基本初等函數(shù)與應(yīng)用講義-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是R.

2.指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(?！?,且awl)的結(jié)構(gòu)特征

(1)底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；

(2)指數(shù)：僅有自變量x；

(3)系數(shù)：/的系數(shù)是.

3.指數(shù)函數(shù)的定義域

(1)對(duì)于y=〃⑺這類函數(shù):定義域是指使/(%)有意義的x的取值范圍.

(2)對(duì)于y=(a")+從優(yōu)+c這類函數(shù):定義域是R.

4.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

(1)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用：

①比較大?。簩?duì)指數(shù)式比較大小時(shí)，要看底數(shù)與指數(shù)是否相同。

若底數(shù)相同、指數(shù)不同，可直接利用性比較；

若底數(shù)不同、指數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的解決；

若底數(shù)不同、指數(shù)也不同，可以采用法，中間量常取1.

②解含指數(shù)式的不等式：先將不等式的兩邊化成同底的指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉底數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟

悉的不等式求解.

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：o

5.指數(shù)函數(shù)的值域

(1)對(duì)于值域問題，一方面要考慮函數(shù)的和性，另一方面還必須兼顧指數(shù)函數(shù)的值域是.

(2)對(duì)于＞=這類函數(shù)，值域問題，應(yīng)分以下兩步求解：

①由定義域求出_________________的值域；

②利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或利用圖象求得此函數(shù)的值域.

(3)對(duì)于丁=(/)2+4"+。這類函數(shù)，值域可以分以下兩步求解：

①設(shè),求出____________的范圍；

②利用二次函數(shù)y=d+61+。的配方法求函數(shù)的值域.

6.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題

定點(diǎn)問題處理思路：令變量整體為0,得?！?1.

【例題分析】

例1.函數(shù)y=(2]—3a+2)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則。的取值范圍是

例3.若函數(shù)/(x)=小2,+2”—1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍是

例4.函數(shù)/(%)=當(dāng)'3+5的單調(diào)遞減區(qū)間為

([、-3%+2

例5.函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間是一

例6.設(shè)a=0.6°6,b=0.6",c=1.5°6,則a,b,c的大小關(guān)系是

例7.設(shè)a=(2",b=(3",c=(3",則a,4c的大小關(guān)系為一

例8.函數(shù)y=的值域是

1-2r

例9.函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

-1+2、

例10.若函數(shù)y=/2+3則該函數(shù)過的定點(diǎn)為.

【變式訓(xùn)練】

,1

1.若函數(shù)/（x）=（/—34+3）（1廠+?！?是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

2.函數(shù)〃尤）="#-%,*--T的定義域?yàn)?/p>

42、

3.已知〃=36^b=yc=9^則〃，b,c的大小關(guān)系

33

4.已知〃=1.4一］，b=\,7?°=1?7-2,則。，b,c的大小關(guān)系

5.函數(shù)y=—2一一一2%+1的單調(diào)遞增區(qū)間為

6.函數(shù)丁=（；）一/+2、的值域是

7.已知函數(shù)/（%）=。21+“（a〉0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)p（m,2）,則7篦+〃

知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一般地，我們把函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征

(1)對(duì)數(shù)符號(hào)前面的系數(shù)是；

(2)對(duì)數(shù)的底數(shù)是的正實(shí)數(shù)(常數(shù))；

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

(1)分式中分母;

(2)偶次根式中被開方數(shù)；

(3)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于,底數(shù)大于______且不為；

冗

(4)正切函數(shù)y=tan尤中，］彳?+左乃(左eZ)；

(5)求定義域只能在原函數(shù)解析式中求，不能對(duì)解析式變形.

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

(1)比較對(duì)數(shù)式的大小，主要依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

①若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的______________直接進(jìn)行比較.

②若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.

③若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增

大的規(guī)律畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較.

④若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助等中間量進(jìn)行比較

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.(注意討論定義域)

5.對(duì)數(shù)函數(shù)的值域

求值域時(shí)，一方面要抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的取值范圍.

求值域的一般方法

6.對(duì)數(shù)函數(shù)定點(diǎn)問題

對(duì)數(shù)函數(shù)定點(diǎn)問題的處理思路：令真數(shù)為0,得log"=0.

【例題分析】

例1.若函數(shù)/（x）=logaX+（a2-4”5）是對(duì)數(shù)函數(shù)，a=.

例2.函數(shù)丁=/logj3x-2）的定義域是.

例3.函數(shù)〃x）=log2F+J（；[T的定義域是.

例4.函數(shù)/（尤）=坨（九2—1）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

/、flogx-3a,x>l

例5.已知函數(shù)=|"ZI在R上單調(diào)，則。的取值范圍為.

例6.設(shè)a=log412,6=log515,c=k>g618,則b、c的大小關(guān)系

03

例6.a=log30.3,b=log030.2,c=o.2->則a、b、c的大小關(guān)系

例7.已知函數(shù)知（無）=4一腕2一,xe[2,8],則/（x）的值域是一

例8.函數(shù)_y=log2,一6x+17）的值域是.

例9.函數(shù)丁=3+108“（3%-2）（。>0,。/1）的圖象過定點(diǎn)

【變式訓(xùn)練】

1-若函數(shù)y=(a2_3a+3)logaX是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a的值為.

2.函數(shù)〃x)=)5-x+lg(x+2)的定義域是.

3.函數(shù)/(?=log/〉一4)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

4.函數(shù)/(x)=log(),6(x2+6x-7)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

5.已知a=log?e,Z?=ln2,c=log)則久氏c的大小關(guān)系為

?3

sin

6.若a=205，6=log,3,c=log2->則a、b、c的大小關(guān)系為

7.函數(shù)〃尤)=1°81(尤2+2%+3)的值域是

logJX,X>1

8.函數(shù)/(幻={2的值域?yàn)?

2X,x<l

9.函數(shù)/(x)=loga(2x—3)-4(a>o且awl)的圖象恒過定點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)三基本初等函數(shù)：塞函數(shù)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.幕函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)叫做事函數(shù)，其中X是,a是—

2.塞函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征幕函數(shù)的解析式是一個(gè)幕的形式，且需滿足：

(1)指數(shù)為常數(shù)；

(2)底數(shù)為自變量；

(3)系數(shù)為1.

3.幾個(gè)常見塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

-i

幕函數(shù)y=xy=x2y=x3y二?y=x

圖像

定義域

值域

奇偶性

單調(diào)性

定點(diǎn)

4.塞函數(shù)y=x°(。是常數(shù))的指數(shù)對(duì)圖象的影響

(1)當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，類似于丁=獷|的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針方向指數(shù)在

增大；

(2)當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象向x軸彎曲，類似于＞=?的圖象；

(3)當(dāng)_______時(shí)，函數(shù)圖象向y軸彎曲，類似于丁=必的圖象，而且逆時(shí)針方向指數(shù)在增大.

5.利用事函數(shù)的性質(zhì)解不等式

利用募函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量或塞指數(shù)的大小，常與塞函數(shù)的單調(diào)性、

奇偶性等綜合命題.求解步驟如下：

（1）確定可以利用的基函數(shù)；

（2）借助相應(yīng)的幕函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或幕指數(shù)的大小關(guān)系；

（3）解不等式（組）求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.

6.定點(diǎn)問題

（1）常見的兩個(gè)定值：（1）“°=（awO）;（2）1“=.

（2）處理定值問題的兩個(gè)常見思路：

①若底數(shù)不變，令指數(shù)為;

②若指數(shù)不變，令底數(shù)為.

【例題分析】

例1.（2022?浙江?余姚市實(shí)驗(yàn)高中高一開學(xué)考試）已知塞函數(shù)y=/（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,2）,那么這個(gè)塞函

數(shù)的解析式為.

3

例2.（2020?上海市徐匯中學(xué)高一期中）募函數(shù)）=/的定義域的區(qū)間表示為.

1

例3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)=的定義域?yàn)?

例5.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）函數(shù)）=/的圖像可能是（）

例6.（2020秋?金明區(qū)校級(jí)期中）已知幕函數(shù)y=/（x）的圖象過點(diǎn)（2,；］,則/（—1.1）與/（2.2）的大小關(guān)系

是.

例7.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)y=+3》的單調(diào)遞減區(qū)間為

例8.（2021?浙江?塘棲中學(xué)高一期中）函數(shù)〃x）=J-d-2x+3的單調(diào)增區(qū)間是.

例9.（2021春?渭濱區(qū)期末）已知事函數(shù)“X）過定點(diǎn)（2,8）,且滿足/（/+1）+〃一2）＞0,則a的范圍

為.

例10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)＞y=?和＞=」的圖像都通過同一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)坐標(biāo)為

（）

A.（1,-1）B.（1,0）C.（1,1）D.（1,2）

例U.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知/（x）=（2x-l）”+l,則函數(shù)丁=/（尤）的圖象恒過的定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知幕函數(shù)/（x）的圖象過點(diǎn)則此函數(shù)的解析式為.

2.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二開學(xué)考試）己知事函數(shù)/（x）的圖象過點(diǎn)12,1J,則近）=.

_、4

3.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）（1）函數(shù)）=必的定義域是，值域是；

2

（2）函數(shù)丫_/二的定義域是，值域是；

y—A----------------------------

3

（3）函數(shù)y=#的定義域是，值域是；

3

（4）函數(shù)了=天嗎的定義域是，值域是.

2

4.（2022?浙江?杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）函數(shù)＞=#的大致圖象是（）

5.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知〃=[1）,6=]￡|3"=1^）,則0,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

3

6.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)了（》）=（尤2_2X.3）5,則其單調(diào)增區(qū)間為.

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃力=也量一5尤+2的單調(diào)減區(qū)間為—

8.（2021秋?廬江縣期末）已知幕函數(shù)若+—2a）,則a的取值范圍是

9.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）當(dāng)aeR時(shí)，函數(shù)y=-2的圖象恒過定點(diǎn)4則點(diǎn)/的坐標(biāo)為

10.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)＞=（%-1）"+1（々＜0）恒過定點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)四抽象函數(shù)的概念與性質(zhì)

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.已知了(尤)的定義域，求/[g(x)]的定義域，其實(shí)質(zhì)是由g(x)的取值范圍，求出X的取值范圍；

2.已知/[g(x)]的定義域，求了(%)的定義域，其實(shí)質(zhì)是由尤的取值范圍，求g(x)的取值范圍；

3.單調(diào)性的定義：增(減)函數(shù)：

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間/7A.如果對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個(gè)值X],%，當(dāng)王＜工2時(shí)，都

有，那么就說y=/(x)在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)，/稱為y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間。

4.函數(shù)的奇偶性

一般地，如果對(duì)于函數(shù)了(無)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有,那么函數(shù)/(無)就叫做偶函數(shù).

一般地，如果對(duì)于函數(shù)了(尤)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有，那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù).

5.賦值法

【例題分析】

考向一抽象函數(shù)的定義域

例1.(2022秋?江西贛州?高一統(tǒng)考期中)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇-M],則y=)(*+l)的定義域?yàn)?/p>

X+1

()

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[—2,—l)u(—1,2]D.[―2,—l)u(—1,0]

~13

例2.(2022秋?高一單元測(cè)試)若函數(shù)y=/(2x-1)的定義域?yàn)?則函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?/p>

()

A.[-1,1]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2]

/(x)

例3.(2022秋?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=/(2x-l)的定義域?yàn)?-1,2),求函數(shù)g(x)=的定義域.

Jx?-3x+2

考向二抽象函數(shù)的值域

例4.(2023春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)y=/(元)的定義域是R,值域?yàn)椋?2,8］,則下列函數(shù)中值域

也為［-2,8］的是()

A.y=3/(x)+lB.y=/(3%+l)C.y=D.y="(2x)|

例5.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若的值域?yàn)椋劾?+oo),則g(x)=2/(x)+l的值域?yàn)?

考向三抽象函數(shù)的性質(zhì)

例6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)成立，且/(0)w0,貝i］/(x)是(填“奇”或“偶”)函數(shù).

例8.(2023?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)?？家荒?多選)已知不恒為0的函數(shù)f(x),滿足Vx,yeR都有

小)+/3=2/1晝可牙)貝u(3

A.f(0)=0B./(0)=1C./(x)為奇函數(shù)D.7(x)為偶函數(shù)

例9.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題?多選)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,〃孫)=y2/(x)+x2〃y),則

A.f(0)=0B."1)=0C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(%)的極小值點(diǎn)

【變式訓(xùn)練】

考向一抽象函數(shù)的定義域

1.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))己知函數(shù)y=/(x+l)的定義域?yàn)椋跮2］,則函數(shù)y=/(2x-1)的定義域?yàn)?/p>

)

13

A.-4B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

2.(2022秋?福建福州?期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?M］則丫=的定義域?yàn)?/p>

3.(2022秋?高一課時(shí)練習(xí))已知/(x-l)的定義域?yàn)椋?,3］,求/(3x+2)的定義域.

考向二抽象函數(shù)的值域

4.(2022秋?浙江杭州?高一杭州四中校考期中)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是R,值域?yàn)椋?1,2］,則值域也為

[-1,2]的函數(shù)是()

A.y=2/(x)+lB.y=\f(2x+l)\C.y=-f(x)+lD.y=1/(x)I

考向三抽象函數(shù)的性質(zhì)

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,"R,恒有/(x+y)=〃x)+〃y)成

立，則是(填“奇”或“偶”)函數(shù).

6.(2023?云南昆明?昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)?多選)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意

a,beR,都有4a+b)=〃a)+〃b),且當(dāng)尤＞0時(shí)，/(“＜0恒成立，則()

A.函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)B.函數(shù)“X)是奇函數(shù)

C.若八-2)=2,則1/(切＜1的解集為D.函數(shù)/(x)+V為偶函數(shù)

7.(2023?山西太原?太原五中?？家荒?多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)X，〉都有

f[x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且]￡|=0,則以下結(jié)論一定正確的有()

A.”。)=-1B.〃x)是偶函數(shù)

C.“X)關(guān)于中心對(duì)稱D./(1)+/(2)++/(2023)=0

知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：圖像問題

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.圖像問題

(1)導(dǎo)數(shù)的圖像與函數(shù)圖像的關(guān)系：

已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)數(shù)是/"(x),若((%)＞0,則函數(shù)/(%)的圖像單調(diào),若/'(力＜0,則函數(shù)

/("的圖像單調(diào),所以/"(X)的圖像只看，/(%)的圖像只看.

(2)由解析式求函數(shù)圖像：

①看函數(shù)奇偶性；

偶函數(shù)：，奇函數(shù)：.

②看函數(shù)特殊值.

【例題分析】

考點(diǎn)一導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像問題

例1.(2324高二下?重慶?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(尤)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)7'(無)的圖像如圖所示，則()

A.函數(shù)有極大值”1)B.函數(shù)有極大值“2)

C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［0』D.函數(shù)/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,2］

例2.(2324高二下?湖南益陽?階段練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是

A./(x)有4個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極大值點(diǎn)B./(x)有4個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極小值點(diǎn)

C.“X)有3個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極大值點(diǎn)D./⑴有3個(gè)極值點(diǎn)，其中有2個(gè)極小值點(diǎn)

例3.(2223高二上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)＞=/'(》)的圖像如圖所示，以下命題錯(cuò)誤的是

A./(-l)是函數(shù)的最小值

B./(-3)是函數(shù)的極值

C.y=/(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增

D.y=/(x)在x=0處的切線的斜率大于0

考點(diǎn)二函數(shù)圖像問題

例4.(2324高一上?湖北武漢?期末)函數(shù)〃尤)=《鼻的圖像大致為()

2—2

例5.(2324高二下?上海?階段練習(xí))下列圖像中，不可能成為函數(shù)/(x)=V-'的圖像的是(

X

例6.(2324高三下?四川巴中?階段練習(xí))以下最符合函數(shù)的圖像的是()

2—2

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)一導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖像問題

1.(2324高二上?安徽?期末)已知函數(shù)y=/(x)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，y=g+4x+3)尸⑺的圖像如圖所示，以下命

題正確的是()

加

/-3~2-101x

A./(-3)是函數(shù)的極大值B./(-1)是函數(shù)的極小值

C.“X)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增D.的零點(diǎn)是-3和-1

2.(2324高二上?江蘇南京?期末)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(⑴在(a,6)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)/(%)在(。，6)內(nèi)

極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

aoVx

A.1個(gè)B.2個(gè)C,3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)二函數(shù)圖像問題

2

3.(2324高三上?天津南開?階段練習(xí))函數(shù)〃x)=c°sx+”的大致圖像為()

e1-e-x

知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：應(yīng)用問題

【基礎(chǔ)指數(shù)框架】

1.對(duì)于指數(shù)方程=M（M>0）,可兩邊同時(shí)取e的,轉(zhuǎn)化為一次方程；

2.對(duì)于對(duì)數(shù)方程ln（ax+b）=M,可兩邊同時(shí)取e的,轉(zhuǎn)化為一次方程；

3.解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）認(rèn)真審題，分清條件和問題，理清數(shù)量關(guān)系，選擇函數(shù)模型；

（2）建立模型，把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型；

（3）求解模型.

【例題分析】

例1.（2023?云南紅河?統(tǒng)考一模）中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲

茶、品茶等習(xí)慣與中國(guó)的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國(guó)文化特征.其中沏茶、飲茶對(duì)

水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是4C,空氣的溫度是qC,經(jīng)過力分鐘后

物體的溫度為"滿足公式。=4+（4-4）屋2叱現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為

52℃時(shí)口感最佳，若空氣的溫度為12℃,那從沏茶開始，大約需要（）分鐘飲用口感最佳.（參考數(shù)據(jù)；

ln3~1.099,In2?0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

例2.（2023?四川南充?校考模擬預(yù)測(cè)）車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的

喜愛?根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分?個(gè)等級(jí)，其等級(jí)尤（x=l,2,3,4,5,6）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市

場(chǎng)銷售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=?若花同樣的錢買到的1級(jí)果比5級(jí)果多3倍，且3級(jí)果

的市場(chǎng)銷售單價(jià)為60元/千克，貝16級(jí)果的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（）（參考數(shù)據(jù)：0名1.41，小1.73,

蚯、1.26,物六L44）

A.130元/千克B.160元/千克

C.170元/千克D.180元/千克

例3.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F

運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載

人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：

W/m2）滿足亞龍）=101g/.若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約

為103則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

例4.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）日光射入海水后，一部分被海水吸收（變?yōu)闊崮埽?，同時(shí)，另一部分被海水中

的有機(jī)物和無機(jī)物有選擇性地吸收與散射.因而海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用/°=/2出"表示其總

衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)（也稱衰減系數(shù)），D（單位：米）是海水深度，ID（單位：坎德拉）和（單

位：坎德拉）分別表示在深度。處和海面的光強(qiáng).已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%,則該海區(qū)消光

系數(shù)K的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：ln2a0.7,In3?l.l,ln5?1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.0.01

例5.（2023?陜西?西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）我國(guó)航天技術(shù)的迅猛發(fā)展與先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)密不可分.據(jù)

了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式"=”計(jì)算火箭的最大速度v（m/s）,其中

m

%（m/s）是噴流相對(duì)速度，m（kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，絲稱為

m

“總質(zhì)比”.已知甲型火箭的總質(zhì)比為400,經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，噴流

O

相對(duì)速度提高了;最大速度增加了900（m/s）,則甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對(duì)速度為

（）（參考數(shù)據(jù)：In2ao.7,ln5?1.6）

A.1200nVsB.1500m/sC.1800m/sD.2100m/s

例6.（2023?山西?統(tǒng)考一模）在天文學(xué)中，常用星等機(jī)，光照度E等來描述天體的明暗程度.兩顆星的星等與

E

光照度滿足星普森公式㈣-叫=-2.53看.已知大犬座天狼星的星等為T.45,天狼星的光照度是織女星光照度的

Ei

4倍，據(jù)此估計(jì)織女星的星等為（參考數(shù)據(jù)近2°0.3）（）

A.2B.1.05C.0.05D.-1.05

例7.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直

冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和1g尸的關(guān)系，其中7

表示溫度，單位是木尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

例8.（2021?全國(guó)?高考真題）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)，的滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視

力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（啊々1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林?東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時(shí)才有療效，如果用藥

前，病人血液中該藥的量為Omg,用藥后，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減.現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg

的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長(zhǎng)需要在多少小時(shí)后再次注射此藥（坨2。0.