數(shù)學(xué)互動課堂互斥事件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1?；コ馐录绻录嗀和事件B不可能同時發(fā)生（即事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生，事件B發(fā)生,事件A不發(fā)生），那么稱事件A與B為互斥事件.互斥事件也叫做互不相容事件。例如，事件A：甲班明天第一節(jié)課是數(shù)學(xué)課；事件B:甲班明天第一節(jié)課是語文課.顯然這兩個事件是不可能同時發(fā)生的,故稱事件A與事件B彼此互斥.疑難疏引(1)兩個事件A與B互斥，是指由A、B所包含的結(jié)果所組成的集合的交集是空集。（2)若事件A與B是互斥事件,那么在事件討論的全過程中,A與B同時發(fā)生的機會一次都沒有.即A與B發(fā)生與否有三種可能：A發(fā)生,B不發(fā)生;A不發(fā)生，B發(fā)生；A、B都不發(fā)生。（3）互斥事件的概率加法公式設(shè)A、B為互斥事件，當(dāng)事件A、B有一個發(fā)生時,我們把這個事件記作A+B.事件A+B發(fā)生的概率等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P(B),此公式也稱概率和公式。一般地,如果事件A1，A2,…，An中的任何兩個都是互斥事件,就說事件A1，A2,…,An彼此互斥.從集合的角度看，幾個事件彼此互斥是指由各個事件所包含的結(jié)果組成的集合彼此沒有公共元素，即兩兩交集都是空集.一般地，如果事件A1,A2，…,An兩兩互斥,則P(A1+A2+…+An）=P（A1)+P(A2）+…+P（An）。疑難疏引①應(yīng)用加法公式P（A+B）=P(A）+P(B)的前提條件是：事件A與事件B互斥.如果沒有這一條件,加法公式將不能成立。例如：拋擲一顆骰子,觀察擲出的點數(shù),記事件A=“出現(xiàn)奇數(shù)"，事件B=“出現(xiàn)的數(shù)不超過3”,那么A與B就不互斥。因為如果出現(xiàn)1或3，都表示A與B同時發(fā)生了.現(xiàn)在再看A+B這一事件，這個事件包括4種結(jié)果,出現(xiàn)1,2,3和5，∴P（A+B)=，而P（A)=,P(B）=,顯然P（A+B）≠P(A）+P(B)②在求某些復(fù)雜的事件的概率時，利用公式P（A1+A2+…+An)=P(A1）+P(A2)+…+P（An），可將其分解成一些較易求的彼此互斥的事件,化整為零，化難為易。案例1向假設(shè)的三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0。025，炸中其余兩個軍火庫的概率各為0。1,只要炸中一個，另外兩個也要發(fā)生爆炸。求軍火庫發(fā)生爆炸的概率.【探究】設(shè)以A,B，C分別表示炸中第一，第二,第三個軍火庫這三個事件,于是P（A）=0.025,P（B）=P(C)=0。1，又設(shè)D表示軍火庫爆炸這個事件,則有D=A+B+C，其中A，B,C是彼此互斥事件（因為只投擲了一顆炸彈,不會同時炸中兩個以上軍火庫）.∴P（D)=P（A+B+C)=P（A）+P(B)+P(C）=0。025+0。1+0。1=0。225.規(guī)律總結(jié)投擲的一顆炸彈,只要炸中了其中的一個軍火庫，其余兩個也要發(fā)生爆炸，所以“軍火庫發(fā)生爆炸"這一事件,就是炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件之和，且它們彼此互斥，于是可依互斥事件的概率的有限可加性進(jìn)行求解。從本例可以看出，解答概率應(yīng)用題一般包括三個步驟：①用字母表示題中的事件；②依題設(shè)條件建立事件間的聯(lián)系；③利用概率的定義、性質(zhì)或有關(guān)公式進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)字計算.2。對立事件對立事件是概率中又一重要概念，要做到準(zhǔn)確理解.要清楚對立事件是對兩個事件而言的,這兩個事件中必須有一個發(fā)生。事件A的對立事件記作.對立事件的概率公式若事件A與事件是對立事件,則P(）=1—P(A)疑難疏引(1)兩個對立事件的關(guān)系，如右圖所示。關(guān)于“對立事件”，應(yīng)從以下三個方面加深對它的理解。①強調(diào)語句對立事件的定義強調(diào)了兩條:對立事件是以互斥事件為前提的；必有一個發(fā)生.②A與用表示A的對立事件.從集合的角度看，A和所含的結(jié)果組成的集合是全集中互為補集的兩個集合，這時A和的交是不可能事件，A和的并是必然事件。③互斥事件的發(fā)生情況a.設(shè)A和B是互斥事件,則A、，B,的發(fā)生有三種可能：A發(fā)生,發(fā)生;發(fā)生，B發(fā)生；,發(fā)生。b.設(shè)A和B是對立事件，則A、、B、的發(fā)生情況是：A發(fā)生，發(fā)生;發(fā)生,B發(fā)生.（2）互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系在一次實驗中，不可能同時發(fā)生的事件是互斥事件，兩個互斥事件，可能發(fā)生一個,也可能都不發(fā)生.而兩個對立事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生.所以兩個事件互斥,不一定對立,反之,兩個事件對立，它們一定互斥.(3)在求稍微復(fù)雜的概率時，通常有兩種方法:一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是直接求P（A)有困難時,轉(zhuǎn)化為求P(）.案例2在一只袋子中裝有4個紅玻璃球、3個綠玻璃球,從中無放回地任意抽取兩次,每次只取一個,試求：（1)取得兩個紅球的概率；（2）取得兩個綠球的概率;(3)取得兩個同顏色的球的概率；(4）至少取得一個紅球的概率?！咎骄俊渴紫戎栏魇录械幕臼录卸嗌伲俅_定事件之間是互斥事件,故可根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解.【解析】記四個紅玻璃球為a1、a2、a3、a4,三個綠玻璃球為b1、b2、b3，第一次抽取有7種結(jié)果,對第一次抽取時的每種結(jié)果，第二次抽取時又有6種結(jié)果,故共有7×6=42種結(jié)果.（1）記“取得兩個紅球"為事件A1,A1有(a1,a2），（a1，a3)，（a1，a4），（a2,a3），(a2,a4）,（a3,a4）,(a2,a1）,(a3,a1),（a4，a1）,（a3,a2),（a4，a2）,（a4,a3)12種結(jié)果.∴P（A1)==。（2）記“取得兩個綠球”為事件A2,A2有（b1,b2）,(b1，b3）,（b2,b3），（b2，b1），（b3,b1），（b3,b2）6種結(jié)果?！郟（A2)==。（3）記“取得兩個同顏色的球”為事件A.A=A1+A2,A1、A2互斥.由互斥事件的概率加法公式得P(A）=P（A1）+P(A2）=+=。(4）記“至少取得一個紅球”為事件B,顯然事件B是事件A2的對立事件?！郟（B）=1—P（A2）=1-=。規(guī)律總結(jié)袋中摸球問題是概率中的重要題型,課本中舉了一些例子，主要考查概念，作定性分析.本題把本節(jié)所學(xué)知識與前幾節(jié)知識結(jié)合起來就一些隨機事件作了定量分析,目的是加強知識的綜合應(yīng)用,通過枚舉法或畫樹形圖找出隨機事件的結(jié)果的個數(shù),利用等可能性事件求出概率，再通過互斥事件的概率公式，達(dá)到鞏固概念的目的。（2）當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時,可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率。案例3有3個1g砝碼,3個3g砝碼和2個5g砝碼,任意取出2個砝碼,請?zhí)骄咳缦碌膯栴}:（1）兩個砝碼重量相同的概率是多大?（2）兩個砝碼總重為6g的概率是多大？（3）兩個砝碼總重量不超過8g的概率是多大?【探究】（1）記“兩個砝碼重量相同”為事件A?！皟蓚€砝碼重量都是1g”為事件A1，“兩個砝碼重量都是3g”為事件A2，“兩個砝碼重量都是5g"為事件A3，A1、A2、A3是互斥的。顯然A=A1+A2+A3，由前面知識得P(A1）=,P(A2）=,P(A3）=。由互斥事件的加法公式,有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=。（2）記“兩個砝碼總重量為6g"為事件B.“兩個砝碼中一個砝碼為1g，另一個砝碼為5g”為事件B1，“兩個砝碼重量都為3g"為事件B2,B1、B2互斥。顯然B=B1+B2.P（B1）==,P（B2）=。∴P(B）=P（B1）+P（B2)=+=.(3）正面去求比較復(fù)雜,故可考慮其對立事件。記“兩個砝碼總重量不超過8g”為事件C,設(shè)其對立事件為D,則D表示“兩個砝碼總重量超過8g”，則只有兩個砝碼都取5g的,而由上可知“兩個砝碼重量都是5g”為事件A3，P（A3)=.所以,P（C）=1-=。規(guī)律總結(jié)(1）在用互斥事件的概率加法公式求概率時，一定要明確公式的前提是事件彼此互斥，否則就可能出錯.因此判斷事件是否互斥就顯得特別重要.(2）在利用P（)=1-P（A）求概率,一定要找準(zhǔn),否則易出錯.活學(xué)巧用1。判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明道理.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生;（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3)至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。解析:判斷兩個事物是否為互斥事件，就是考查它們能否同時發(fā)生，如果不能同時發(fā)生,則是互斥事件，不然就不是互斥事件。解：（1）是互斥事件道理是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它有“恰有2名男生",不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件.(2）不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生"兩種結(jié)果.“至少有1名女生"包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生"兩種結(jié)果,它們可同時發(fā)生。（3）不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生"和“2名都是男生",這與“全是男生”，可同時發(fā)生。（4）是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果,它和“全是女生"不可能同時發(fā)生.2.甲、乙兩射手同時射擊一目標(biāo),甲命中的概率是0.65，乙命中的概率為0.60，那么能否得出結(jié)論：目標(biāo)被命中的概率等于0.65+0。60=1。25，為什么？解析：不能.甲命中目標(biāo)的同時，乙也有可能命中目標(biāo)。兩個事件可以同時發(fā)生,故甲命中目標(biāo)與乙命中目標(biāo)兩事件不互斥。3。某戰(zhàn)士射擊一次,擊中環(huán)數(shù)大于7的概率為0。6，擊中環(huán)數(shù)是6或7或8的概率為0。3，則該戰(zhàn)士擊中環(huán)數(shù)大于5的概率為0。6+0。3=0.9對嗎？為什么?解析：不對.因該戰(zhàn)士擊中環(huán)數(shù)大于7與擊中環(huán)數(shù)為6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率公式計算。4。高二·十九班派兩名同學(xué)參加萬米賽跑,他們奪取冠軍的概率分別是和,則高二·十九班奪取該項冠軍的概率是多少？解析：兩人分別奪取冠軍是互斥事件,所以兩人至少一人奪冠，即該班取得該項冠軍的概率是。。5.盒子里裝有6只紅球，4只白球,從中任取三只球.設(shè)事件A表示“三只球中有1只紅球,2只白球”,B表示“三只球中有2只紅球，1只白球”.已知P（A)=，P（B)=,求這三只球中既有紅球又有白球的概率.分析：本題是求A+B的概率,而A與B是互斥事件,所以P(A+B）=P(A)+P（B）.解：P（A+B）=P(A）+P（B)==0.8.6.判斷下列給出的條件，是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明道理。從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1—10各10張）中,任取一張.（1)“抽出紅桃"與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌"與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9".解析:（1)是互斥事件，不是對立事件。道理是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃"是不可能同時發(fā)生的,所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生,這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花"，因此，兩者不是對立事件。（2)既是互斥事件,又是對立事件.道理是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌"與“抽出黑色牌”,兩個事件不可能同時發(fā)生,且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件,又是對立事件。(3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件。道理是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此,兩者不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對立事件.點評：判斷是否為互斥事件，主要是看兩事件是否同時發(fā)生;判斷是滯為對立事件,首先看是否為互斥事件,然后再看兩事件是否必有一個發(fā)生,若必有一個發(fā)生，則為對立事件;否則，不是對立事件.7。下列幾對事件中是對立事件的是（)A。a＞1或a≥1B.a＜1或a＞2C。0＜a＜1或0＜a＜3D。a＜1或a≥1(a∈R）解析：由對立事件的定義易知選D.答案：D8。拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地上向上的數(shù)是3的倍數(shù)"，事件D為“落地時向上的數(shù)是2或4",則下列每對事件是互斥事件但不是對立事件的是(）A.A與BB.B與CC。A與DD.C與D解析：由對立事件與互斥事件的定義知選C。答案：C9。一枚硬幣連擲3次,則出現(xiàn)正面的概率是多少？分析:此題若從正面分析則有以下三種情況：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面兩次反面.雖然它們是互斥事件，可以利用互斥事件有一個發(fā)生的概率公式來求解,但解題比較復(fù)雜。如果考慮其反面利用對立事件的概率來求解,則簡單得多.解：出現(xiàn)正面的對立事件是出現(xiàn)的三次都是反面,由于三次都是反面的概率為，則出現(xiàn)正面的概率為1—=。10.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)A={至少兩件次品},則A等于（）A。{至多兩件次品｝B。{至多兩件正品｝C.｛至少兩件正品｝D。｛至多一件次品｝答案：D11.戰(zhàn)士甲射擊一次，問：（1）若事件A（中靶）的概率為0.95,的概率為多少?（2）若事件B(中靶環(huán)數(shù)大于5）的概率為0。7,那么事件C（中靶環(huán)數(shù)小于6）的概率為多少？事件D（中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6）的概率是多少？解析：（1)A與互為對立事件.∵P（A）+P（)=1,∴P(）=1—P（）=1-0。95=0。05。（2)事件B與C也是對立事件,所以P（C）=1—P（B）=1—0.7=0。3。事件D的概率應(yīng)等于中靶環(huán)數(shù)小于6的概率減去未中靶的概率，即P（D）=P(C）-P（）=0.3—0.05=0.25.12?？诖鼉?nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和白球，從中摸出一個球，摸出紅球的概率是0。4,摸出黃球的概率是0。35,那么摸出白球的概率是______________________.解析：記“摸出白球"為事件A，則為“摸出紅球或黃球”,由于P()=0.4+0。35=0.75,所以P（A）=1—P（）=1—0.75=0.25.答案：0。2513.某人把外形相似的4把鑰匙串在一起，其中