第09講圓心角與圓周角（4種題型）（原卷版）

第09講圓心角與圓周角（4種題型）【知識梳理】一．圓心角、弧、弦的關系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分．二．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．三．圓內接四邊形的性質（1）圓內接四邊形的性質：①圓內接四邊形的對角互補．②圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）．（2）圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．【考點剖析】一．圓心角、弧、弦的關系（共9小題）1．（2023?杭州二模）如圖，A，B，C是⊙O上三個點，∠AOB＝2∠BOC，則下列說法中正確的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四邊形OABC內接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°2．（2022秋?鄞州區(qū)校級期末）如圖，AB，CD是⊙O的直徑，，若∠AOE＝32°，則∠COE的度數(shù)是．3．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，則⊙O的周長為（）A．4π B．6π C．8π D．9π4．（2023?越城區(qū)模擬）如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，連結OB，OC．若∠DOE＝140°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．（2023?路橋區(qū)校級二模）如圖，弧AB所對圓心角∠AOB＝90°，半徑為8，點C是OB中點，點D弧AB上一點，CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，則AE的最小值是．6．（2023?寧波模擬）傳統(tǒng)服飾日益受到關注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似地看作扇環(huán)，其中AD長度為米，BC長度為米，圓心角∠AOD＝60°，則裙長AB為．7．（2023?蕭山區(qū)校級模擬）如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于點E，已知∠COD＝135°．（1）求∠AEB的度數(shù)，（2）若CO＝1，求OE的長．8．（2023?玉環(huán)市二模）如圖，點A、B、C、D是⊙O上的點，AD為直徑，AB∥OC．（1）求證：點C平分弧BD．（2）利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出AB的中點P（保留作圖痕跡）．9．（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．二．圓周角定理（共11小題）10．（2023?鹿城區(qū)一模）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的兩點，連結AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°11．（2023?西湖區(qū)校級三模）如圖，點A、B、C在圓O上，若∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)為（）?A．40° B．45° C．50° D．55°12．（2023?寧波模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在圓上，連接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P為上一動點，在運動過程中，DP與AC相交于點M，當△CDM為等腰三角形時，∠PDC的度數(shù)為．13．（2023?西湖區(qū)校級模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，則∠ABC＝．14．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°15．（2023?余杭區(qū)模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點D是弧AC的中點，若∠DAC＝25°．則∠BAC等于（）A．40° B．42° C．44° D．46°16．（2023?杭州模擬）如圖是以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在⊙O上的點D處（不與點A重合），連接CB，CD，AD．設CD與直徑AB交于點E．若AD＝ED，則∠B＝度；的值等于．17．（2023?錢塘區(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OD⊥AB，點E在OB上，連接DE并延長交⊙O于點C，連接BC．?（1）求∠B﹣∠D的值．（2）當∠B＝75°時，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE與△CBE的面積分別記為S1，S2，求的值．18．（2023?衢州二模）如圖，在⊙O中，OA，OB是直徑，C是劣弧上的一點．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若AC＝BC．求證：四邊形ACBO是菱形．19．（2023?金東區(qū)二模）如圖，已知AB，CD是⊙O的直徑，點E是CA延長線的一點，射線ED交⊙O點于F，連結AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求證：AB∥FE．（2）求∠FCA的度數(shù)．（3）求CE的長．20．（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，，BF與CD交于點G．（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．（3）連結GO，OF，如圖2，求證：．三．圓內接四邊形的性質（共11小題）21．（2022秋?嘉興期末）已知，在圓內接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，則∠D的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．150°22．（2023?寧波模擬）圓內接四邊形ABCD，兩組對邊的延長線分別相交于點E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．23．（2023?龍港市一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BE是⊙O的直徑，連結CE，若∠BAD＝110°，則∠DCE＝度．24．（2022秋?仙居縣期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點C是弧BD的中點，連接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度數(shù)．25．（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是．26．（2023?蕭山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點C是弧BD的中點，延長AB到點E，使得BE＝AD，連結AC，CE．（1）求證：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的長．27．（2023?金華三模）在⊙O中，點A，B，C，D都在圓周上，OB∥DC，OD∥BC，則∠A的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°28．（2023?蕭山區(qū)校級模擬）如圖，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，則α，β滿足關系為（）A．2α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．2β+α＝180° D．α+9β＝540°29．（2022秋?上城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是半圓O的內接四邊形，AB是直徑，CD＝BC．若∠DCB＝100°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°30．（2022秋?嵊州市期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，分別延長BC，AD，使它們相交于點E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，點C為BE的中點，求⊙O的半徑．31．（2023?杭州二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，點F是CD延長線上的一點，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點E．（1）求證：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的長．四．相交弦定理（共4小題）32．（2021秋?東陽市月考）已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．1633．（2021秋?余姚市期中）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，則CD長為（）A．16 B．24 C．12 D．不能確定34．（2022秋?溫州期末）已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE的值為（）A．6 B．7 C．12 D．16．35．（2022秋?嵊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，則O到CD的距離為．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，則（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，B，C，D在上，則圖中一定與相等的角是（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形內接于⊙O，為直徑，，連接．若，則的度數(shù)為（

）

A．70° B．60° C．50° D．40°4．（2023·浙江·模擬預測）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或5．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點，連接，，，，則下列結論不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑重合，點D對應的刻度值為，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在中，滿足，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．無法確定8．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）如圖，點A，B，C，D均在以點O為圓心的圓O上，連接，及順次連接O，B，C，D得到四邊形，若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在的內接四邊形中，，，，則的直徑為（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是半圓O的直徑，以弦為痕折疊后，恰好過點O則等于（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，、、是上的三個點，，則的度數(shù)是___________．

12．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內接于，是的直徑，點是上一點，，則________．

13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，，，是上三點，，則的度數(shù)是______°．

14．（2022秋·浙江·九年級期末）如圖，點A在半圓O上，是直徑，．若，則的長為__．15．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正內接于，的半徑為10，則的弧長為_____________．16．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，的半徑為，是的內接三角形，半徑于，當時，的長是________．17．（2023春·九年級?？茧A段練習）如圖，已知是的直徑，弦與交于點E，若，，則___________．

18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖所示，A、B是半徑為2的上的兩點，若，點C是弧的中點，則四邊形的周長為_______．三、解答題19．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于，交于，連接．試判斷，，之間的大小關系，并說明理由．20．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，A是上一點，是直徑，點D在上且平分．

(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長．21．（2023·浙江溫州·校考二模）如圖，在上依次取點B，A，C使，連接，取的中點D，連接，在弦右側取點E，使，且，連接．

(1)求證：