《線性代數(shù)》課件 第12章 切變變換

第十二章切變變換

第十一章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容切變變換

本章主要介紹了線性變換和線性方程組之間的對應(yīng)關(guān)系以及引入了切變變換的概念，討論了其在實(shí)際應(yīng)用中的作用：在坐標(biāo)變換和數(shù)學(xué)物理中的應(yīng)用.

說明了線性變換的矩陣表示和基底變換之間的關(guān)系，以及可逆線性變換的性質(zhì).在9-11章中，討論了一些特殊的線性變換，它們的幾何性質(zhì)各不相同，但都可以由矩陣表示.有的保持圖形的形狀和大小不變，變換前后的圖形全等，如旋轉(zhuǎn)、對稱和反射.有的雖然改變圖形的大小，但保持形狀不變，變換前后的圖形相似，如位似變換.

伸縮變換改變了圖形的形狀，將圓變?yōu)闄E圓，但仍將直線變?yōu)橹本€.投影變換將整個平面變成一條直線上，將某些直線變成一個點(diǎn).

第一節(jié)切變變換對于給定矩陣與它對應(yīng)的變換具有什么性質(zhì)？通過前面的學(xué)習(xí)說明線性變換既可以改變物體的形狀，也可以改變物體的大小，那么線性變換可以保持物體的哪些性質(zhì)呢？下面的一些例子，通過作圖來觀察線性變換的幾何性質(zhì)，討論分析，看看所有的線性變換是否有一些共同的性質(zhì).第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

圖12-1常見的水平剪切和垂直剪切

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換圖12-2剪切變換的效果并不是由直線旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)

第一節(jié)切變變換從上面的論述中的可以總結(jié)得到：切變變換是一種線性變換，通過這種變換，對象在平面上沿著某個方向進(jìn)行平移，同時(shí)沿著垂直方向進(jìn)行拉伸或壓縮，從而改變了對象的形狀和大小，但保持了對象的面積不變.在切變變換中，對象的形狀會被扭曲，但平行線仍然保持平行，這保持了對象的平行性質(zhì).第一節(jié)切變變換特別在二維平面上對圖形進(jìn)行切變變換的特點(diǎn)是圖形在水平或垂直方向上被拉伸或壓縮，分別被稱為水平切變（使圖形在水平方向上被拉伸或壓縮）和垂直切變（使圖形在垂直方向上被拉伸或壓縮）.除此之外當(dāng)在各個方向上均進(jìn)行動作時(shí)所得的切變變換稱為傾斜切變（使圖形在水平和垂直方向上同時(shí)被拉伸或壓縮）.第一節(jié)切變變換切變變換的概念并不僅僅停留在理論框架中，它融入了現(xiàn)實(shí)世界的種種應(yīng)用場景，為解決實(shí)際問題提供了強(qiáng)有力的工具.切變變換改變了對象的形狀和大小的同時(shí)保持了對象的面積不變。雖然對象的形狀被扭曲，但平行線仍然保持平行.第一節(jié)切變變換切變變換在實(shí)際應(yīng)用中常用于調(diào)整圖像的形狀和大小.例如，可以使用切變變換來拉伸或壓縮圖像的某個區(qū)域，以修正圖像中的畸變或改變圖像的透視效果.在工程設(shè)計(jì)中，切變變換常用于調(diào)整構(gòu)件的形狀和尺寸.例如，在建筑設(shè)計(jì)中，可以使用切變變換來調(diào)整建筑結(jié)構(gòu)中的梁或柱的形狀，以適應(yīng)不同的建筑需求.在地質(zhì)學(xué)中，切變變換被用來描述地球表面的形變和地殼運(yùn)動.地球表面的地震活動和地質(zhì)構(gòu)造會導(dǎo)致地層發(fā)生切變變換，形成斷層和地裂縫等地質(zhì)現(xiàn)象，引發(fā)地質(zhì)災(zāi)害和自然災(zāi)害.冰川流動是另一個自然界中發(fā)生切變變換的例子.冰川內(nèi)部的冰層會隨著冰川的運(yùn)動而發(fā)生切變變換，形成冰川的流動和形態(tài)的改變，影響著地形的演變和生態(tài)系統(tǒng)的變化第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換在數(shù)學(xué)中可以考慮更一般地坐標(biāo)變換，見圖12-3.第一節(jié)切變變換圖12-3剪切變換用于坐標(biāo)變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

在討論線性變換性質(zhì)的時(shí)候，我們知道所有線性變換將原點(diǎn)保持不動.除了原點(diǎn)之外，是否還有其他的點(diǎn)在變換下保持不動？恒等變換可以保持所有的點(diǎn)不動.旋轉(zhuǎn)變換和伸縮變換除了原點(diǎn)之外所有的點(diǎn)都會被移動.反射變換和對稱變換保持對稱軸上的點(diǎn)不動.除此之外在前面的學(xué)習(xí)中還知道，一般的線性變換僅能保持線性相關(guān)性，但是可逆的線性變換可以保持所有的線性關(guān)系.在生活中我們十分關(guān)心對于給定線性變換，是否有某條直線不受變換的影響，變換前后均保持一致？這就是接下來我們要繼續(xù)的主題：特征