人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)模型之奔馳型（原卷版）

專題19旋轉(zhuǎn)模型之奔馳型

1.如圖，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,求的度數(shù).

B

產(chǎn)A

2..已知二，如圖，P為,等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，24=3,1叨=4,PC=5,求AABC的面積.

n(,

3.P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,ZAPS=15i00,求尸C的長(zhǎng).

4.如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形A5c內(nèi)一點(diǎn)，且上4=3,PB=4,PC=5,若將AAPB繞著點(diǎn)5逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)后得到ACQ8.

(1)求點(diǎn)P與點(diǎn)。之間的距離.

(2)求NAP3的度數(shù).

A

AC

5.如圖①，在等腰RtAAOB中,ZAOB=9Q°,OA=OB,點(diǎn)Af,N分別是邊AO,3c上的點(diǎn),

且O暇=ON,連接跖V,如圖②,將AMON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使AM//ON,連接AV,

BN.

(1)求證：M^OA=^NOB-,

(2)若NAON=30。，BN=3,求AAOB的面積.

A三」

圖①圖②

6.已知AABC為等邊三角形，D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，且=將AADE1繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，連接BD,CE交于點(diǎn)Q.

(1)求證：A4BD=AACE；

(2)連接AQ,求證：QA是NBQE的平分線.

7.如圖①，AABC和AADE■中，ABAC=ZDAE^90°,點(diǎn)D、E分別在邊鉆、AC上,

ZABC=ZADE=45°.

(1)如圖②，將AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖位置，若NS4￡>=30。，求NS4E1的度數(shù)；

(2)如圖②，將AADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度夕=時(shí)，直線AC與DE垂直

(0°<a,,360°)；

(3)如圖③，A4DE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，連接BD,且A￡)=4,AB=10,求BD的最大值

和最小值.

8.(1)如圖1,點(diǎn)尸是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，已知R4=3,PB=4,

要直接求Z4的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把

這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2,作440=60。使連接PD,CD,則AR4D是等

邊三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60。

AABC是等邊三角形

AC=AB,ABAC=60°

:.ZBAP=

.-.AABP=AACD

：.BP=CD=4,=ZADC

「在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=°

ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°

(2)如圖3,在AABC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,PB=2,PC=3,

求NAPS的度數(shù).

9.如圖，尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接R4,PB,PC,以3尸為邊作=60。，且3P=3。,

連接CQ.

(1)觀察并猜想"與C。之間的大小關(guān)系，并說明理由.

(2)若PA=3,/>5=4,PC=5,連接PQ,判斷APQC的形狀并說明理由.

10.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)尸，且上4=3,PB=4,PC=5,

求44PB度數(shù).

小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△鏟C,連接尸P,得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問題

解決(如圖2).

請(qǐng)回答：圖1中/4PB的度數(shù)等于—，圖2中々C的度數(shù)等于—.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-6,1),連接40.如果點(diǎn)3是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，

以鉆為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)C(x,y)在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

11.平移、旋轉(zhuǎn)、翻折是幾何圖形的最基本的三種圖形變換，利用圖形變換可將分散的條件相對(duì)集

中，以達(dá)到解決問題的目的.

(1)探究發(fā)現(xiàn)

如圖(1),P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,尸3=4,PC=5.求NARB的度數(shù).

解：將AAPC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AA/方的位置，連接尸P,則AA/火是三角形.

PP=PA=3,PB=4,PB'=PC=5,

P'P2+PB-=P'B2ABPP為三角形.ZAPB的度數(shù)為.

(2)類比延伸

在正方形ABCO內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接上4、PB、PC,若B4=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C

的長(zhǎng)；

(3)拓展遷移

如圖(3),在四邊形ABCD中，線段相＞與3c不平行，AC=BD=a,AC與SD交于點(diǎn)O,且

NA8=60。，比較AD+3C與。的大小關(guān)系，并說明理由.

12.(1)在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，陳老師給出了一道題.

如圖1,已知AABC中，NACB=90。，AC^BC,尸是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且24=3,PB=1,PC=2,

求N3PC的度數(shù).

小強(qiáng)在解決此題時(shí),是將AAPC繞C旋轉(zhuǎn)到NCBE的位置(即過C作CE_LCP,且使CE=CP,連

接EP、EB).你知道小強(qiáng)是怎么解決的嗎？

(2)請(qǐng)根據(jù)(1)的思想解決以下問題：

如圖2所示，設(shè)P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù).

13.如圖，P是等腰AABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,連接上4,PB,PC.

（1）如圖1,當(dāng)Z4BC=90。時(shí)，將AR4B繞5點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（2）在（1）中，若P4=2,PB=4,PC=6,求NAM的大小；

（3）當(dāng)NABC=60。時(shí)，且R4=3,PB=4,PC=5,則AAPC的面積是（直接填答案）

14.（1）如圖①，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接R4,PB,PC.

①畫出將APAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB；

②若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C的長(zhǎng).

（2）如圖②，設(shè)P是等邊三角形45c內(nèi)的一點(diǎn)，B4=3,PB=4,PC=5,則NAP3的度數(shù)是—

①②

15.（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,尸是正方形ABCD內(nèi)

一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PC現(xiàn)將APAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的4PCB,連接PP.若PA=&,

PB=3,NAPB=135。，則PC的長(zhǎng)為,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點(diǎn)P是等邊AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且R4=3,PB=4,PC=5,請(qǐng)猜想/4PB

的度數(shù)，并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，AD=3,CD=2,/45。=/48=//4￡）。=45。，則瓦》的長(zhǎng)度為.

16.下面是一道例題及其解答過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

(1)如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù).

解：將AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△AP5,連接小，則AAP戶為等邊三角形.

pp=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

PP2+PB2=PB2.

:MPP為三角形.

.?./4PB的度數(shù)為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,若Z4PD=135。，試判斷線段上4、PB、PD之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

17.問題提出

(1)如圖，點(diǎn)、M、N是直線/外兩點(diǎn)，在直線/上找一點(diǎn)K,使得MK+MC最小.

問題探究

(2)在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB度數(shù)的大小.

問題解決

(3)如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，A8=30坦米，8c=60米，現(xiàn)需要在對(duì)角線3。上修

一涼亭E,使得到公園出口A