模擬檢測卷02（文科）（解析版）2025年高考數(shù)學二輪復習（解析版）

2025年高考數(shù)學模擬考試卷2

高三數(shù)學（文科）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1,本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3,回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：高中全部知識點。

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的.

1.已知集合/={x|3-x<l},B==,則/口8=（）

A.0B.[4,+a））C.（2,+8）D.[0,2）

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次不等式可解得集合A,再根據(jù)函數(shù)值域求法可求得集合3,由交集運算即可得出結

果.

【詳解】由題意可得/=門卜>2},

由函數(shù)值域可得8=3*0},

所以Nc2={x|x>2}.

故選：C

2.已知2（z+z）—（z—z）=8—2i,則|z+i|=（）

A.2V2B.2A/3C.V2D.百

【答案】A

【分析】設2=。+歷（",6eR）,化簡式子，利用復數(shù)相等求出復數(shù)，然后求復數(shù)的模即可

[詳解]設z=a+6i（q,6wR）,則2（z+?。┮唬▃—亍）=z+3亍=4〃_2bi=8_2i,貝[）Q=2,b=l,故

|z+i[=|2+2i|=J4+4=2&.

故選：A

3.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是（）

1

相關系數(shù)為勺

35:-------------------------------7^35

30-.30

25-.????.25

20-??????20

15-.,15

io-.?10

55

051015202530355101520253035

相關系數(shù)為廠3相關系數(shù)為Q

A.2<i<0</<qB.r4<r2<0<r1<r3

C.q<4<0<g<外D.r2<r,<0<r,<r3

【答案】A

【分析】利用正負相關與線性相關的強弱進行求解即可

【詳解】小4都是正線性相關，

所以〃>0,4>0,

并且相關性4最強，

所以4;

馬笛都是負線性相關并，

所以々<0,z4<0,

且々相關性強，

所以上|>|〃|,

所以馬<4;

所以々<r4<0<r3<rl；

故選：A

4.如圖，在AJBC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^,BD=2DC,則益.而=()

【答案】D

【分析】由麗=2次可得而=:方+］就，則益.通=益?［礪+：%］=；益2+：方?%,代入

化簡即可得出答案.

【詳解】由麗=25d可得：DC=jBC,

,1?*1—?1/1*—?\"*1*2'》

所以/C—4Q=—BC=—ZC—45,所以4。=—+—,

33'/33

—>->->(1--2-1--22—1?

ABAD=ABA-AB+-AC\=-AB+—AB,AC,

(33J33

2

■JT

因為/5=6,4。=3,/"。=—,

2

所以商.25」書+2超工=、36=]2.

333

故選：D.

5.已知。，be（0,+oo）,則“a<6”是“l(fā)ogz2>!一-成立的（）

3ab3a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先化簡1。823>1-上，然后判斷其充分性與必要性即可.

3ab3a

【詳解】先化簡nlogzb-bg,3a---=>log,6-y>log3a---,構造函數(shù)

3ab5ab5ab25a

/（x）=log2x--^-,

所以有〃6）>〃3a）,顯然/（x）在（0,+動單調遞增，所以6>3a；

又因為。，6e（0,+oo）,所以由“a<b”不能得出“6>3a”，由“6>3a”可得出“a<6"，故"a<6”是

“l(fā)ogzq〉]-：”成立的必要不充分條件.

3ab3a

故選：B

6.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值是（）

A.0B.~C.—D.—1

22

【答案】B

【分析】列舉出循環(huán)的每一步，結合余弦函數(shù)的周期性可求得輸出結果.

【詳解】因為對任意的女wN*，

（左一）兀（左一）兀（左一）兀（左一）兀（左一）兀

6564636261（）

COS-------------——FCOS--------------——FCOS-------------——FCOS-------------——FCOS----------------+COS2^71

33333

11

1--+-+1=0,

2~2~22

7T

執(zhí)行第一次循環(huán)，S=cos§,n=1+1=2,〃〉2023不成立；

,Jr27r

執(zhí)行第二次循環(huán)，S=cosy+cos—,〃=2+1=3,〃〉2023不成立;

3

jr/jr-sjr

執(zhí)行第三次循環(huán)，S=cos—+cos一+cos一,77=3+1=4,〃〉2023不成立;

333

__TT2兀3jr2023TT

以此類推，執(zhí)行最后一次循環(huán)，S=COS^+COSy+COSy+--+COS^y^,

“=2013+1=2024,">2023成立，跳出循環(huán)體，

jr1

因為2023=6x337+1,因此，輸出結果為S=337x0+cos—=—.

32

故選：B.

7.若直線2%—>一2=0與直線2x—>一1二0被圓。：一十/一2%一6>—加=0（次〉一10）截得的弓玄長之比為

1:亞,則圓。的面積為（）

c14-16

A.2兀B.—兀C.3兀D.—71

55

【答案】B

【分析】求出圓心分別到兩條直線的距離，根據(jù)勾股定理求出兩條直線被圓截得的弦長，根據(jù)弦長之比為

1:亞列式求出機，可得圓的半徑，從而可得圓的面積.

【詳解】圓C的標準方程為（x-l）2+（y-3）2=10+Mm>-10）,

12-3-213

所以圓心C（L3）到直線2x-尸2=0的距離為J~1=-7

2

到直線2x-y-1=0的距離分別為忑'

所以直線2%一》一2=0被圓。：12+^2一2工一6>一冽=Q（m>一10）截得的弦長為

直線2%—歹一1二0被圓C:x2+y2-2x-6y-m=0（m>一10）截得的弦長為2J1O+加一（義］

2

=專，解得冽二一￡，滿足加>一10,

由題意可得-

2

所以圓c的半徑為^^7藐=/10-1=后,面積為?兀.

故選：B.

8.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，平面P4DL平面48c。，四邊形A8CD是矩形，PA=PD=?AB，E,F

分別是棱的中點，則異面直線E尸與43所成角的余弦值是（）

3366

【答案】B

【分析】作輔助線，作出異面直線E尸與所成角或補角，解直角三角形，即可求得答案.

【詳解】如圖，取棱加的中點，，連接PH,EH,HF,則即〃

4

p

BE----------E-----------'C

則N/ffi尸是異面直線EF與所成的角(或補角).

又因為PA=PD=6AB，故PHLAD,

平面尸40_L平面/BCD,平面尸40c平面/BCD=40,尸〃u平面尸40,

故尸〃_L平面48c。，￡〃匚平面/38,故PH1EH,

由四邊形/BCD是矩形，EH//AB,ABYAD,則

PHCAD=H,PH,u平面PAD，故EH_L平面PAD,

HFu平面P4D,故EH上HF,

設N3=2,則即=2,HF=；PD=①.

__________HFOR

在中，則EF=JE/V+HF?=痛，故cos/HEF=下=—,

EFV63

即異面直線EF與所成角范圍為(0,g],故所求角的余弦值是逅，

23

故選：B

9.設函數(shù)〃x)的定義域為R,且滿足〃x)=〃2-x),〃x)=-〃x+2),當xe(O,l]時，〃x)=xlnx,

則()

A./(x)是周期為2的函數(shù)

B.42022)=1

C.〃x)的值域是[-e,e]

D.方程U(x)|=l在區(qū)間0,等內恰有1011個實數(shù)解

【答案】D-一

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)關系式可推導得到/(x+4)=/(x),并確定了(x)為R上的奇函數(shù)，由此可確定AB

錯誤；利用導數(shù)可求得了(x)在(05上的值域，結合對稱性和周期性可求得了(x)在R上的值域，知C錯誤;

將問題轉化為y=|/(x)|與＞=:的交點個數(shù)問題，采用數(shù)形結合的方式可確定D正確.

【詳解】對于A,由〃x)=-〃x+2)得:/(x+2)=-/(x),

/(X+4)=_/(X+2)=/(X),是周期為4的周期函數(shù)，A錯誤;

對于B,?■■/(x)=/(2-x),.'./(-x)=/(2+x),

又“x)=-〃x+2),=為定義在R上的奇函數(shù),

"(0)=0,又〃x+2)=-/(x),.?.〃2)=-/(0)=0,

.?./(2022)=/(4x505+2)=/(2)=0,B錯誤;

對于C,當xe(0,l］時，/(x)=xlnx,則/［x)=lnx+1,

.?.當xe(0,寸，f'(x)<0；當時,

/'(x)>0;

.?./(x)在(0,￡|上單調遞減，在g,l上的單調遞增,

又〃0)=0，/(l)=o,.?.當xe(O,l］時，/(x)e-1,0

5

??,/(X)為奇函數(shù)，，當xe[-l,o)時，/(x)e0,1,

則當時，/(x)e-1,j；

由〃x)=〃2-x)得：“X)關于直線x=l對稱，

.?.當xe[l,3]時，/(x)e-|,1；

又〃無)的周期為4，.??當尤eR時，/(x)e[--,-LC錯誤;

ee

對于D,方程U(x)|=1解的個數(shù)等價于y=|/(x)|與了=：的交點個數(shù),

作出y=|/(x)|與了=：的部分圖象如下圖所示,

1

尸E

----＞

0X

???y=|/(x)|的周期為2,且當xe[0,2]時，y=|/(無)|與了=:有兩個交點,

二當xe[0,1010]時，y=|/(x)與了=：有1010個交點，

.,.當xe]o，T時，y=與了=：有且僅有一個交點，

.?.當x€1010,等時，y=|/(x)卜與了=：有且僅有一個交點；

綜上所述：當xe0,等時，y=|/(x)與y=:有1011個交點，即方程|爐")|=1恰有1011個實數(shù)解，D

正確.

故選：D.

【點睛】方法點睛：本題D選項考查了方程根的個數(shù)的求解，解決此類問題的常用方法有：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，從而確定根的個數(shù)；

(2)數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結合的方法求解.

10.記函數(shù)/(x)=sin[Ox+；](o>0)的最小正周期為7.若7!<7<2兀，且y=/(x)的圖象的一條對稱軸

JT

為xj,關于該函數(shù)有下列四個說法:

6

①2＜。＜3；

③/(尤)在-K上單調遞增;

OO

④為了得到g(x)=sins的圖象，只需將“X)的圖象向右平移;個單位長度.

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用周期公式求出。的范圍可判斷①；由x為一條對稱軸得2。+^=三+桁％eZ),結合。的

6642

6

范圍可求得0,從而得出了(x)的解析式，求值可判斷②；利用正弦函數(shù)的單調性可判斷③；利用三

角函數(shù)圖象平移的規(guī)律可判斷④.

【詳解】由7=——且兀<T<2兀，故故①錯誤；

CD

因為％=2為一條對稱軸，故2。+：=g+E(左￡Z),G=6(左+!].由于1<@<2,故G=則

6642I4J2

/(x)=sin^|x+^,所以/(l]=sin]Txg+：)=sin7i=0,故②正確；

當~~時，-x+-G0,—,則/⑴在-n上單調遞增，故③正確；

將“X)的圖象向右平移:個單位長度得y=sin=si"$-春的圖象，而g(x)=sinm，故

④錯誤.一

所以，正確的有②③，共2個.

故選：B.

11.如圖，在四面體/BCD中，AB=BC=AD=CD=4,ZC=2,/BCD=/BAD=120°,則四面體/BCD

外接球的表面積為()

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可知AD/平面NCE,根據(jù)外接球的性質以及四面體/3CD的結構特征確定四面體

ABCD的外接球的球心所在位置，進而可求半徑和面積.

【詳解】如圖1,取8。的中點E,由ZBCD=ZBAD=120°,可得/E=C￡=2,

又AC=2,所以為等邊三角形.

由AB=AD=BC=CD,BE=DE,可得/￡1.8。，CEA.BD,

AEC\CE=E,/E,CEu平面/CE

則平面NCE,

如圖2,延長至0,使得/E=0E,延長C￡至P,使得CE=PE,

cCD

2丫—--------——4—xo

：△BCD的外接圓的直徑-sinZD5C-j--，即r=4,

2

故易知產為△BCD的外心，。為△力血的外心，過點尸作平面BCD的垂線，過點。作平面/AD的垂線,

兩垂線的交點。就是四面體N8CD外接球的球心.

7

A

圖2

24

OE=-

由理=他=2,ZOEP=30°,可得V36

在△OZE中，OA2=AE2+OE1-2AExOEcosZAEO=22J-2x2。xco^120°+30y年，

故四面體/8C。外接球的表面積為47tx0/2=型包.

3

故選：A.

【點睛】結論點睛：

（1）球的任何截面均為圓面；

（2）球心和截面圓心的連線垂直于該截面，故外接球的球心位于過底面的外空勺垂里1.

12.如圖，片,心為雙曲線的左右焦點，過瑪?shù)闹本€交雙曲線于民。兩點，且耳5=3及方，E為線段班的

中點，若對于線段必上的任意點P,都有西?麗2硒.麗成立，則雙曲線的離心率是（）

【分析】取耳B中點。，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和向量線性運算可將已知數(shù)量積不等式化為而2士說2,

由此可確定大，由三角形中位線性質知班設忸閭=/，結合雙曲線定義可表示出口凰，忸凰,

在口680￡和口14。/與中，利用勾股定理可求得離心率.

【詳解】取片8中點。，連接尸0,￡0,。。，

8

...百歷寸畫+阿_（兩_阿卜：（4『宿\而2宿，

甌?麗［囪+礪）2_?_珂］=；卜麗2_晴）=麗2T宿，

.'.PQ-^BF^>EQ-^BF",則而°z匝）.?.園2園恒成立，

:.EQVDFX,又EQUBD,:.BDLDFX,

設忸叫=加，由月萬=3質得：忸必=2〃?，

根據(jù)雙曲線定義可知：片|=|〃閭-2〃=3加-2。，\BF{|=\BF2\+2a=m+2a,

222

■：\BD^+\DF^=\BFtf,BP4m+（3m-2a）=（m+2a）,.?.機=：a,

.■.\DF^=2a,\DF2\=4a,又+|。用?=閨乙「，...206="，

2

:.e2=—=5,則離心率e=遙.

a

故選：D.

第II卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y+l<0

13.設實數(shù)x,y滿足<x+y+120,則/+/+口-1）〉+（丁-1）》的取值范圍是

x-2y+4>0

【答案】［-y,20

4

2_]_

【分析】設2="九有不等式組作出可行域，得出Z的范圍.化簡V+r+a-Dy+Q-Dx

4

然后根據(jù)Z的范圍，即可求出答案.

x-j^+1<0

【詳解】設z=x+九根據(jù)約束條件X+V+120作出可行域如圖所示,

x-2y+4>0

x—2〉+4=0；二所以c(23?

解可得,

x-y+1=0

由圖知當目標函數(shù)z=X+y經(jīng)過點A或點B時取得最小值zmin=-l,當目標函數(shù)z=x+N經(jīng)過點C時取得最

9

大值z1Mx=2+3=5,即ze「L5].

2

*21

又工2+y2+(%_l)y+(>_l)x=(x+y)2-(x+y)=z-z=-,

4

又ZE[-1,5],

所以，當z=:時，該式有最小值為工；當z=5時，有最大值為20.

24

故答案為：-!，20.

4

：+2x,x3,?>0）有2個零點，且過點31）,則常數(shù)/的一個取值為

14.已知函數(shù)〃x）=

]nx,x>t

【答案】2（不唯一）.

【分析】由條件求出，的范圍，然后取一個值即可.

【詳解】由x2+2x=0可得x=0或x=-2

由Inx=0可得x=1

I+2無匿%>o）有2個零點，且過點恁,1）,所以e>/21

因為函數(shù)〃x）=

Inx,x>t

故答案為：2（不唯一）

15.如圖，矩形A8CD中，/C是對角線，設/3/C=a,已知正方形S和正方形S2分別內接于RtZX/CD

和RtZX/BC,則去要吃”的取值范圍為

正萬形S2的周長------

【分析】設兩個正方形邊長分別為。，b,用。，6表示NC建立方程，將兩個三角形的周長比表示為a的

三角函數(shù)，求取值范圍.

【詳解】設兩個正方形耳，S?邊長分別為。，b,

貝lj在中，有ZC="-+a+atana,

tana

在放中，有4C=b+---,所以a+q+atana="+—-—

sinacosatanasinacosa

11

.--------1--------?

_.t,._..4。qinaccqaSIHCC+COSOC

S1的周長與邑的周長比t為r弁=Sinacosa=_-------------,

4btan?+—+11+smccosa

tan<7

設％=sina+cosa=V2sin(a+—),

4

因為所以％=&sin(a+：)￡(l,V^],

sin。+cosa_t2t2

則l+sinacosa〔t2-1t2+1,.1,

2t

10

sina+cosa2

因為y=在（1,行］上單調遞增，所以/+；?L3灰::-------二fe

'1+smacosa

所以周長比為三一,1.

7

故答案為：平,1、.

->

【點睛】注意到（sina+cosa?=i+2sinacosa的關系,換元用/=sina+cosc表示sincrcose，注意換元

后新未知數(shù)的取值范圍.

16.已知產是拋物線C：J/=28：（p>（））的焦點，C的準線與x軸交于點T,P,0是C上的兩點，直線中

與C相切，TP=AFQ（A>0）,則2=.

【答案】V2-l##-l+V2

【分析】根據(jù)題意求得尸,7的坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得點P的坐標，再設出點。的坐標，根據(jù)向

量關系，即可求得參數(shù).

【詳解】由題意得7對于了2=2pr,

-f'°PF

不妨設y>o,則y=心，求導得了=M，

V2x

設尸（%,%）,且%>0,則直線ZP的方程為V-

因為點75,0在直線ZP上，所以-，得

貝U%=0，所以尸,TP=（P,P）?

設0（西,弘），則尸0=1畫一/乂J,因為方=4而,

（/l+2）p

X'-2）：xi=

所以3。）=4（再-多,所以,A=P22

P

兒為=P

代入/=2px,得；1?+2；1-1=0,得;1=-行-1（舍）或;1=收-1.

故答案為：V2-1.

【點睛】本題考查拋物線中坐標的求解，解決問題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義，以及點在曲線上，則點

的坐標滿足曲線方程，屬綜合困難題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）在數(shù)列｛%｝中，%=1,4立一%=2".

n+\n

⑴設4=2,求數(shù)列仍,｝的通項公式；

naq—伍+\\a,、62

（2）設%=一^一巨，且數(shù)列,”的前”項和為若〃=工，求正整數(shù)上的值.

【答案】（1）2=2"-1

⑵左=5

11

【分析】（1）依題意可得62=2",利用累加法求出數(shù)列｛"｝的通項公式；

（2）由（1）可得巴=〃?（2"-1）,即可得至一二利用裂項相消法求出7；,即可得到方程,

2—12—1

解得即可.

【詳解】(1)解：因為q=1,也一組=2",且

77+1n〃

所以*「。=2”,

當〃=1時4=%=1,

當“22時”+…+(&-6j+b|

I

=2"一+…+2+1=-------=2"-1,

1-2

又〃=1時也符合上式，

所以a=2"-i.

(2)解：由(1)可知6“=&=2"-1,所以a“=/?(2”-1),

n

所以—Jnn+\_11

,,+1

所以月=i---!—+—!------_!_+..，+□_1,1~1-----2-------2-----------

”22-122-123-12"_]2"+1-12W+1-12W+I-1

o上+in

則

k*—,解得人=5.

18.（12分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，越來越多的消費者開始選擇網(wǎng)絡購物，某營銷部門統(tǒng)計了2021年某

月某地區(qū)的部分特產的網(wǎng)絡銷售情況，得到網(wǎng)民對不同特產的滿意度*（%）和對應的銷售額丫（萬元）的

數(shù)據(jù)如下表：

特產種類甲乙丙T戊

滿意度X/%2234252019

銷售額丫/萬元7890867675

⑴求銷售額y關于滿意度X的相關系數(shù)r;

（2）約定：銷量額y關于滿意度X的相關系數(shù)『的絕對值在0.95及以上表示線性相關性較強；否則，線性相

關性較弱.如果沒有達到較強線性相關，則采取“末位淘汰”制（即銷售額最少的特產退出銷售），求剔除“末

位淘汰”的特產后的銷量額y關于滿意度X的線性回歸方程.（結果精確到0.1）

__5_2

參考數(shù)據(jù)：記X,y的5組樣本數(shù)據(jù)分別為（國,%）,（馬,%）,…，（%,%）,已24,y=81,￡X；-5/=146,

Z=1

5_25______________

5y=176,-5xy=151,V146?12.08?7176-13.27.

Z=1Z=1

【答案】⑴0.942

⑵y=1.0X+57.3

【分析】（1）利用公式直接計算即可；

（2）剔除“末位淘汰”的特產的數(shù)據(jù)，重新計算出平均數(shù)以及各個數(shù)據(jù)，代入公式，求出線性回歸直線方程.

（1）

由題意，可得"/⑸_X————’0.942.

V146xl7612.08x13.27

（2）

因為0.94<0.95,所以線性相關性較弱，淘汰銷售額為75萬元的特產.

剔除“末位淘汰”的特產的數(shù)據(jù)后，>=25.25，丁=82.5.

12

4

Er

xtyt=22x78+34x90+25x86+20x76=8446,4x'-y=4x25.25x82.5=8332.5,

f=4l

￡

x,2=222+342+252+202=2665,4P=4x25.25x25.25=2550.25，

Z

=1

所以i=坐一會?“0,a=7-^?82.5-1.0x25.25?57.3,所以所求線性回歸方程為

2665-2550.25"

11.0X+57.3.

19.（12分）如圖①，在梯形48co中，AD//BC,AD±AB,AD=2AB=2BC,￡為中點，現(xiàn)沿BE將

折起，如圖②，其中尸，G分別是的中點.

①②

(1)求證：FGJ.平面/CD；

(2)若AB=AC=血，求點8到平面ZCE的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)氈

3

【分析】(1)連接尸4尸GCE,證明4尸，8后，。尸J.8E,可得平面/CF,再根據(jù)線面垂直的性質可

得BE上FG,在證明FGL/C,再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

(2)先利用勾股定理可得4F_LCF,從而可得/尸_1面5€7乃，再根據(jù)線面垂直的性質可得/尸_LCE,

設〃是CE中點，連接證明CEL/F,再在三棱錐3-/CE中，利用等體積法即可得解.

【詳解】(1)連接E4ICCE,

在圖①中，因為AD/啟C,AD工AB,AD=2AB=2BC,E為/D中點，

所以/￡/M且4E=BC,

所以四邊形/BCD為正方形，

則4BE和ABCE都是等腰直角三角形，

在圖②中，由。BMCE.NBMZE且尸是8E的中點，

則4F_LBE,CF_L3E,

又/尸，

所以平面/CV,

又尸Gu平面所以尸G,

又因為BE/Z7D,所以CDLbG,

因為/尸=。尸，且G是/C的中點，所以尸GJ.ZC,

又因為/Cfl。=C,/C,CDu平面ACD,

所以尸G_L平面/CD；

(2)在圖②中，因為48=血，所以AF=BF=CF=EF=1,CE=6,

又因為/C=?,

所以4^+“2=/。2,所以NFLCF,

又由(1)^FLBE,CFCBE=F,CF,BE^BCDE,

所以“尸，面8cDE,

又CEu面BCDE,所以/尸_LC￡,

設〃是CE中點，連接FH,AH,

因為尸C=FE,

所以Fff_LCE,又AFcFH=F,4F,FHu平面AFH,

13

所以CE_L平面4ra,

又/尸u平面”尸4,所以CE_L/尸，

由題易得C￡=48=3C=挺,尸8=-8C==

22

AH=y/AF2+FH2=—

2

所以ABCE的面積為S/=^BC-CE=\,

AACE的面積為S^ACE=^CE-AF=；xV2x^-=?，

設點B到平面ACE的距離為d,

由^B-ACE~^A-BCE有§CE.d=飛SMCE.，F(xiàn),

gp—x^--(Z=-xlx1,所以

3233

所以點8到平面ACE的距離為空.

20.(12分)已知函數(shù)g(x)=ox-xlnxj(x)=xg(x),且g(x)N0.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)證明:存在%,/'(尤o)=O且0<尤o<1時，/(x)</(x0).

【答案】(1)1

(2)證明見解析

【分析】(1)要使g(x)N0,即g(x)m-0,對g(x)求導，得到g(無)的單調性和最值，即可求出實數(shù).

的值；

(2)對“X)求導，則尸(x)=2x-2-ln無，設〃(x)=2x-2-lnx,再對〃(x)求導，利用導數(shù)性質推導出尤=%

是“X)在(0,1)的唯一極大值點，即可證明.

【詳解】(1)顯然g(x)的定義域為(0,+司，且g'(x)="：,x>0.

因為g(x)W0,且g⑴=0,故只需g'⑴=0.

又g'⑴=。-1,貝1=0,a=1.

若a=l,貝Ug，(x)=l-1.顯然當0<x<l時，g'(x)<0,此時g(x)在(0,1)上單調遞減；

當x>l,g'(x)〉0,此時g(x)在(1,+oo)上單調遞增.

所以x=l是g(x)的唯一極小值點，

故g(x)2g⑴=0.綜上，所求。的值為1.

(2)由(1)知/(x)=x2—x—xlnx,/1x)=2x—2—Inx.

設//(x)=2x—2—lnx,則Ar(x)=2--

14

當xe（0,￡|時，〃（x）＜0；

當口寸，/z'（x）＞0,

所以在"，上單調遞減，

在上單調遞增.

又〃（e＞0,〃出＜0,〃⑴=0,

所以力打）在（0,；有唯一零點%,在；,+j上有唯一零點1,

且當xe（O,x（））時,A（x）＞0；當xe（xo，l）時〃（x）＜0；

因為r（x）=〃（x）,所以x=x°是/（尤）的唯一極大值點.

即尤=X。是“X）在（0,1）的最大值點,所以〃x）4"X。）成立.

22

XV

21.（12分）已知橢圓「:=1(。＞6〉0)，/、尸分別為r的左頂點和右焦點，。為坐標原點，以。4

（1）求橢圓r的離心率e；

（2）若b=2,直線1//AM,/交「于尸、0兩點，直線。尸，。。的斜率分別為勺，k2.

（i）若/過尸，求匕?質的值;

（ii）若/不過原點，求的最大值.

【答案】⑴孚

⑵（i）（ii）2V5

【分析】（1）根據(jù)所給條件求得點M坐標，帶入橢圓方程結合離心率的定義，進行求解即可；

（2）設P,Q,坐標分別為（外,乙），（巧，z），

（i）根據(jù)題意求得直線/的方程為好正（x-4）,聯(lián)立橢圓方程利用韋達定理直接求"2=之生即可；

3再入2

（ii）設直線/的方程為y=［（xT），（垓0）與橢圓方程聯(lián)立得8/+26）+/-20=0,利用韋達定理

得M+%=弘％由叉.。2=；＞恒-詞即可得解?

4oL

【詳解】（1）由已知點〃是以N。為直徑的圓上的點，

AZAMO=^,乂?.?|CM|=a,|OM|=j,：.\AM\=^-a,ZAOM=^,

15

（a粗、/吟整理叫T

:.Ma,又：點朋■在橢圓「上，；.一公

I44J+4

ab

（2）設尸（再,必）,Q（x2,y2）,

_22

（i）由6=2,°=26，，橢圓「的方程為：土+匕=1,

204

在RtA4（W中NO4W=4,.?.直線/的斜率為后=",

63

...直線/的方程為y=［（x-4）,與橢圓方程聯(lián)立得70;4

>=—（龍-4）

2

整理得：2x-10x+5=0,**?x2=59xxx2=—,

■■1,

Kk\kK2~一

XxX2XxX25

酷0與橢圓方程聯(lián)立得

消去x整理得：曠+2島+d_20=0,當A>0得04/<32,

.f2-20

,,,1+>2=—/=-Q-

4o

S&POQ=g1恒-力|=g/+%『一4乂%=J/（32"）

.?.當且僅當7=16時,S4POQ有最大值，此時最大值是2石

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設直線方程，設交點坐標為（國,%）,（%%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或V）的一元二次方程，必要時計算A；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關系轉化為網(wǎng)+馬、玉%（或M+力、M為）的形式