2025年高考數(shù)學一輪復習：抽象函數(shù)模型歸納總結（八大題型）（原卷版）

重難點突破01抽象函數(shù)模型歸納總結

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納總結.................................................................3

題型一：一次函數(shù)模型..........................................................................3

題型二：二次函數(shù)模型..........................................................................4

題型三：幕函數(shù)模型............................................................................4

題型四：指數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型五：對數(shù)函數(shù)模型..........................................................................5

題型六：正弦函數(shù)模型..........................................................................6

題型七：余弦函數(shù)模型..........................................................................6

題圜I：正切函數(shù)模型..........................................................................7

03過關測試.....................................................................7

亡法牯自與.柒年

//\\

一次函數(shù)

⑴對于正比例函數(shù)/(%)=丘(左W0),與其對應的抽象函數(shù)為/(x±y)=/(x)±/(y).

(2)對于一次函數(shù)/(%)=履+6(左/0),與其對應的抽象函數(shù)為/(x±y)=/(x)±/(y).Z?.

二次函數(shù)

(3)對于二次函數(shù)/(%)=/+bx+c(awO),與其對應的抽象函數(shù)為

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

幕函數(shù)

(4)對于暴函數(shù)"尤)=x",與其對應的抽象函數(shù)為/(孫)=/(x)/(y).

/\“X)

(5)對于暴函數(shù)"尤)=x"其抽象函數(shù)還可以是f-

f(y)

指數(shù)函數(shù)

(6)對于指數(shù)函數(shù)/(尤)="，與其對應的抽象函數(shù)為/(x+y)=/(%)/(外

(7)對于指數(shù)函數(shù)/(X)=優(yōu)，其抽象函數(shù)還可以是/(x—y)=彳:.

其中。1)

對數(shù)函數(shù)

⑻對于對數(shù)函數(shù)/(尤)=logm，與其對應的抽象函數(shù)為/(孫)=/(x)+/(y).

/、

(9)對于對數(shù)函數(shù)/(x)=log.x,其抽象函數(shù)還可以是/-=/(%)-/(y).

(10)對于對數(shù)函數(shù)〃x)=log/;,其抽象函數(shù)還可以是/(￡)=w(x).

其中(a>0,awl)

三角函數(shù)

(11)對于正弦函數(shù)〃x)=sinx,與其對應的抽象函數(shù)為=/(力一/2(y)

注：此抽象函數(shù)對應于正弦平方差公式：sin2?-sin2/?=sin(cir+^)sin(cif-/7)

x+y了一)

(12)對于余弦函數(shù)/(x)=cosx,與其對應的抽象函數(shù)為/'(x)+/(y)=2/

22

a+Ba-B

注：此抽象函數(shù)對應于余弦和差化積公式：COSO+cos，=2cos-----cos------

22

(13)對于余弦函數(shù)/(x)=cosx,其抽象函數(shù)還可以是=+—川

cos(a+￡)+cos(a-0

注：此抽象函數(shù)對應于余弦積化和差公式：cosocosA=——I------—A

/(x)±〃y)

(14)對于正切函數(shù)/(x)=tanx,與其對應的抽象函數(shù)為“X土y)二

lTf(x)/(y)

注：此抽象函數(shù)對應于正切函數(shù)和差角公式：tan(a土夕)=tane±tan.

1.tanortan^

㈤2

//

題型一：一次函數(shù)模型

【例1】已知〃尤+y)=/(尤)+〃y)-l且"1)=2,則/⑴+/⑵+L+/(〃)不等于

,、，、，、」n(n+l)

A-/(l)+2/(l)+L+橫⑴一，^B.f+"-1

C.D.〃(〃+1)

【變式1-1】已知函數(shù)的定義域為R,且卜°，若f(x+y)+/(x)/(y)=4w,則下列結論錯誤

的是()

C,函數(shù)了上一；

是偶函數(shù)D.函數(shù)+是減函數(shù)

【變式1-2](2024.河南新鄉(xiāng)?一模)已知定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足Vx,yeR,

f(2xy-l)=f(x)-f(y)+/(y)+2x-3,/(0)=-1,則不等式“力>3-2,的解集為()

A.(l,+oo)B.(-1,+GO)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

【變式1?3]已知定義在R上的單調函數(shù)/(力，其值域也是R,并且對于任意的％,y￡R,都有

/(獷3)=個，則|/(2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

題型二：二次函數(shù)模型

【例2】（2024?高三?河北保定?期末）已知函數(shù)Ax）滿足：yeZ,/（尤+y）=〃尤）+/（y）+2孫+1成

立，且〃-2）=1,則/（2〃乂共N*）=（）

A.4n+6B.8n-lC.W+2n-lD.8n2+2?-5

【變式2-1］（2024?山東濟南三模）已知函數(shù)〃x）的定義域為R,且亞（無）-#（村=孫（尤-y）,則下列結

論一定成立的是（）

A.41）=1B.為偶函數(shù)

C.“X）有最小值D.“X）在［0』上單調遞增

【變式2-2］（2024?陜西西安?模擬預測）已知函數(shù)〃無）的定義域為R,且滿足

/（無）+/（y）=f（x+y）-2盯+2,/'⑴=2,則下列結論正確的是（）

A./（4）=12B.方程/（x）=x有解

C./卜+￡|是偶函數(shù)D./（丁一；）是偶函數(shù)

【變式2-3］（2024.河南.三模）已知函數(shù)“X）滿足：〃1）>3,且V%yeR,

9

f{x+y）=f（x）+f（y）+6xy,則的最小值是（）

Z=1

A.135B.395C.855D.990

題型三：幕函數(shù)模型

【例3】已知函數(shù)的定義域為（f,0）U（0,4w）,且#（x）=（y+l）/（y+l）,則（）

A./M>0B."1）=1C.“X）是偶函數(shù)D./（X）沒有極值點

【變式3-1］（2024.河北.模擬預測）已知定義在（-力,0）U（0,M）上的函數(shù)滿足

〃盯）=止應+止義+上，則（）

yxxy

A./（“是奇函數(shù)且在（0,+e）上單調遞減

B.“X）是奇函數(shù)且在（-雙。）上單調遞增

C.〃x）是偶函數(shù)且在（。,+巧上單調遞減

D./（x）是偶函數(shù)且在（-8,0）上單調遞增

題型四：指數(shù)函數(shù)模型

【例4】（多選題）（2024.山西晉中.三模）已知函數(shù)“X）的定義域為R,滿足

〃x+y）=〃x）〃y）+/（x）+/（y），且/（。戶」,則下列說法正確的是（）

A.40)=0B./（%）為非奇非偶函數(shù)

C.若"1)=1,貝廳(4)=15D.〃h>-1對任意彳€川恒成立

【變式4-1］已知函數(shù)/（x）滿足,〃0+4）=/（夕）?/⑷,"1）=3,則

/⑴+〃2)/⑵+〃4)/⑶+“6)/(4)+〃8)/(5)+〃10)

的值為（

/(1)"3)/(5)〃7)/(9)

A.15B.30C.60D.75

【變式4-2】如果/(a+6)=/(a)/。)且〃1)=2,則鎧+瑞+段=()

1237

A.—B.—C.6D.8

55

【變式4-3】已知函數(shù)/⑺對一切實數(shù)。力滿足〃。+。)=〃力/修)，且"1)=2,若

%=[)(?]則數(shù)列何｝的前"項和為()

J1/

A.〃B.2〃C.4〃D.8n

題型五：對數(shù)函數(shù)模型

【例5】（多選題）已知函數(shù)/（元）的定義域為R,/(xy)=y2/W+^2/(y),則(),

A.40)=0B./(1)=0

C./(力是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點

【變式5-1】已知定義在（。,+⑹上的函數(shù)滿足/3）+l=/（x）+〃y）,且=則/（2"）=

A.1B.11C.12D.-1

【變式5-2］（2024?四川涼山.三模）已知了（無）為定義在R上且不恒為零的函數(shù)，若對V尤,yeR,都有

〃孫）=^（y）+W（x）成立，則下列說法中正確的有（）個.

①〃o)=〃i)=o；

②若當X>1時,/(x)>0,則函數(shù)g(x)=/中在(0,+8)單調遞增;

③對V〃eN*，="(x)；

④若H=J，則|/^1=2〃一2.

A.1B.2C.3D.4

【變式5-3](2024?山西?一模)已知函數(shù)〃x)是定義在但"0｝上不恒為零的函數(shù)，若

〃孫)=翌+9,貝IJ()

yx

A."1)=1B."-1)=1

C.〃x)為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

題型六：正弦函數(shù)模型

【例6】(多選題)(2024.遼寧?模擬預測)已知函數(shù)了⑺的定義域為R,且

f(x+y)f(x-y)=f\x)-f\y\/(I)=2,/(2)=0,則下列說法中正確的是()

2024

A./(尤)為偶函數(shù)B.〃3)=-2C./(-1)=/(5)D.￡f(k)=-2

k=2

【變式6-1](多選題)(2024?全國.模擬預測)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且

丫)=尸(幻一/“)"(1)=1,/(2)=0,則下列說法中正確的是()

2023

A.八尤)為偶函數(shù)B.〃3)=-1C./(-1)=-/(5)D.￡f*)=l

k=l

題型七：余弦函數(shù)模型

【例7】(多選題)己知定義域為R的函數(shù)〃尤)滿足f(x+y)=f(尤)?/(>)—/(2-元)/(2-y),且

/(0)^0,/(-2)=0,則()

A./(2)=1

B./(力是偶函數(shù)

C.[/(x)]2+[/(2+x)]2=l

D./(1)+/(2)+/(3)++”2024)=1

【變式7-1](多選題)(2024?遼寧?二模)已知定義城為R的函數(shù)/(x).滿足

/(^+y)=/(x)/(y)-/(l-x)/(l-y),且〃0戶0,/(-1)=0,則()

A./(1)=0B./(%)是偶函數(shù)

2024

C."(x)T+"(l+尤甘=1D.

【變式7-2](2024?吉林?模擬預測)已知函數(shù)/(尤)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),

2024

/(0)=1,/(3x+l)=-/(-3x+l),則2〃%)=()

k=0

A.-2B.-1C.0D.1

【變式7-3](2024.安徽.模擬預測)若定義在R上的函數(shù)/(尤)，滿足2"x+y)〃x-y)=〃2x)+/(2y),

且/(1)=-1,貝葉(O)+/(l)+〃2)+…+〃2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

題型八：正切函數(shù)模型

【例8】定義在(-M)上的函數(shù)“X)滿足：〃力一/(>)="造］,當xe(TO)時，有〃x)>0,且

=1.設根=/(：)+/［：〔++/(忌口］〃N2,〃eN*,則實數(shù)機與_1的大小關系為()

A.m<-\B.m=-\C.m>-lD.不確定

【變式8-1］(2024?浙江?二模)已知函數(shù)/(%)滿足對任意的x,ye(l,+?O且x<y都有

，［造若j舄不>"eN"則…+%++5()

1.已知函數(shù)/(X)對于一切實數(shù)x，y均有/(x+y)-/(y)=x(x+2y+l)成立，且7?⑴=0,貝I當xe(o,￡|時,

不等式“尤)+2<log”x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是().

7

2.設函數(shù)f：R-R滿足f(O)=l,且對任意尤,”火，都有/3+l)=/(x)/(y)-/(y)-x+2,則

/(2017)=()

A.0B.2018C.2017D.1

3.滿足對任意的實數(shù)a,。都有=且/⑴=2,則

/(2),/(4),7(6),“2018)「

/(I)/(3)/(5)/(2017)

A.2017B.2018C.4034D.4036

4.如果函數(shù)Ax)對任意滿足3=/(。)/(6),且八1)=2,則興+黑+黑++窗？=

A.4032B.2016C.1008D.504

5.設函數(shù)“X)的定義域為R,對任意實數(shù)X,y,只要x+ywO,就有了(X數(shù)成立,則函

數(shù)fM()

A.一定是奇函數(shù)B.一定是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

6.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)“X)的定義域為R,/(x)/(y)-/(x)=xy-y,則()

A./(0)=0B./(-1)=1

C./(x+1)為偶函數(shù)D./(x+1)為奇函數(shù)

7.設函數(shù))=/(力的定義域為(0,+s),f(xy)=/(x)+/(y),若“9)=6,則/(3右)等于()

399

A.—B.2C.-D.—

242

8.(多選題)(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)的定義域為R,Vx,"R,

f(x+y)-f(x-y)=2fl^-x]f(y),且則()

A.〃x)為偶函數(shù)

B.

C./(1)+2/(2)+3/(3)+-+2023/(2023)=1

D.=1

9.(多選題)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,〃x+yT(尤一y)=/[x+|]小+￡|,f(0)^0,則()

a-41=°B./(0)=-2

2022(k\

c./(x)的一個周期為3D.=2

k=lI，)

10.(多選題)(2024?江西九江二模)已知函數(shù)“X)的定義域為R,Vx,yeR,

“孫)+孫=曠(村+》(同，則下列命題正確的是()

A./(%)為奇函數(shù)B./(%)為R上減函數(shù)

/1\110

C.若XW0,則對'一+-/(X)為定值D.若"2)=2,則￡/(2")=2046

x*=1

11.(多選題)(2024.江蘇南京,二模)已知函數(shù)F(x)滿足F(x)f(y)=/(孫)+|x|+|y|,則()

A./(0)=1B./(1)=-1C./⑺是偶函數(shù)D.7(尤)是奇函數(shù)

12.(多選題)(2024?廣西?二模)已知函數(shù)y=/(x)的定義域與值域均為Q+,且

(2\

f(y)f=/。)+/3+時3(/eN*),則()

\yJ

A.〃1)=1B.函數(shù)〃x)的周期為4

C./(X)=X2(XGQ+)D.t=2

13.(多選題)已知非常數(shù)函數(shù)〃x)的定義域為R,且〃x)/(y)=/(孫)+孫(x+y),則()

A.40)=0B.〃1)=-2或/(1)=1

C.工區(qū)是｛x|xeR且xwO｝上的增函數(shù)D./(x)是R上的增函數(shù)

14.(多選題)已知“X)是定義在R上的函數(shù)，VxeR,/(x)>0,且〃孫)=〃x)"(y)—爐―V，則

A./(1)=1

B."X)是偶函數(shù)

C.”X)的最小值是1

D.不等式“X-2)<10的解集是(-1,5)

15.(多選題)已知函數(shù),⑺滿足/(x+y)=/(x)+/(y),x,yeR,則()

A."0)=0B./(%)=步(l),ZeZ

C./⑶二川口叱。)D./(-%)/(%)<0

16.(多選題)(2024.高三.云南昆明?開學考試)已知函數(shù)/⑺的定義域為R,且

/(彳->)=/(-彳)+/(>)-2D，則()

A./(0)=0

B./⑵=4

C.y=/(x)-2元是奇函數(shù)

D.y=/(x)-2必是偶函數(shù)

17.(多選題)(2024?重慶.三模)函數(shù)/(元)是定義在R上不恒為零的可導函數(shù)，對任意的x,yeR均滿

足：(x+y)-f(x)f(y)=xy-f(x+y),/(I)=2,則()

A.40)=0B."2)=8

C.r⑴=4D.￡/伏)=(〃-1)-22+2

k=l

18.(多選題)(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且

/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),x>0時,/(x)>0,/(2)=3,則()

A./(1)=1

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)單調遞增

C.函數(shù)“X)是奇函數(shù)

D.函數(shù)/⑺的一個解析式為〃耳=2，-1

19.(多選題)已知函數(shù)y=/(x),對于任意尤,yeR,才《=貝()

A./(0)=1B./(x2)=2/(%)

C，/(x)>0D.［言］

20.(多選題)(2024?高三?遼寧?期中)已知函數(shù)“X)的定義域為(-M),=且

4￡|=1，當xe(O,l)時，/(%)>0,則()

A./(0)=0

B./⑺是偶函數(shù)

C.當A,2是銳角ABC的內角時，f(sinA)<f(cosB)

D.當%>0,且」一=譬，玉=:時，f(x?)=2-1

32X"2

21.(多選題)函數(shù)“X)的定義域為R,若/(x+yHA