)的
3
面積是.
B
40兀
【答案】亍
【解析】
【分析】利用扇形面積公式求扇面(曲邊四邊形ABOC)的面積即可.
5兀
【詳解】由題設(shè),e=ZAOB=——,則
6
1]5兀40幾
扇面(曲邊四邊形ABDC)的面積S=—x6x(OA2—。。2)=-x—><(36—4)=——.
2263
4071
故答案為:----
3
15.設(shè)a=log30-3力=log[0.2,c=0.2°3,則/乩c的大小關(guān)系為
3
【答案】a<c<b##b>c>a
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.
【詳解】ci=log30.3<0,
b=log10.2=log1->log】鼻=1,
333J
0<C=0.2°,3<0.2°=1,
所以a<c<b.
故答案為:a<c<b.
16.對任意》《口,恒有/(1一%)=/(》+1)=/(1-1),對任意0,-1,/(sin6>)=cos26>,現(xiàn)已知
函數(shù)y=f(x)的圖像與y=自有4個不同的公共點,則正實數(shù)上的值為.
【答案】8-2715
【解析】
jr
【分析】由,e0,-,/(sin,)=cos2,,得=,由已知條件可得函數(shù)/(%)的圖像
的對稱性和周期性,可作出函數(shù)了⑺的圖像,由題意y=kx(k>0)的圖像函數(shù)y=/(%)在[3,5]上的圖
像相切,聯(lián)立方程組利用判別式求解.
【詳解】9G0,5,sin0G[0,1],/(sin^)=cos2^=l-sin2
令兀=5皿。,則有/(x)=l-x2(OWxWl),
任意xeR,恒有/(I—x)=/(x+l)=/(x—1),則函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于x=l對稱,函數(shù)/(%)是以
2為周期的周期函數(shù),
在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=/(x)與丁=履(左>0)的圖像,如圖所示,
函數(shù)y=/(x)的圖像與y=自有4個不同的公共點,由圖像可知,y=履(左>0)的圖像函數(shù)y=/(%)
在[3,5]上的圖像相切,
△=(左-8『-60=0_
由;”勺,消去,得f+(1)川5=0,則.
k—8,解得左=8—2a.
3<-----<5
、2
故答案為:8-2715
點睛】方法點睛:
函數(shù)零點的求解與判斷方法:
(1)直接求零點:令40=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點.
(2)零點存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán),句上是連續(xù)不斷的曲線,且五。):/仍)<0,還必須結(jié)合
函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.
(3)利用圖像交點的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖像,看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同
的值,就有幾個不同的零點.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.己知集合4={,-3<%<2},集合3={乂1一w<x<3祖-1}.
(1)當(dāng)m=3時,求(。4)口2;
(2)若A。3,求實數(shù)機的取值范圍.
【答案】(1){x[2<x〈8};
(2)m>4.
【解析】
【分析】(1)應(yīng)用集合的交補運算求集合;
1-m<-3
(2)由包含關(guān)系得13機-122,即可求參數(shù)范圍.
3m-1>1-m
【小問1詳解】
由題設(shè)3={x[—2<x<8},且々A={x|尤<一3或x>2},
所以(Q4)c5={x[2<x?8}.
【小問2詳解】
1-m<-3
由AgB,貝巾加—122,可得加
3m-1>1-m
18.函數(shù)/(X)=ACOS(GX+0)(其中A>OM>O,M<])的部分圖象如圖所示,先把函數(shù)八力的圖象上
的各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的;(縱坐標(biāo)不變),把得到的曲線向左平移四個單位長度,再向上平移1個單
位,得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)g(x)圖象的對稱中心;
(2)當(dāng)xe時,求g(x)的值域.
OO
【答案】(1)(---------,1),左eZ;
412
3
(2)[0,-].
【解析】
【分析】⑴根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式,由圖象平移得g(x)=cos[4x+"1+l,再由余弦函數(shù)性質(zhì)求
對稱中心;
(2)由余弦型函數(shù)性質(zhì)求值域.
【小問1詳解】
In7iT.271c
由題設(shè)及圖知:A=1且一=------=—=>T=7i,貝n1|。=——=2,
41234T
7兀個+夕]=-1且Id7171
所以/(x)=cos(2x+9),而/cos<7,則0=一2
122o
綜上,/(x)=cosl2x--^-
函數(shù)7(%)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的g(縱坐標(biāo)不變),得〉=35卜-焉
把曲線向左平移四個單位長度,再向上平移1個單位,得g(x)=cos(4x++1,
令4XH-----=ATH—,左eZ,則工=-------,左eZ,即圖象對稱中心為(-------,1),左eZ.
62412412
【小問2詳解】
,「兀兀1r一5兀「兀471r(5兀、「1I:
由工£,貝IJ4%H-----e[―,—],cos4Ax+--G[―1,—],
188」633I6J2
3
所以g(x)的值域為[0,萬].
式,是定義在上的奇函數(shù),且/
19.己知函數(shù)/(x)=(-1,1)1對
(1)求函數(shù)/(%)解析式;
(2)判斷函數(shù)/(%)在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)解關(guān)于r的不等式:++
【答案】(1)/(%)=--;
X'+1
⑵函數(shù)”X)在(—1,1)上是增函數(shù),證明見解析;
⑶H-4
【解析】
【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得b的值,再結(jié)合已知條件可求得實數(shù)。的值,由此可得出函數(shù)
了(%)的解析式;
⑵判斷出函數(shù)“X)在(-M)上是增函數(shù),任取均、工2€(—1,1)且占<々,作差/(七)—/(%),因
式分解后判斷/(石)-/(%)的符號,即可證得結(jié)論成立;
<0得小1
(3)由f\t+—j+,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性與定義域可得出關(guān)
I2
于實數(shù)方的不等式組,由此可解得實數(shù)?的取值范圍.
【小問1詳解】
ax+b
解:因為函數(shù)/(x)=是定義在(—1,1)上的奇函數(shù),貝x)=—/(X),
x2+l
-ax+bax+bax
即,可得5=0,則/(x)=
%2+1%2+1%2+1
1
-a
2___22X
所以,f=-a=~,則a=l,因此,〃x)=
x-+l
2
【小問2詳解】
證明:函數(shù)/(%)在(-M)上是增函數(shù),證明如下:
2,2
石X_XX+石一千%2一X2
任取毛、/£(一1,1)且再<%2,則/(尤1)一/(尤2)二2x2
x;+lxf+1(仁+1乂%;+1)
玉冗2(X2一芯)+(下一九2)(X1一九2)(1一%逮2)
(片+1)(^2+1)(片+1)(其+1)'
因為—則須一%2<0,-1<%%2<1,故/(%1)—/(%2)〈°,即/(石)</(工2),
因此,函數(shù)八%)在(-1,1)上是增函數(shù).
【小問3詳解】
解:因為函數(shù)/(力是(-1,1)上的奇函數(shù)且為增函數(shù),
11£
由小+』+/T2<°得小+曰2(一小I2
11
t+—<——t
22
11
由已知可得<—1<t-\—<1,解得—<Z<0.
22
-l?<t——1<?1
2
因此,不等式+1+—1的解集為;,o]
22
JI
20.已知函數(shù)/(%)=sin(2%—)-cos2x,%eR.
6
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)〃尤)的對稱軸方程;
(3)求函數(shù)/(%)在[0,會上的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)兀;
/、kit7i
(2)x----------(zk7GZ);
212
(3)單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是[工,]].
【解析】
【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【小問1詳解】
依題意,/(x)=sin2x--cos2x-cos2x=sin2x--cos2x=yj3sin(2x--),
22223
所以函數(shù)八%)的最小正周期為7=笄=限
【小問2詳解】
由(1)知,/(x)=A/3sin(2x-^-),由—1=也一],%eZ,得x=g-/,左eZ,
所以函數(shù)/(%)的對稱軸方程是x=£-A/eZ).
【小問3詳解】
由(1)知,/(x)=V3sin(2x-^),當(dāng)時,2%-|e[-|,yJ,
由—巴<2x—二V巴,解得OWxW型,由工<2x—二解得4巴,
33212233122
所以函數(shù)小)在嗚]上的單調(diào)增區(qū)間是[0,含,單調(diào)遞減區(qū)間是電,鼻.
21.黨的二十大報告指出:必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力.科技興則民族
興,科技強則國家強.2023年9月,華為Mate60系列的發(fā)布再次引發(fā)了廣泛關(guān)注,它不僅展示了中國科技產(chǎn)
業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展,更體現(xiàn)了中國人民自主創(chuàng)新、頑強不屈的精神.某芯片企業(yè)原有400名技術(shù)人員,年
人均投入。萬元(?!?),現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入,該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員,
其中技術(shù)人員X名,調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加(4%)%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為。[加-石J
萬元.
(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入,求調(diào)整后的研發(fā)人員
的人數(shù)最少為多少人?
(2)為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性,企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下
三個條件:①技術(shù)人員不少于100人,不多于275人;②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總
投入;③技術(shù)人員的年人均投入始終不減少.請問是否存在這樣的實數(shù)加,滿足以上兩個條件,若存在,
求出加的范圍;若不存在,說明理由.
【答案】⑴25人(2)存在;加e{23}
【解析】
【分析】⑴根據(jù)題意,得到不等式(400—x)[l+(4x)%]a2400a,(a>0),得出x,再用己知條件得出
25W400—xW400得出結(jié)果
x9Y
⑵由條件②得加<—+—+15,由條件③得加2——+1,假設(shè)存在機滿足上述條件,則上述兩個不等
x2525
式恒成立,求出m即可.
【小問1詳解】
依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為[l+(4x)%]a萬元,
則(400-x)[l+(4x)%
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