2024年河南省周口市高考數(shù)學(xué)二模試卷（含答案）

2024年河南省周口市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U={%|-1<久<5},集合4滿足={x|0W%<3},貝！|()

A.0e71B.leAC.2EAD.3gX

2.數(shù)據(jù)6.0,7,4,8,0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位數(shù)為()

A.8.5B,8.6C,8.7D,8.8

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且的=1,a9=16,設(shè)等差數(shù)列{幻}的前n項(xiàng)和為S”若氏=。5,則S9=()

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,m(m〉0)為整數(shù)，若a和b

被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對(duì)模m同余，記為a=b(modm).若a=C%?2+C外22+...+嗡-220

,a=b(modl0),貝帕的值可以是()

A.2018B.2020C,2022D,2024

5.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=4S譏33但我們平時(shí)聽(tīng)

到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

f(x)=sinx+|sin2x(x6R),則下列說(shuō)法正確的是()

A"(x)的一個(gè)周期為兀B"(x)的最大值為|

7T

C./(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(萬(wàn),0)對(duì)稱DJ(x)在區(qū)間［0,汨上有2個(gè)零點(diǎn)

6.在某次測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5,0.6和0.7,且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)

立，測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為

()

A5R-C-D-

882929

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)2(2,4),8(-2,-4),動(dòng)點(diǎn)P滿足而?百5=-1,貝!ItanNPB。的最大值為()

A乳紅B.宜空C.區(qū)恒D.顯

2129412

8.已知雙曲線C：:—\=l(a>°力>。)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,雙曲線C的離心率為e,在第一象限

存在點(diǎn)P,滿足e”inNPF#2=l，且Sm/F2=4a2,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.2x±y=0B.%±2y=0C.3%±y=0D.x±3y=0

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二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi=2-*i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4復(fù)數(shù)Z2=zi-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B,下列說(shuō)法正確的是()

乙L.

2

A.|zi|=\z2\=1B.z1-z2=|z1|

C.向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1D.|通|=|zi-z2|

10.如圖，在矩形ABBMi中，44i=l,AB=4,點(diǎn)C,D,E與點(diǎn)J,2,為分別是線段AB與4道i的四等

分點(diǎn).若把矩形ABB遇i卷成以44i為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與BBi重合，則以下說(shuō)法正確的是()

AiCiDiEIBi

B

A.直線4cl與D%異面B.AE〃平面4CD

C.直線DE】與平面AEDi垂直D.點(diǎn)J到平面DDi%的距離為獨(dú)

71

11.己知函數(shù)/■(%)的定義域?yàn)镽,且/'(久+y)/(x-y)=y2(x)-/2(y),/(l)=1,f(2x+1)為偶函數(shù)，則

()

A./(0)=0B"(x)為偶函數(shù)

C./(2+x)=-/(2-x)D.小鴛f(k)=0

三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

12.拋物線/=’的準(zhǔn)線方程為y=1,則實(shí)數(shù)a的值為.

13.在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=#,b=4,c-cosB+a=0,則邊c=

Q77-

，點(diǎn)D在線段4B上，且“D4=^,貝|CD=.

14.已知不等式/3+1-23N6對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，貝2的最大值為

a-----------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授

予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝

負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)

人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為看各局比賽的結(jié)果相

互獨(dú)立.

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。)求前3局比賽甲都取勝的概率；

(II)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=a(x2—Znx)+(1—2a2)x(a>0).

①若％=1是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

17.(本小題15分)

如圖，在多面體D4BCE中，△ABC是等邊三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=\/2.

(I)求證：BC1AE-,

(II)若二面角A-BC—E為30。，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

已知橢圓E：1+居=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),且焦距為2?

①求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑺過(guò)點(diǎn)S(LO)作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)弦AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.

①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；

②若弦AB,CD的斜率均存在，求面積的最大值.

19.(本小題17分)

已知數(shù)列5｝為有窮數(shù)列，且在6N*,若數(shù)列｛崎滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列5｝為小的k增數(shù)列;

1)(11+0,2++…+C1n=771;

②對(duì)于1<i<j<n,使得七<%的正整數(shù)對(duì)(打)有k個(gè).

①寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列；

(II)當(dāng)n=5時(shí)，若存在ni的6增數(shù)列，求機(jī)的最小值；

(III)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.

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參考答案

1.5

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AD

IQ.ABD

11.ACD

12--

j4

13.汨警

14.2—2伍2

15.解：（I）前3局比賽甲都取勝的概率為P=|x|x|=1;

（II）X的所有可能取值為0,1,2,3.其中，X=0表示第l局乙輸，第2局是甲丙上場(chǎng)，第3局是乙輸，則

P（X=0）=fx|=1；

X=1表示乙贏1局，即第1局乙贏，第2局乙輸，或第1局乙輸，第3局乙贏；則p（x=1）=!義升99

1

=-?

2，

X=2表示乙贏2局，即第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則p（x=2）=*—

ZZZo

X=3表示第1局乙贏，第2局乙贏，第3局乙贏，則p（x=3）JxJxJ=J

ZZZo

則X的分布列為：

X0123

1111

p4288

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x|+lx|+2xJ+3xJ-1.

4Zooo

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16.解：(I)函數(shù)/(%)=a(x2-Znx)+(l-2a2)x(a之0)的定義域?yàn)?0,+8),

f'(x)=磯2%-》+l-2a2=(2〃+?”),

因?yàn)閤=1是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，

所以((1)=0,即(2a+l)(l—a)=0,a>0,

解得Q=1,經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)a=1時(shí)，%=1是函數(shù)y=/(%)的極值點(diǎn)，

所以Q=1.

(II)由①知［0)=(2ax+?”),aNO,

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)減區(qū)間;

當(dāng)a〉0時(shí)，當(dāng)0<久<a時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x>a時(shí)，f'(x)>0,

所以函數(shù)/'(x)的遞減區(qū)間為(0,a),增區(qū)間為(a,+oo).

綜上，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)人比)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)/"(%)的遞減區(qū)間為(0,a),增區(qū)間為(a,+oo).

17.(1)證明：如圖，取BC中點(diǎn)0,連接A。，E0,

???△4BC是等邊三角形，。為8C中點(diǎn)，

???AO1BC,又EB=EC,

EO1BC,A。DEO—0,

BC1平面4E。，又ZEu平面4E。,

BC1AE-,

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解：（II）連接。。，則。。1BC,由48=2C=BC=2,DB=DC=EB=EC=也,

則4。=4，DO=1,又AD=2,

AO2+DO2=AD2,

DO14。，又2。nBC=0,

???DO1平面ABC,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4OB,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(居0,0),C(0,-l,0),￡>(0,0,1),

CX=(73,1,0),CO=(0,1,1),

設(shè)平面力CD的法向量為五=(x,y,z),

則林?刀=0,/而=0,

即/%+y=0,y+z=0,

取x=l,則n=(l,-避,避)，

???N40E是二面角力一BC-E的平面角，

.-./.AOE=30°,又0E=1,

■■■喈,0,一分麗=(爭(zhēng)

設(shè)直線0E與平面力CD所成角為0,

則sin。=|cos<'DE,n>\=竺巧=芳一嗚=紅,

\DE\\n\7

直線DE與平面4CD所成角的正弦值為字.

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18.解：(I)因?yàn)闄E圓E過(guò)點(diǎn)(0,1),且焦距為2道，

所以b=1,c=木,

可得小=Z?2+c2=4,

則橢圓E的方程為《+y2=l；

(n)①證明：不妨設(shè)直線4B的方程為x=my+l(m70),4(無(wú)1，月)，8。2,丫2)，

可得直線CD的方程為x=~^y+l(m*0),

X=my+1

聯(lián)立/+y2=i,消去工并整理得0n2+4)y2+27ny-3=0,

,4夕一

止匕時(shí)4=16m2+48>0,

由韋達(dá)定理得為+及=五強(qiáng)，

一一4一772

所以M"+4，力2+4)，

同理得N(飾』)，

當(dāng)舟=饋\，即小=1時(shí)，

直線MN的方程為％=專

此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)P專0)；

當(dāng)447n2

m2+41+4m2'

即m2力1時(shí)，直線MN的斜率k=4(端彳1)，

所以直線MN的方程為y+=就為(％—菽匕)(巾2中l(wèi),m力0),

令y=0,

鏟出_40n2_1)4______47n2+16_4

+2=29

用牛付X=5^2_|_4)(m+4)5(m+4)-5

所以直線MN恒過(guò)點(diǎn)P(,0)；

4

當(dāng)血=0時(shí)，易得直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(g,o),

綜上，直線MN必過(guò)點(diǎn)P(*0)；

@^^JS^MNS=sAMPSsNPS=-^\KS\-\yM~yN\

第7頁(yè)，共9頁(yè)

11mm1|m3+m\_工17n士方?

25'1+4m2m2+42?4m4+17m2+4=2*4m2+++17,

不妨令1=|血+\|,t>2,

i|T?IH—|1t11

此時(shí)?析戶一?-----=一?

24t2+924t+j,

因?yàn)楹瘮?shù)y=4t+?在［2,+8)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)y在［2,+8)上單調(diào)遞減,

即54MNSW)，4X2+2=《,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,m=±l時(shí)，等號(hào)成立,

Z什入乙T2

故△MNS面積的最大值為白.

19廨：(I)由題意得(21+a2+■■■+an-4且對(duì)于1<i<j<4,使得七<%的正整數(shù)對(duì)(ij)有1個(gè),

由于1+2+1=4或1+3=4,

故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列L2,1和數(shù)列1,3.

(II)當(dāng)n=5時(shí)，存在巾的6增數(shù)列，

即a1+a2+a3+a4+a5=m,且對(duì)于1<i<j<5,使得％<出的正整數(shù)對(duì)(iJ)有6個(gè)，

所以數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以加N6且爪SN*,

若=6,滿足要求的數(shù)列｛an｝中有四項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,

所以kW4,不符合題意，所以m>6.

若爪=7,滿足要求的數(shù)列｛4