線性代數(shù) 課件全套 趙建紅 第1-13章 緒論、線性方程組- 特征值與特征向量

第一章緒論第一章

緒論為什么要學(xué)線性代數(shù)線性代數(shù)是什么如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)1.1為什么要學(xué)線性代數(shù)一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程；因此，一旦解決了方程問題，一切問題都將迎刃而解.——【法】笛卡爾學(xué)習(xí)意義：1.培養(yǎng)抽象思維能力2.掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)3.提高計(jì)算機(jī)編程能力4.拓展應(yīng)用1.1為什么要學(xué)線性代數(shù)具體來說，學(xué)習(xí)線性代數(shù)可以：1.理解和應(yīng)用線性代數(shù)的基本概念和原理，如向量、矩陣、行列式、線性方程組等；2.運(yùn)用線性代數(shù)的計(jì)算方法，如矩陣運(yùn)算、求逆、特征值和特征向量等；3.掌握線性代數(shù)的應(yīng)用，如圖像處理、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)等.線性代數(shù)更是應(yīng)用型專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，是新工科、新醫(yī)科、新農(nóng)科、新文科建設(shè)必不可少的重要支撐，學(xué)習(xí)線性代數(shù)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展具有重要意義.1.2線性代數(shù)是什么線性方程有未知量的個(gè)數(shù)和未知量的次數(shù)兩個(gè)關(guān)鍵因素未知量的次數(shù)是1，一般可認(rèn)為是線性的。代數(shù)代數(shù)——“任何數(shù)學(xué)對(duì)象用任何符號(hào)代之”。要打好基礎(chǔ)——理解概念——要掌握運(yùn)算——要多做練習(xí).1.3如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)具體的學(xué)習(xí)方法：預(yù)習(xí)——聽課——復(fù)習(xí)——做練習(xí)——總結(jié)回顧與小結(jié)1.線性代數(shù)的概念與意義2.線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法思考題1.查閱相關(guān)文獻(xiàn)，談一談對(duì)線性代數(shù)的認(rèn)識(shí)。第二章線性方程組第二章

線性方程組方程、多項(xiàng)式與線性方程組線性方程的矩陣表示矩陣2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組老子的《道德經(jīng)》第四十二章有“道生一，一生二，二生三，三生萬物”的論述，這代表了我國(guó)道教的宇宙生成論。時(shí)至今日，這一論述仍然指導(dǎo)著人們認(rèn)識(shí)這個(gè)世界。整個(gè)線性代數(shù)基本上都遵循這一規(guī)律，如線性方程組的方程個(gè)數(shù)，方程中未知量的個(gè)數(shù)都是由一到多進(jìn)行推導(dǎo)的。2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組一切的數(shù)學(xué)問題都是以建立等價(jià)關(guān)系的等式出發(fā)的，如果等式中有某個(gè)量未知，等式就變成了一元一次方程這里面有兩個(gè)“一”，一個(gè)是“元”，也就是未知量或，一個(gè)是“次”，也就是的次冪.關(guān)于“次”這條線可以按以下思路延伸：

2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組公式1.1稱為多項(xiàng)式.關(guān)于“元”這條線就是元逐漸增加，方程個(gè)數(shù)也可以隨之增加，直至n元一次，也就是：

2.1方程、多項(xiàng)式與線性方程組如果要將“元”和“次”逐漸增加并將兩個(gè)規(guī)律同時(shí)疊加，那就可以得到更加復(fù)雜的代數(shù)式，但在大多數(shù)情況下，我們只需用到ｎ元二次多項(xiàng)式就可以了．例如∑(ｎ)∑(ｎ)

就稱2-3為二次型

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.1矩陣的概念

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.2線性方程組的矩陣表示對(duì)于線性方程組由其系數(shù)按行、列排成下面這樣的矩形陣列稱為它的系數(shù)矩陣

2.2線性方程組的矩陣表示在其系數(shù)矩陣基礎(chǔ)上最后加上常數(shù)項(xiàng)作為一列的矩形陣列稱為它的增廣矩陣，可見線性方程組與增廣矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

其中：2.2.2線性方程組的矩陣表示

2.2線性方程組的矩陣表示

2.2.2線性方程組的矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.3線性方程組的分類

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.4不定方程組及其矩陣表示

1.12.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示當(dāng)

時(shí)，線性方程組1.2變成

此時(shí)稱其為不定方程組，對(duì)應(yīng)的矩陣是

2.2線性方程組的矩陣表示2.2.5超定方程組及其矩陣表示

回顧與小結(jié)1.線性方程組與矩陣的概念；2.線性方程組的分類；3.線性方程組的矩陣表示。2.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

2.3矩陣對(duì)角矩陣2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣

1.12.3矩陣

2.3.1幾類特殊矩陣2.3矩陣對(duì)稱矩陣2.3.1幾類特殊矩陣同型矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣相等矩陣

1.12.3矩陣2.3.1幾類特殊矩陣①④②③鄰接矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣加法2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律如表2-1矩陣加法的運(yùn)算所示。表2-1矩陣加法的運(yùn)算條件交換律結(jié)合律其他

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣是相同矩陣加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算.

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律

結(jié)合律分配律備注矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

.

2.3.2矩陣的運(yùn)算

.2.3矩陣2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算方陣的冪

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算矩陣轉(zhuǎn)置

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣

1.12.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣

2.3矩陣2.3.2矩陣的運(yùn)算

2.3矩陣2.3.3矩陣的用途

矩陣的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)表，可以簡(jiǎn)化許多現(xiàn)實(shí)生活中繁雜的關(guān)系.2.3矩陣產(chǎn)品發(fā)送量矩陣2.3.3矩陣的用途

2.二次曲線的矩陣2.3矩陣回顧與小結(jié)

1.幾類特殊矩陣；2.矩陣的運(yùn)算；3.矩陣的用途。

第三章高斯消元法第三章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容高斯消元法求解線性方程組矩陣的秩和可逆矩陣的逆矩陣特殊的可逆矩陣的逆矩陣形式3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法

是數(shù)學(xué)史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一，高斯消元法是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，它是以德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯命名的，出現(xiàn)在19世紀(jì)初。事實(shí)上，這一思想早就在中國(guó)古代的《九章算術(shù)》中便初露端倪。具體為《九章算術(shù)》中第八章“方程”中提出的“方程術(shù)”思想，它和高斯消元法有著非常相似的思想。九章算術(shù)高斯消元法文字描述符號(hào)表示主要用于求解含有兩個(gè)或三個(gè)未知數(shù)的線性方程組求解含有任意多個(gè)未知數(shù)的線性方程組兩者本質(zhì)上相同，但具體解法略有不同，高斯消元法更為簡(jiǎn)潔。兩者的主要區(qū)別3.1高斯消元法求解線性方程組《九章算術(shù)》第八章中以一個(gè)例子介紹“方程術(shù)”“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”其中“禾”指的是谷子，“秉”指的是“捆”，“實(shí)”指的是“果實(shí)”。利用這個(gè)例子，劉徽給出了古代解線性方程組的方法。它是中國(guó)古代人民的智慧結(jié)晶，比歐洲領(lǐng)先至少一千多年。3.1高斯消元法求解線性方程組高斯消元法是指通過線性方程組中各個(gè)方程之間的等價(jià)運(yùn)算，使得方程組中未知數(shù)缺少越少，終極目標(biāo)為：當(dāng)知道某一未知數(shù)的值，即可回代逐一求得全體未知數(shù)的值。當(dāng)然，在消元過程中，也可能出現(xiàn)矛盾等式，此時(shí)方程組無解。實(shí)際上，高斯消元法通過對(duì)線性方程組進(jìn)行行變換，將其轉(zhuǎn)化為三角形方程組，然后再通過回代法求解出未知數(shù)的值，由以下例題加以說明。求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解若有解則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值若無解則結(jié)束3.1高斯消元法求解線性方程組例1.《九章算術(shù)》第八章中介紹“方程術(shù)”的案例為：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗．問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?”將其翻譯過來就是：現(xiàn)有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)39斗；上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果實(shí)共計(jì)34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆，下等谷子3捆，果實(shí)共計(jì)26斗，問上等、中等、下等谷子1捆分別是幾斗？3.1高斯消元法求解線性方程組

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值

3.1高斯消元法求解線性方程組求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值例2：求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.1高斯消元法求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組

例3求解線性方程組3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為：

待求方程組等價(jià)于：

于是，待求方程組的解為：

為任意實(shí)數(shù).3.1高斯消元法求解線性方程組例4求解線性方程組

3.1高斯消元法求解線性方程組解：利用高斯消元法從上往下消元依次為

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

3.2

高斯消元法求矩陣的秩

解：對(duì)應(yīng)的線性方程組為：

利用高斯消元法從上往下消元依次為：

3.2

高斯消元法求矩陣的秩主要步驟為：（1）寫出矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組；（2）利用高斯消元化簡(jiǎn)線性方程組；（3）確定方程組中有效方程的個(gè)數(shù)就是矩陣的秩.一般來說，可以通過高斯消元法求解矩陣的秩.3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：可以根據(jù)逆矩陣的定義利用定義法求逆矩陣.

根據(jù)矩陣相等的定義得：

分別解得

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：（1）對(duì)于不是方陣的

3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：

3.3

高斯消元法求逆矩陣定理3.3.1可逆矩陣的逆矩陣唯一.

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣

分析：利用消元法求逆矩陣.

3.3

高斯消元法求逆矩陣于是

即3.3

高斯消元法求逆矩陣

方程組（3-9）的解為：

利用高斯消元法對(duì)方程組（3-9）從上往下消元依次為：利用高斯消元法對(duì)方程組（3-10）從上往下消元依次為：

方程組（3-10）的解為：

3.3

高斯消元法求逆矩陣方程組（3-11）的解為：

利用高斯消元法對(duì)方程組（3-11）從上往下消元依次為：3.3

高斯消元法求逆矩陣思考：可逆矩陣的乘積矩陣是否可逆？

3.3

高斯消元法求逆矩陣

解：由題意根據(jù)例8的結(jié)果知3.3

高斯消元法求逆矩陣

3.3

高斯消元法求逆矩陣3.3

高斯消元法求逆矩陣

回顧與小結(jié)

1.逆矩陣的定義；2.用逆矩陣的定義求方陣的逆矩陣；3.用高斯消元法求方陣的逆矩陣。思考題與作業(yè)題

思考題：查閱相關(guān)資料，還有沒有其他方法求逆矩陣？作業(yè)題：課本31頁習(xí)題A：1，2，5；習(xí)題B：1，2.第四章初等變換法第四章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣的初等變換初等變換法求解線性方程組4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

由于線性方程組與它的增廣矩陣有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了解在求解線性方程組過程中增廣矩陣的變化，把消元過程中出現(xiàn)的線性方程組的增廣矩陣寫在該方程組的右邊．4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)酶咚瓜◤纳贤孪来螢椋?/p>

對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行的變化為：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨?種初等列變換（簡(jiǎn)稱列變換）.矩陣的初等變換改變了原來的矩陣，所得的新矩陣與原矩陣一般不相等，不能用等號(hào)“=”連接,而使用箭線“→”或波浪線“~”連接，表明后一個(gè)矩陣是由前一個(gè)矩陣經(jīng)過初等變換而得.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

線性方程組與其增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，對(duì)線性方程組的增廣矩陣做初等行變換所得矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組與原方程組同解．也就是說初等行變換不改變線性方程組的解．

注意：行變換可施行于任何矩陣，不僅僅是對(duì)于線性方程組的增廣矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行變換是可逆的：

同理，列變換也可逆.綜上，矩陣的變換都可逆，其逆變換為同類型的變換.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行階梯形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

這樣的矩陣，稱為階梯形矩陣.

將非零行的第一個(gè)非零元簡(jiǎn)稱為首非零元.

于是行階梯形矩陣需要具備2個(gè)特點(diǎn)：（1）畫一條階梯線，線下全為0.或者下一行的首非零元在上一行首非零元右側(cè)；（2）每個(gè)臺(tái)階只能跨1行.或者零行在最下方.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？答：A不是階梯形矩陣，因?yàn)榱阈胁辉谧钕路?；B也不是階梯形矩陣，因?yàn)橛幸粋€(gè)臺(tái)階跨了2行；C是階梯形矩陣，因?yàn)殡A梯線下全為0，且每個(gè)臺(tái)階只跨了1行，或者理解為零行在最下方，且下一行的首非零元總在上一行首非零元右側(cè)；D不是階梯形矩陣，第4行的首非零元不在第3行首非零元的右側(cè).4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

答：A不是行最簡(jiǎn)形矩陣，首先它就不是階梯形矩陣；B也不是行最簡(jiǎn)形矩陣，它是階梯形矩陣，首非零元所在列除它本身其余全為0，但并非全部首非零元都為1；C是行最簡(jiǎn)形矩陣，首先它是階梯形矩陣，全部首非零元都為1，且首非零元所在列除它本身其余全為0.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣標(biāo)準(zhǔn)形

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡(jiǎn)為階梯形、行最簡(jiǎn)形.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡(jiǎn)為階梯形、行最簡(jiǎn)形.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

解：第一步，從左往右，關(guān)注第1個(gè)非零列，使得首非零元在該列頂端，通過交換變換或者倍加變換，使得頂端的首非零元為該列下方元素的約數(shù)；

第二步，用倍加行變換將第1個(gè)非零列首非零元下方的元素變成0.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第三步，從左往右，關(guān)注第2個(gè)非零列，使得首非零元在第1個(gè)非零列首非零元的右下方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個(gè)非零列的首非零元為該列下方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元下方的元素變成0.

第四步，從左往右，關(guān)注第3個(gè)非零列，用上述的三個(gè)步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.

至此，得到階梯形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第五步，從右往左，關(guān)注第1個(gè)非零列，使得首非零元在該列末端，通過交換變換或者倍加變換，使得末端的首非零元為該列上方元素的約數(shù)；

第六步，從右往左，關(guān)注第2個(gè)非零列，使得首非零元在第1個(gè)非零列首非零元的左上方；通過交換變換或者倍加變換，使得第2個(gè)非零列的首非零元為該列上方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元上方的元素變成0.

第七步，從右往左，關(guān)注第3個(gè)非零列，用第五、第六的步驟把每個(gè)首非零元上方的各元素變成0.若某個(gè)首非零元不是1，用倍乘變換將它變成1.可以簡(jiǎn)單記憶為：從左往右、從上往下，變換矩陣為階梯形；從右往左、從下往上，變換階梯形為行最簡(jiǎn)形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣的秩指的是對(duì)應(yīng)線性方程組中有效方程的個(gè)數(shù).例4.1.5

求矩陣A的秩.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)?.1.5

求矩陣A的秩.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，1.矩陣等價(jià)回顧例4.1.1對(duì)線性方程組的求解，可知所有方程組均為等價(jià)方程組，方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣也等價(jià)．即若兩個(gè)線性方程組的增廣矩陣等價(jià)，則它們同解．由此得矩陣等價(jià)的定義

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，２.初等矩陣定義4.4對(duì)單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，３初等變換與初等矩陣的關(guān)系通過例4.1.7來探討初等變換與初等矩陣的關(guān)系

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

左行右列.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，４初等矩陣的逆矩陣在4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形中，已經(jīng)知道初等變換可逆，其逆變換為同類型的變換，現(xiàn)在考慮初等矩陣是否可逆？如果可逆，其逆矩陣是什么？

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)過相應(yīng)的初等變換得到的，再經(jīng)過同類型的初等逆變換又變回到單位矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，矩陣等價(jià)、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣等價(jià)、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，歸納總結(jié)后，得到如下定理

定理4.3

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

思考題

思考題

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

回顧與小結(jié)1.行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣初等變換的概念；2.用初等變換求矩陣的秩；3.用初等變換求逆矩陣。4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

定義4.2.14.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

方程組所有可能的解的集合稱為方程組的通解，即方程組全部解的一般表達(dá)式就是方程組的通解.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

定義4.2.24.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組定義4.2.3

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)解：根據(jù)前文有關(guān)定義知，(1)(2)(3)是非齊次線性方程組，(4)(5)(6)是齊次線性方程組.方程組(1)無解，(2)(3)有唯一解，(4)只有零解（有唯一解），(5)(6)有無窮多解.且(2)(3)、(5)(6)分別為同解方程組也即等價(jià)方程組.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組初等變換法求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

（2）（3）4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（2）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（3）

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.3求下列增廣矩陣對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組解：這3個(gè)增廣矩陣均為行最簡(jiǎn)形矩陣，可直接寫出方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組（3）對(duì)應(yīng)的3方程組為

等價(jià)于

等價(jià)于

于是原方程組的解為

顯然，如果非齊次方程組出現(xiàn)了矛盾等式則必然無解，否則有解.同理，有解時(shí)，沒有自由未知數(shù)則有唯一解，有自由未知數(shù)則有無窮多解.容易發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否一致決定了是否會(huì)出現(xiàn)矛盾等式，是否有自由未知數(shù)主要看系數(shù)矩陣（增廣矩陣）的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.4解線性方程組.4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.5

解線性方程組4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.6求解非齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.4非齊次線性方程組的解的性質(zhì)

回顧與小結(jié)1.齊次線性方程組、非齊次線性方程組、方程組的解的定義；2.初等變換法求解線性方程組的相關(guān)定理；3.初等變換法求解線性方程組的具體步驟；4.齊次線性方程組與非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。第五章克拉默法則第五章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容n階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算適定方程組的系數(shù)行列式克拉默法則每個(gè)線性方程組都唯一對(duì)應(yīng)于一個(gè)系數(shù)矩陣和增廣矩陣，并借矩陣可以求解一些線性方程組，對(duì)于適定方程組來說，有一種借助行列式得出線性方程組的公式解法——克拉默法則.行列式還可以判斷矩陣是否可逆等.接下來介紹適定方程組的系數(shù)行列式的概念.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

有沒有一種方法，它不需要以上這些消元的繁瑣過程，只需要給出方程組，就可以直接得到答案呢？５.１線性方程組的系數(shù)行列式1683年中國(guó)數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在他的著作《算法統(tǒng)宗》中提出了“垛積術(shù)”，用于計(jì)算行列式1693年德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在他的著作《論行列式》中也提出了行列式的概念.他們兩人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了行列式，并將其用于求解線性方程組.1750年瑞士數(shù)學(xué)家加百列·克拉默（GabrielCramer）發(fā)現(xiàn)了克拉默法則，該法則利用行列式來求解線性方程組的解.克拉默法則的發(fā)現(xiàn)使得行列式在求解線性方程組方面具有重要意義。十九世紀(jì)以后行列式理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善５.１線性方程組的系數(shù)行列式解方程組構(gòu)造行列式證明行列式可解方程組構(gòu)造成功５.１線性方程組的系數(shù)行列式總的來說，行列式的定義思路要曲折一些，大致是：

５.１線性方程組的系數(shù)行列式５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)二元適定方程組的解具有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.１線性方程組的系數(shù)行列式

二階行列式就是主對(duì)角線上的兩元素的乘積和次對(duì)角線上的兩元素的乘積之差.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

觀察上述解的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)三元適定方程的解有以下特點(diǎn)：５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

三階行列式運(yùn)算規(guī)則顯然，該解具有上述6個(gè)特點(diǎn).５.１線性方程組的系數(shù)行列式三階行列式等于表中所有不同行，不同列元素的乘積的代數(shù)和.圖5-2三階行列式對(duì)角線法則沿主對(duì)角線方向各實(shí)線相連的三個(gè)數(shù)的積取正號(hào)，沿次對(duì)角線方向各虛線相連的三個(gè)數(shù)的積取負(fù)號(hào).所得各項(xiàng)的代數(shù)和即為式（5-12）所示的三階行列式的值.三階行列式的值可以用圖5-2來記憶.５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.１線性方程組的系數(shù)行列式

５.2克拉默法則定理5.2.1（克拉默法則）

５.2克拉默法則５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

５.2克拉默法則

回顧與小結(jié)1.二階行列式與三階行列式的概念；2.二階行列式與三階行列式的計(jì)算方法；3.克拉默法則求解二元一次方程組和三元一次方程組的具體步驟。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算回顧二階、三階行列式的計(jì)算.

三階行列式運(yùn)算規(guī)則

二階行列式運(yùn)算規(guī)則５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

若是排列后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)小，符號(hào)為負(fù).

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號(hào)；有兩個(gè)大于一個(gè)小于時(shí)的排列在行列式中的項(xiàng)取正號(hào)；５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算若排列為

即三個(gè)數(shù)字從左到右依次比較，都是大于時(shí)排列在行列式的項(xiàng)中取負(fù)號(hào)；兩個(gè)小于一個(gè)大于時(shí)的排列再行列式中的項(xiàng)取負(fù)號(hào).若記小于號(hào)表示一個(gè)順序排列，大于號(hào)表示一個(gè)逆序排列，則有結(jié)論：二階、三階行列式的項(xiàng)中，若固定行標(biāo)為順序排列時(shí)，列標(biāo)是順序排列的項(xiàng)取正號(hào)；列標(biāo)有一個(gè)或三個(gè)逆序排列的項(xiàng)取負(fù)號(hào)；列標(biāo)有兩個(gè)逆序排列的項(xiàng)取正號(hào).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算5.3.1排列定義5.1如123456和453261是兩個(gè)6級(jí)排列，但是123425不是排列.

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見表5-1：表5-1n級(jí)排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12…選法…1

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法見表5-2：表5-25級(jí)排列從左到右每個(gè)位置選數(shù)的方法位置12345選法54321５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.2如排列312中，第一個(gè)位置是3，第二個(gè)位置是1，第一個(gè)位置的數(shù)比第二個(gè)位置的數(shù)大，這就構(gòu)成了一個(gè)逆序;第三個(gè)位置的數(shù)為2，第一個(gè)位置的數(shù)比第三個(gè)位置的數(shù)大，這也構(gòu)成了一個(gè)逆序.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.3根據(jù)定義，求一個(gè)排列的逆序數(shù)的步驟：依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算于是排列的逆序數(shù)為t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.217986354↓↓↓↓↓↓↓↓↓010013445例5.3.2

求排列217986354的逆序數(shù)。解：

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換.將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換.定義5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.2如12534這個(gè)排列的逆序數(shù)為2，是一個(gè)偶排列，若將2與5對(duì)換，即經(jīng)過一次相鄰對(duì)換，變?yōu)榕帕?5234，其逆序數(shù)為3，是一個(gè)奇排列；若將2與4對(duì)換一次，變?yōu)榕帕?4532，其逆序數(shù)為5，是一個(gè)奇排列，可見對(duì)換一次會(huì)改變排列的奇偶性.任意一個(gè)排列經(jīng)過一次對(duì)換后，其奇偶性發(fā)生改變.定理5.3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.5

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.6

性質(zhì)1

注：性質(zhì)1說明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)2

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)3

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)4５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)5５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

性質(zhì)6５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算數(shù)學(xué)上常用的一種思想方法是將復(fù)雜的對(duì)象轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的對(duì)象再進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而就有了降冪、降階等思想，自然的思考到，低階的行列式比高階的行列式簡(jiǎn)單，那么高階的行列式能否轉(zhuǎn)化為低階的行列式再進(jìn)行計(jì)算呢？答案依然是肯定的，這就是下面給出的行列式展開定理.5.3.4行列式展開定理５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定義5.7

注：（1）行列式中每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式；

（2）一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān)，而與該元素的取值無關(guān).５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

定理5.4

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

５.3ｎ階行列式的概念、性質(zhì)與計(jì)算

回顧與小結(jié)

1.線性方程組與矩陣的概念；2.線性方程組的分類；

3.線性方程組的矩陣表示第六章第六章

第一節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算法求解線性方程組6.1矩陣運(yùn)算

這一章主要介紹矩陣運(yùn)算及矩陣運(yùn)算法求解線性方程組.6.1矩陣運(yùn)算一、引例某高校期中、期末考試有選擇題、填空題、解答題三種類型的題，小王期中、期末考試答對(duì)選擇題分別為10題、6題，答對(duì)填空題分別為3題、5題，答對(duì)解答題分別為6題、7題；小李期中、期末考試答對(duì)選擇題分別為8題、4題，答對(duì)填空題分別為3題、2題，答對(duì)解答題分別為5題、6題.選擇題每題2分，填空題每題3分，解答題每題8分.問：（1）他們兩次考試各題型的分別答對(duì)了多少題？（2）他們期中、期末成績(jī)分別為多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他們的總評(píng)成績(jī)分別為多少？小王、小李在兩次數(shù)學(xué)考試中答對(duì)題數(shù)如表6-1考試情況所示：

題型

答題數(shù)姓名期中期末選擇題填空題解答題選擇題填空題解答題小王1036657小李8354266.1矩陣運(yùn)算思考：（1）如何用矩陣表示他們兩次考試各題型的答對(duì)題數(shù)？（2）如何用矩陣表示他們期中、期末成績(jī)？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩陣表示他們的總評(píng)成績(jī)？6.1矩陣運(yùn)算

二、矩陣的運(yùn)算6.1矩陣運(yùn)算

現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的矩陣問題來處理，矩陣加減法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、矩陣的逆等運(yùn)算不僅符合數(shù)學(xué)邏輯，而且在現(xiàn)實(shí)生活中都有其實(shí)際意義.6.1矩陣運(yùn)算

圖6-1矩陣加法

6.1矩陣運(yùn)算

圖6-1矩陣加法

所以矩陣加法的幾何意義就是：它可以將兩個(gè)向量組合并成一個(gè)新的向量組，這個(gè)新的向量組包含了原來兩個(gè)向量組中的所有向量.6.1矩陣運(yùn)算

當(dāng)然，如果有更多的向量組合起來，可以形成這樣的矩陣乘法.6.1矩陣運(yùn)算

圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運(yùn)算

圖6-3篩子及篩眼四、矩陣的秩圖6-2矩陣乘法6.1矩陣運(yùn)算那么矩陣A的秩rank(A)可以看作篩眼的大小，R(A)越小對(duì)應(yīng)的篩眼越?。ê雎缘艉Y子的形狀，下面用帶網(wǎng)格的圓來表示篩子），如圖6-4秩與篩子大小所示：圖6-4秩與篩子大小

圖6-5網(wǎng)格圓表示篩子6.1矩陣運(yùn)算可以用帶網(wǎng)格兩個(gè)圓來表示這兩個(gè)篩子，可以看到各自的篩眼大小不同，也就是各自的矩陣的秩不相同，如圖6-6不同篩眼疊加所示：

當(dāng)這兩個(gè)篩子疊在一起的時(shí)候，疊加部分的篩眼變小了，比單獨(dú)某一個(gè)篩子的篩眼要小,此時(shí)有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).當(dāng)然還有可能矩陣A，B的秩相同，篩眼大小相同，這時(shí)疊在一起時(shí)，疊加部分的篩眼等于其中某一個(gè)篩子的篩眼，如圖6-7相同篩眼疊加所示，此時(shí)有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

綜上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).圖6-6不同篩眼疊加圖6-7相同篩眼疊加6.1矩陣運(yùn)算五、矩陣的轉(zhuǎn)置

產(chǎn)品原料（噸）

甲

乙9445310例6.1.1一個(gè)工廠生產(chǎn)甲、已兩種產(chǎn)品，需用A，B，C三種原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算六、方陣的行列式

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算七、矩陣的逆基于矩陣乘法和逆矩陣定義使用待定系數(shù)法求逆矩陣

6.1矩陣運(yùn)算矩陣分塊法求逆矩陣

6.1矩陣運(yùn)算逆矩陣的幾何意義：線性變換的“逆變換”

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算逆矩陣的應(yīng)用：矩陣編制Hill密碼密碼學(xué)在經(jīng)濟(jì)和軍事方面都起著極其重要的作用.1929年，希爾（Hill）通過矩陣?yán)碚搶?duì)傳輸信息進(jìn)行加密處理，提出了在密碼學(xué)史上有重要地位的希爾加密算法.下面我們介紹一下這種算法的基本思想.

6.1矩陣運(yùn)算

6.1矩陣運(yùn)算

在實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇不同的可逆矩陣，不同的映射關(guān)系，也可以把字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證了傳遞信息的秘密性.上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面.6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組二、矩陣乘法、逆矩陣法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組三、逆矩陣法求解線性方程組：圖6-8逆矩陣法求解線性方程組設(shè)AX=B，A可逆，則X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步驟如圖6-8逆矩陣法求解線性方程組所示：6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

四、應(yīng)用拓展表6-3營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)表要求既滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料方案.

飼料蛋白質(zhì)（克）礦物質(zhì)（克）維生素（毫克）價(jià)格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最優(yōu)問題例6.2.7

某動(dòng)物園飼養(yǎng)動(dòng)物，設(shè)每頭動(dòng)物每天需要300克蛋白質(zhì)，90克礦物質(zhì)，100毫克維生素.現(xiàn)有4種飼料可供使用，各種飼料每公斤營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如表6-3營(yíng)養(yǎng)成分及單價(jià)表所示：6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

求解線性方程組首先要判斷線性方程組是否有解，若無解則結(jié)束；若有解，則利用高斯消元法化簡(jiǎn)方程組并求得全體未知數(shù)的取值

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組

6.2矩陣運(yùn)算法求解線性方程組逆矩陣法求解線性方程組回顧與小結(jié)第七章向量空間法第七章

第一節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容向量導(dǎo)入向量是線性代數(shù)中最基本的概念，在數(shù)學(xué)和應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，它不僅是解決幾何問題的橋梁，而且在物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域中扮演著重要的角色.向量空間是滿足某些性質(zhì)的集合，在向量空間中通過描述向量與矩陣的關(guān)系，向量與向量的線性組合來解決線性方程組解的問題.本章主要介紹了二維向量，三維向量，n維向量以及向量空間的基礎(chǔ)概念和性質(zhì)，在向量空間中通過向量組的性質(zhì)來求解齊次（非齊次）線性方程的解.一、向量《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）是艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643-1727）的偉大著作，在這本書中他確立了牛頓物理學(xué)的原理，用經(jīng)典的二維和三維幾何學(xué)為“運(yùn)動(dòng)”和“力”這兩個(gè)新演員搭建舞臺(tái)，牛頓發(fā)現(xiàn)，對(duì)力的分析需要人們同時(shí)獲取“力有多大？”以及“在什么方向上施力？”在這方面，他預(yù)見了向量的概念，向量是具有大小和方向的數(shù)學(xué)量.第一節(jié)向量向量是指既有大小又有方向的量，僅有大小沒有方向的量叫做標(biāo)量或數(shù)量.二、二維向量存在于在同一個(gè)平面的“向量”稱為二維向量，又稱為平面向量.例如物理中的力和速度，這些量是既有大小又有方向的二維向量的三種表示：幾何表示：帶有方向的線段叫做有向線段，如圖7-1二維向量所示，A是起點(diǎn)，B是終點(diǎn)，箭頭表示方向.向量可以用有向線段表示.其中有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小.圖7-1二維向量

一切向量的共性是它們都有大小和方向，因此與起點(diǎn)無關(guān)的向量稱為自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移，平移后不影響向量的大小及方向.本文所研究的向量均為自由向量.

圖7-3向量a的坐標(biāo)表示

圖7-2向量的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的夾角及位置關(guān)系圖7-4向量的夾角

圖7-5木塊滑動(dòng)

圖7-6向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則兩向量首位順次相接，首指向尾為和

圖7-7向量加法的平行四邊形法則兩向量共起點(diǎn)為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和.向量加法的平行四邊形法則

圖7-11平行向量的和

圖7-12向量加法的交換律

圖7-13向量加法的結(jié)合律

向量減法運(yùn)算

即兩向量相減，共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖7-14向量減法的平行四邊形法則

圖7-15向量減法的三角形法則

向量的數(shù)乘運(yùn)算向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)：

圖7-16向量加法的結(jié)合律向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)：

圖7-17向量加法的分配律（1）圖7-18向量加法的分配律（2）

定理7.1.1

向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

三、三維向量圖7-21空間直角坐標(biāo)系

圖7-22右手法則空間直角坐標(biāo)系中任意兩條坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，這樣的平面稱為坐標(biāo)面.空間直角坐標(biāo)系有三個(gè)坐標(biāo)面，分別是由x軸、y軸所確定的xoy面，由y軸、z軸所確定的yoz面，由x軸、z軸所確定的zox面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦限，如圖7-23空間直角坐標(biāo)系卦限圖所示.圖7-23空間直角坐標(biāo)系卦限圖

表7-1空間直角坐標(biāo)系的八個(gè)卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII幾何表示：與二維向量類似，空間中的有向線段可以表示三維向量，如圖7-24三維向量，A是起點(diǎn)，B是終點(diǎn)，箭頭表示方向.有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小.圖7-24三維向量三維向量的三種表示

圖7-25三維向量的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的夾角及位置關(guān)系圖7-26空間兩向量的夾角

向量的共線與共面

三維向量的線性運(yùn)算

向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量的方向角與方向余弦圖7-27向量的方向角

向量在軸上的投影圖7-28向量投影

數(shù)量積的坐標(biāo)表示

圖7-30數(shù)量積的分配律

圖7-30數(shù)量積的分配律

圖7-31數(shù)量積的數(shù)乘

向量積

向量的運(yùn)算

向量的運(yùn)算

向量與矩陣的關(guān)系

向量組

類似地

線性方程組的向量表示

五、向量空間

定義7.1.1線性關(guān)系

定義7.1.2

定義7.1.3

若向量組有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組整體線性相關(guān)．定理7.1.2

推論7.1.2-1

定理7.1.3

定理7.1.4

定理7.1.5

向量組的秩

定義7.1.4

定義7.1.5

定理7.1.6

推論7.1.6-1

等價(jià)的向量組具有相等的秩．

推論7.1.6-2

推論7.1.6-3

1、二維向量，2、三維向量，3、n維向量以及向量空間的基礎(chǔ)概念和性質(zhì)回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的2、3、6；第二題的4、5。

作業(yè)題：課后習(xí)題A第三題的2、4、5。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第七章向量空間法第七章

第二節(jié)主要學(xué)習(xí)內(nèi)容向量空間法求解線性方程組線性方程組在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛，不僅在工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信、航空等學(xué)科和領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，同時(shí)在理工類的后續(xù)課程中廣泛應(yīng)用，如電路、理論力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理等課程.為了更好地解決問題，必須在解題過程中理論聯(lián)系實(shí)際，通過適當(dāng)變換，學(xué)會(huì)選擇最有效的方法來進(jìn)行解題.【導(dǎo)入】

產(chǎn)出分配購買者五金化工能源機(jī)械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2機(jī)械

在前面的章節(jié)中，我們介紹了利用高斯消元法、初等變換法、克萊姆法則以及利用矩陣求解線性方程組.那么在我們學(xué)習(xí)了向量組的知識(shí)后，我們可以進(jìn)一步討論當(dāng)線性方程組有無窮多組解時(shí)，這些解具有什么樣的“結(jié)構(gòu)”，即解決如下的問題：各組解之間具有什么關(guān)系？如何利用“老解”得出“新解”？如何利用已知的解表示出方程組的全部解.

第二節(jié)向量空間法解線性方程組一、齊次線性方程組齊次線性方程組的向量表示

性質(zhì)7.2.1

性質(zhì)7.2.2

齊次線性方程組的通解和基礎(chǔ)解系

二、非齊次線性方程組

性質(zhì)7.2.3

性質(zhì)7.2.4

非齊次線性方程組的通解

回顧與小結(jié)

1.齊次線性方程組的通解和基礎(chǔ)解系2.非齊次線性方程組的通解思考題與作業(yè)題

思考題：課后習(xí)題A第一題的10。作業(yè)題：課后習(xí)題A第三題的7、11。第八章線性變換第八章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容變換線性變換變是絕對(duì)的，不變是相對(duì)的，數(shù)學(xué)就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種關(guān)系可以用點(diǎn)的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數(shù)中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應(yīng)用.【導(dǎo)入】在日常生活中，如縮放、旋轉(zhuǎn)、投影等現(xiàn)象，都是線性代數(shù)中的變換用相機(jī)拍出的照片，可根據(jù)人們的需求進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現(xiàn)實(shí)世界中的事物是原像，拍照后，相機(jī)拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機(jī)拍出的照片的每個(gè)點(diǎn)稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進(jìn)行縮放后的圖片對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為原像在這個(gè)縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉(zhuǎn)軸和公轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，某個(gè)圖形繞一個(gè)具體的點(diǎn)按照一個(gè)具體方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉(zhuǎn)可看成繞軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點(diǎn)可以看成隨自轉(zhuǎn)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換夏天大樹在陽光下的陰影可以看成大樹這個(gè)立體對(duì)地面的投影，同樣地將大樹上任意一點(diǎn)叫作原像，對(duì)應(yīng)到地面上的影子為該點(diǎn)在投影變換下的像，見圖8-4.當(dāng)然處理力學(xué)問題時(shí)討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個(gè)投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現(xiàn)象在宇宙中無時(shí)無刻都在進(jìn)行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉(zhuǎn)星移、萬物生長(zhǎng)、量子糾纏、測(cè)量物體等都物體前后對(duì)應(yīng)的關(guān)系都可以看成數(shù)學(xué)上的變換.數(shù)學(xué)上將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為映射，而在以往的學(xué)習(xí)中最常見的映射就是函數(shù).上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對(duì)象以一種特殊但是確定的方式聯(lián)系在一起，這里的對(duì)象可以是數(shù)字、向量、函數(shù)、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經(jīng)常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質(zhì)，需要借助數(shù)學(xué)思維將這些含有實(shí)際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現(xiàn)實(shí)世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對(duì)底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動(dòng)作會(huì)發(fā)現(xiàn)還有許多這樣的例子，計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）同樣是將病人體內(nèi)的器官投影到影片上，繪制地圖的時(shí)候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換