旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用1(含答案)

旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用

1.如圖，直角梯形ABCO中，AD//BC,ABLBC,AD=2,將腰。。以O(shè)為中心逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。至OE,連接AE、CE,AAOE的面積為3,則的長(zhǎng)為.

【答案】5

2.邊長(zhǎng)為1的正方形A8CO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到正方形4TC/T,兩圖疊成一個(gè)“蝶

形風(fēng)箏”（如圖所示陰影部分），則這個(gè)風(fēng)箏的面積是（）。

B.述

A.2--

33

C.2-B

D.2

4

【答案】A

3.已知兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC、DEF,如圖（1）放置，點(diǎn)8、D重合，點(diǎn)尸在BC

上，A3與跖交于點(diǎn)G./C=/EFB=900,ZE=ZABC=30°tAB=DE=4.

（1）求證：ZXEGB是等腰三角形；

（2）若紙片0M不動(dòng)，問(wèn)△4BC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)最小度時(shí)，四邊形ACQE成為以

石。為底的梯形（如圖（2））.求此梯形的高.

分析：易求得NGBE=NE=30°,從而GB=GE；由4C〃OE,AC_L5c得DE工BC,從而NDFB

=90°-ZEDF=30",即旋轉(zhuǎn)的最小角度是30。；容易求得CR=2百-2,設(shè)圖（2）中C5交

OE于點(diǎn)則從而CM=36—2.

解：(1)證明：???NC=N￡：尸8=90°,NE=NA8C=30°,產(chǎn)=60°,ZGBE=ZE=30°f

???G5=GE.?.z!EG8是等腰三角形.

(2)解：在中，由NE=300得EF=BC=4BC=273

2f

???CF=273-2四邊形ACDE是以EO為底的梯形：.AC//DE

*：ACLBC：.DELBC：.NDF8=90°-NEQ/=30。???旋轉(zhuǎn)的最小角是30。

設(shè)圖(2)中CB交?！暧邳c(diǎn)〃，則正ACM=CF+FM=2A/3-2+V3=3A/3-2,即

此梯形的高為36-2.

4.如圖1,已知正方形A8CO的邊CD在正方形。E?G的邊OE上，連接AE,GC.

(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)將正方形OE/G繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和

GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)答：AE_LGC；

證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H,在正方形A8CO與正方形?！?G中，

AD=DC,ZADE=ZCDG=9Q°fDE=DG,:?AADE經(jīng)4CDG,AZ1=Z2；

VZ2+Z3=90°,/.Z1+Z3=90°,JNA”G=1800-(Z1+Z3)=180°-90°=90°,

：.AE±GC,

(2)答：成立；

證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H,在正方形ABC。和正方形OEFG中，

AD=DC,DE=DG，NADC=NDCB=NB=NBAD=NEDG=90。,

/.Z1=Z2=90°-Z3；???△AO鼻△CQG,AZ5=Z4：

XVZ5+Z6=90°,Z4+Z7=180°-ZDC￡：=180o-90o=90o,AZ6=Z7,

又???N6+NAE8=90。，/AEB=/CEH,ZCE/7+Z7=90°,/.ZEHC=90°,：.AE±GC.

5.如圖1,在△A3C中，點(diǎn)尸為BC邊中點(diǎn)，直線。繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B、P在直線。的異

側(cè)，RMJL直線〃于點(diǎn)CNJ_直線。于點(diǎn)N,連接PM、PN,

(1)延長(zhǎng)M尸交C7V于點(diǎn)￡(如圖2)。①求證：XBPM0ACPE：②PM=PN；

(2)若直線。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)6、P在直線〃的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)

PM=PN成JL嗎?若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若直線。繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到與8C邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形M8CN

的形狀及此時(shí)=還成立嗎？不必說(shuō)明理由.

,??用1/3_直線4于點(diǎn)加，CNJ_直線a于點(diǎn)N

???/BMN=/CNM=90。

：.BM//CN

NMBP=NECP

又,?/為BC邊中點(diǎn)

：.BP=CP

又,：/BPM=/CPE

?'.△BPM絲△CP

②?：△BPM"ACPE

：.PM=PE

：.PM=-ME

2

???在HrzuWNE中，PN=、ME

2

:.PM=PN

(2)成立。如圖3

證明：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E

?二844_1_直線〃于點(diǎn)M,CN_L直線a于點(diǎn)N

???NBMN=NCNM=90。

：.NBMN+NCNM=180。

：.BM//CN

：./MBP=NECP

又,：/BPM=/CPE

:.△BPMqACPE

：.PM=PE

：.PM=-ME

2

則在直角三角形中，PM=-ME

2

:?PM=PN

(3)四邊形MBCN是矩形

PM=PN成立

a

6.如圖1,已知矩形A8CZ),點(diǎn)。是邊OE的中點(diǎn)，且A/=2AO.

(1)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)保持圖1中的△ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)OE所在的直線MN到圖2中的位置(當(dāng)垂線

段AD、跖在直線M/V的同側(cè)).試探究線段A。、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證

明；

(3)保持圖2中的固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)OE所在的直線MN到圖3中的位置(當(dāng)

垂線段A。、8E在直線MN的異側(cè)〕.試探究線段A。、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給

予證明.

圖1圖2

【答案】解：(1)aABC是等腰直角三角形。

如圖(1)在矩形ABE。中，

因?yàn)辄c(diǎn)。是邊OE的中點(diǎn)，且A8=24O,

所以AD=DC=CE=EB,

ZD=ZF=90°.

:.RikADgR小BEC.

：.AC=BC,Z1=Z2=45°.

???ZACB=90°.

???AABC是等腰直角三角形。

(2)DE=AD+BE.

如圖(2),在mAAOC和即△BEC中，

VZ1=ZCAD=9O°,Zl+Z2=90°.

：.ZCAD=Z2.

又?.?AC=BC,ZADC=ZCEB=90。,

:?R仙AD8RmCEB.

:.DC=BE,CE=AD.

：.DC+CE=BE+AD,

即DE=AD+BE.

(3)DE=BE-AD.

如圖(3),在即ZUOC和RACEB中，VZ1+ZCAD=9O°,Zl+Z2=90°,

???ZCAD=Z2.

XV/ADC=NCBE=9G,AC=CB,：.R小AD8R小CBE.

:.DC=BE,CE=AD.；?DC-CE=BE-AD,0PDE=BE-AD.

7.如圖1,在△A3C中，AB=BC,P為AB邊上一點(diǎn)，連接CP,以以、尸C為鄰邊作0ApeO,

AC與產(chǎn)力相交于點(diǎn)E,已知ZABC=/AEP=a（0°＜。＜90）.

（1）求證：ZEAP=ZEPA；

（2）OAPCO是否為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,尸為BC中點(diǎn)，連接柱，將NAEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到NMEN

（點(diǎn)M、N分別是NMEN的兩邊與氏4、萬(wàn)延長(zhǎng)線的交點(diǎn)）.猜想線段與硒之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明：在/48C和44EP中

VZABC=ZAEPfNBAC=NEAP

：.ZACB=ZAPE

在443c中，AB=BC

：.ZACB=ZBAC

：.ZEPA=ZEAP

(2)答：D4PC。是矩形

?二四邊形APCD是平行四邊形

JAC=2EA,PD=2EP

*：由(1)知ZER\=ZEAP

：.EA=EP

貝ijAC=PD

???DAPCD是矩形

(3)答：EM=EN

*：EA=EP：.ZEPA=90°-1a

AZEAM=180o-ZEB4=180°-(90°-5)=90。+

由(2)知NCP8=90°,F是BC的中點(diǎn)，,FP=FB

：.ZFPB=ZABC=a

：.ZEPN=ZEPA^ZAPN=ZEPA+ZFPB=90°-1a+a=90°+1?

:.ZEAM=ZEPN

V/AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得到NMEN

:.NAEP=/MEN

：,ZAEP-4AEN=z：MEN■乙AEN艮1/MEA=NNEP

:.4EAM到EPN：.EM=EN

8.在R/A4BC中，N8AG90。，ZB=30°,線段AO是5c邊上的中線，如圖①，將△ADC沿

直線BC平移，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，得到△人?￡,如圖②，再將AFCE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0o〈aW90。），連接A尸、DE。

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NACE=15（P時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

（2）探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形AOE產(chǎn)能形成那些特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

分析：（1）由題意分析可知此間需分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)七和點(diǎn)。在直線4C兩側(cè)；②當(dāng)

點(diǎn)E和點(diǎn)。在直線4C同側(cè)；（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對(duì)

稱性可知，將會(huì)出現(xiàn)兩種對(duì)角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，較易證明.

解：（1）在圖①中，VZBAC=90°,ZB=30°,AZACE=ZBAC+120°.

如圖②，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)O在直線AC兩側(cè)時(shí)，由于NACEi=150。，???a=150。-120。=30。，

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)。在直線AC同側(cè)時(shí)，由于NAC3=180。-NBAC-N3=60。，

*

???ZDCE2=ZACE2-ZACB=150°-60°=90°,..a=180°-ZDCE2=90°,

???旋轉(zhuǎn)角a為30?；?0°.

（2）四邊形AO四能形成等腰梯形和矩形.

證法一：VZBAC=90°,ZB=30°,：.AC=^BC.

又??,A3是8c邊上的中線，：.AD=DC=7：BC=ACI.△40C為正三角形.

乙f

A

①當(dāng)a=60。時(shí)，如圖③，ZACE=120°+60°=180°

;CA=CE=CD=C凡???四邊形ADEF為平行四邊形，

又?；AE=DE,，四邊形痔為矩形.

②當(dāng)存60。時(shí)，N4C用120。，ZDCE=360°-60°-60°-ZACFf120°.

顯然DE/AF.

V4C=CF,CD=CE,A2ZMC4-ZACF=2ZCDE+ZDCE=180°

*/ZACF+ZDCE=360°-60°-60°=240°

AZMC+ZCDE=60°,ZDAF+ZADE=120°+60°=180°,：.AF//DE.

又YDE^AF,AD=EFf四邊形AOEF為等腰梯形.

證法二：*：AC=DFfCD=CE,???2N/^C+NACF=2NCO￡+NOCE=180。

:ZACF+ZDCE=360°-60°-60°=240°,:.N梓C+ZCDF=60°

.??ZDAF+ZADE=120。+60。=180°,：.AF//DE.

①當(dāng)a=60。時(shí)，NACF=NDCE=120。,XAC=CF,DC=CE,：.AACF^ADCE

.??A/=OE,???四邊形ADE尸為平行四邊形，

V90°,ZB=30°,：.AC=^BC.

又???AO是BC邊上的中線，：.AD=DC=^BC=AC,

.??△ADC為正三角形.即NC4D=60。.

△ACF中，NC4尸=30。，ZDAF=ZCAF+ZCAD=90°,二四邊形AOE廠為矩形.

②當(dāng)存60。時(shí)，NAC母120。，

ZDCE=360°-60°-60°-NAC母120。.顯然DE^AF.

RAF//DE,???四邊形ADE尸為梯形，又AD=EF,六四邊形ADE尸為等腰梯形.

9.如圖，已知正方形。ABC在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A、C分別在工、y軸的正半軸上，點(diǎn)O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角三角板OE尸的直角頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，E、尸分別在。4、OC上，且

04=4,。￡=2,將三角板。環(huán)繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OBA,的位置，連接A￡i、CF\.

(1)求證：△AOEigaOCR；

(2)將三角板。E尸繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE〃CF,若存在，

請(qǐng)求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明：???四邊形0A8C為正方形，???OC=OA,??,三角板OEF是等腰直角三角

形，???0日=。"，又三角板。E尸繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至。臼Fi的位置時(shí)，NAOEi=NCOFi,

：./\OAEi^/\OCF\；

（2）存在，ROELOF,過(guò)點(diǎn)尸與OE平行的直線有且只有一條，并且與。尸垂直，又當(dāng)三

角板。底尸繞。點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則點(diǎn)尸與OF垂直的直線必是。。的切線，又點(diǎn)。為

。。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與。。相切的直線只有2條，不妨設(shè)為CA和CB,此時(shí)，E點(diǎn)分別在

Ei和氏點(diǎn)，滿足CF\〃OE\,CFi/ZOEi,點(diǎn)切點(diǎn)F\在第二象限口寸，點(diǎn)E\在第象限，在Ri^CFiO

OF1

中，0C=4,OFi=2,cosZCOF\=—,NCOFi=60。，/.ZAO￡i=60°,???點(diǎn)Ei的

OC2

橫坐標(biāo)為2cos60。=1,點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)為2s加60。=G,???臼的坐標(biāo)為（1,&）,當(dāng)切點(diǎn)尸2

在第一象限時(shí)，點(diǎn)改在第四象限，同理可求&（1,一6），，三角板OE/繞。點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得。E〃。凡此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為目（1,0或者及（1,

一也）.

10.如圖，四邊形48co是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線8。（不含8點(diǎn)）上

仟意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM.CM.

⑴求證：2AMB必ENB：

⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CW的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+3M+CM的值最小，并說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)AM+BM+CM的最小值為6+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

【答案】解：⑴??.△ABE是等邊三角形,

:.BA=BE,ZABE=60°.

/M/?N=60。,

；?/MBN-4ABN=ZABE-/ABN.

又?：MB=NB,

:?△AMBgLENB(SAS)

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在8。的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小.

②如圖，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于8。與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AM+8M+CM的值最小.

理由如下：連接MN.由⑴知，△AMBqAENB,

:?AM=EN.

'：NMBN=60。,MB=NB,

是等邊三角形.

:.BM=MN.

；?4M+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，得EN+MN+CM=EC最短

，當(dāng)M點(diǎn)位于8。與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+8M+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).

⑶過(guò)E點(diǎn)作EFLBC交CB的延長(zhǎng)線于F,

：.ZE^F=90°-60o=30°.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為X,則8尸=理筋EF=-.

22

在RIAEFC中,

222

：EF+FC=ECf

??.(￡)2+(*x+x)2=/+1].

解得，(舍去負(fù)值).

???正方形的邊長(zhǎng)為V?.

11.如圖1,已知NABO90。，AABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線EC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)尸與點(diǎn)

8不重合)，連結(jié)4P,將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連結(jié)?！瓴⒀娱L(zhǎng)交射

線8c于點(diǎn)F.

(1)如圖2,當(dāng)時(shí)，ZEBF=。，猜想NQFC二°；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想NQFC的度數(shù)，并加以證明；

(3)已知線段AB=2百，設(shè)點(diǎn)。到射線BC的距離為)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

Q

【答案】

解:

(1)NEBF=30°ZQFC=60

不妨設(shè)3P如圖1所示

:ZBAP=ZBAE+ZEAP=60°+ZEAPZEAQ=ZQAP+ZEAP=60°+ZEAP

圖2

：.ZBAP=^EAQ

在aAB尸和△AE。中AB=AE,ZBAP=ZEAQfAP=AQ

：.AABP^△4EQ，ZAEQ=ZABP=90°

ZBEF=180°-ZAEQ-ZAEB=180°-90°-60°=30°

???NQFC=ZEBF+NBEF=300+30°=60°

（事實(shí)上當(dāng)BtGAB時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）

（3）在圖1中，過(guò)點(diǎn)尸作bG_L5E于點(diǎn)G

,??△ABE是等邊三角形:.BE=AB=2后,由（1）得NE8尸=30。

在RiABGF中,BG=—=y/3：.BF=-^-=2：.EF=2

2cos30°

YAAEQ：.QE=BP=x：.QF=QE+EF=x+2

過(guò)點(diǎn)。作Q"_L8C，垂足為〃

在冊(cè)△QH/7中，y=QH=sin60o.gF=（x+2）（x>0）

即y關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式是：y瀉x+6

12.我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將無(wú)軸所在的直線繞著原

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度角后的圖形.若它與反比