線性代數(shù) 課件 趙建紅 第1-3章 緒論、線性方程組、高斯消元法

第一章緒論第一章

緒論為什么要學(xué)線性代數(shù)線性代數(shù)是什么如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)1.1為什么要學(xué)線性代數(shù)一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程；因此，一旦解決了方程問題，一切問題都將迎刃而解.——【法】笛卡爾學(xué)習(xí)意義：1.培養(yǎng)抽象思維能力2.掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)3.提高計(jì)算機(jī)編程能力4.拓展應(yīng)用1.1為什么要學(xué)線性代數(shù)具體來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)線性代數(shù)可以：1.理解和應(yīng)用線性代數(shù)的基本概念和原理，如向量、矩陣、行列式、線性方程組等；2.運(yùn)用線性代數(shù)的計(jì)算方法，如矩陣運(yùn)算、求逆、特征值和特征向量等；3.掌握線性代數(shù)的應(yīng)用，如圖像處理、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)等.線性代數(shù)更是應(yīng)用型專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，是新工科、新醫(yī)科、新農(nóng)科、新文科建設(shè)必不可少的重要支撐，學(xué)習(xí)線性代數(shù)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要意義.1.2線性代數(shù)是什么線性方程有未知量的個(gè)數(shù)和未知量的次數(shù)兩個(gè)關(guān)鍵因素未知量的次數(shù)是1，一般可認(rèn)為是線性的。代數(shù)代數(shù)——“任何數(shù)學(xué)對(duì)象用任何符號(hào)代之”。要打好基礎(chǔ)——理解概念——要掌握運(yùn)算——要多做練習(xí).1.3如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)具體的學(xué)習(xí)方法：預(yù)習(xí)——聽課——復(fù)習(xí)——做練習(xí)——總結(jié)回顧與小結(jié)1.線性代數(shù)的概念與意義2.線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法思考題1.查閱相關(guān)文獻(xiàn)，談一談對(duì)線性代數(shù)的認(rèn)識(shí)。第二章線性方程組第二章

線性方程組方程、多項(xiàng)式與線性方程組線性方程的矩陣表示矩陣2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組老子的《道德經(jīng)》第四十二章有“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”的論述，這代表了我國(guó)道教的宇宙生成論。時(shí)至今日，這一論述仍然指導(dǎo)著人們認(rèn)識(shí)這個(gè)世界。整個(gè)線性代數(shù)基本上都遵循這一規(guī)律，如線性方程組的方程個(gè)數(shù)，方程中未知量的個(gè)數(shù)都是由一到多進(jìn)行推導(dǎo)的。2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組一切的數(shù)學(xué)問題都是以建立等價(jià)關(guān)系的等式出發(fā)的，如果等式中有某個(gè)量未知，等式就變成了一元一次方程這里面有兩個(gè)“一”，一個(gè)是“元”，也就是未知量或，一個(gè)是“次”，也就是的次冪.關(guān)于“次”這條線可以按以下思路延伸：

2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組公式1.1稱為多項(xiàng)式.關(guān)于“元”這條線就是元逐漸增加，方程個(gè)數(shù)也可以隨之增加，直至n元一次，也就是：

2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組如果要將“元”和“次”逐漸增加并將兩個(gè)規(guī)律同時(shí)疊加，那就可以得到更加復(fù)雜的代數(shù)式，但在大多數(shù)情況下，我們只需用到ｎ元二次多項(xiàng)式就可以了．例如∑(ｎ)∑(ｎ)

就稱2-3為二次型

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.1矩陣的概念

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.2線性方程組的矩陣表示對(duì)于線性方程組由其系數(shù)按行、列排成下面這樣的矩形陣列稱為它的系數(shù)矩陣

2.2線性方程組的矩陣表示在其系數(shù)矩陣基礎(chǔ)上最后加上常數(shù)項(xiàng)作為一列的矩形陣列稱為它的增廣矩陣，可見線性方程組與增廣矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

其中：2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

2.2.2線性方程組的矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示當(dāng)

時(shí)，線性方程組1.2變成

此時(shí)稱其為不定方程組，對(duì)應(yīng)的矩陣是

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示

回顧與小結(jié)1.線性方程組與矩陣的概念；2.線性方程組的分類；3.線性方程組的矩陣表示。2.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

2.3矩陣對(duì)角矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣2.3矩陣對(duì)稱矩陣2.3.1幾類特殊矩陣同型矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣相等矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣①④②③鄰接矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣加法2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律如表2-1矩陣加法的運(yùn)算所示。表2-1矩陣加法的運(yùn)算條件交換律結(jié)合律其他

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣是相同矩陣加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算.

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律

結(jié)合律分配律備注矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3.2矩陣的運(yùn)算

.2.3矩陣2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算方陣的冪

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣轉(zhuǎn)置

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣2.3.3矩陣的用途

矩陣的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)表，可以簡(jiǎn)化許多現(xiàn)實(shí)生活中繁雜的關(guān)系.2.3矩陣產(chǎn)品發(fā)送量矩陣2.3.3矩陣的用途

2.二次曲線的矩陣2.3矩陣回顧與小結(jié)

1.幾類特殊矩陣；2.矩陣的運(yùn)算；3.矩陣的用途。

第三章高斯消元法第三章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容高斯消元法求解線性方程組矩陣的秩和可逆矩陣的逆矩陣特殊的可逆矩陣的逆矩陣形式3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法

是數(shù)學(xué)史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一，高斯消元法是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，它是以德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯命名的，出現(xiàn)在19世紀(jì)初。事實(shí)上，這一思想早就在中國(guó)古代的《九章算術(shù)》中便初露端倪。具體為《九章算術(shù)》中第八章“方程”中提出的“方程術(shù)”思想，它和高斯消元法有著非常相似的思想。九章算術(shù)高斯消元法文字描述符號(hào)表示主要用于求解含有兩個(gè)或三個(gè)未知數(shù)的線性方程組求解含有任意多個(gè)未知數(shù)的線性方程組兩者本質(zhì)上相同，但具體解法略有不同，高斯消元法更為簡(jiǎn)潔。兩者的主要區(qū)別3.1高斯消元法求解線性方程組《九章算術(shù)》第八章中以一個(gè)例子介紹“方程術(shù)”“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”其中“禾”指的是谷子，“秉”指的是“捆”，“實(shí)”指的是“果實(shí)”。利用這個(gè)例子，劉徽給出了古代解線性方程組的方法。它是中國(guó)古代人民的智慧結(jié)晶，比歐洲領(lǐng)先至少一千多年。3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法是指通過線性方程組中各個(gè)方程之間的等價(jià)運(yùn)算，使得方程組中未知數(shù)缺少越少，終極目標(biāo)為：當(dāng)知道某一未知數(shù)的值，即可回代逐一求得全體未知數(shù)的值。當(dāng)然，在消元過程中，也可能出現(xiàn)矛盾等式，此時(shí)方程組無(wú)解。實(shí)際上，高斯消元法通過對(duì)線性方程組進(jìn)行行變換，將其轉(zhuǎn)化為三角形方程組，然后再通過回代法求解出未知數(shù)的值，由以下例題加以說(shuō)明。求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解若有解則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值若無(wú)解則結(jié)束3.1高斯消元法求解線性方程組例1.《九章算術(shù)》第八章中介紹“方程術(shù)”的案例為：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”將其翻譯過來(lái)就是：現(xiàn)有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)39斗；上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆，下等谷子3捆，果實(shí)共計(jì)26斗，問上等、中等、下等谷子1捆分別是幾斗？3.1高斯消元法求解線性方程組

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無(wú)解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無(wú)解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值例2：求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無(wú)解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組

例3求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

待求方程組等價(jià)于：

于是，待求方程組的解為：

為任意實(shí)數(shù).3.1高斯消元法求解線性方程組例4求解線性方程組

3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

解：對(duì)應(yīng)的線性方程組為：

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.2

高斯消元法求矩陣的秩主要步驟為：（1）寫出矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組；（2）利用高斯消元化簡(jiǎn)線性方程組；（3）確定方程組中有效方程的個(gè)數(shù)就是矩陣的秩.一般來(lái)說(shuō)，可以通過高斯消元法求解矩陣的秩.3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：可以根據(jù)逆矩陣的定義利用定義法求逆矩陣.

根據(jù)矩陣相等的定義得：

分別解得

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：（1）對(duì)于不是方陣的

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：

3.3

高斯消元法求逆矩陣定理3.3.1可逆矩陣的逆矩陣唯一