專題16銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點）（原卷版）

第四部分三角形專題16銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（5大考點）核心考點核心考點一特殊角的三角函數(shù)值及其計算核心考點二由三角函數(shù)值求銳角核心考點三銳角三角函數(shù)的增減性核心考點四解直角三角形及其應(yīng)用核心考點五三角函數(shù)的綜合新題速遞核心考點一特殊角的三角函數(shù)值及其運算例1（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點的位置，連接B，過點D作DE⊥，交的延長線于點E，則的長為（

）A． B． C． D．例2．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為_______．例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：解：小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號：①；②；③；____________________________________________________________________________．請寫出正確的計算過程．（2）先化簡，再求值：，其中x是方程的根．知識點：特殊角的三角函數(shù)值圖表記憶三角函數(shù)圖形記憶30°45°60°1規(guī)律記憶30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，，；30°，45°，60°角的余弦值分別是60°，45°，30°角的正弦值。【變式1】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以點A為圓心、AB長為半徑的弧BE與DC相交于點E，點E為DC的中點，則由BC、CE和弧BE圍成的陰影部分圖形的面積是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，點D是邊上的中點，點P從的頂點A出發(fā)，沿的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D．線段的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點N是曲線部分的最低點，則的面積為（

）A．4 B． C．8 D．【變式3】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰谥?，若，，都是銳角，則是______三角形．【變式4】（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0，0)，點B(，2)．D是邊BC上一點(不與點B重合)，過點D作DE∥OB交OC于點E．將該紙片沿DE折疊，得點C的對應(yīng)點C′．當(dāng)點C′落在OB上時，點C′的坐標(biāo)為________．【變式5】．（2021·新疆烏魯木齊·?？既＃┯嬎悖汉诵目键c二由三角函數(shù)值求銳角例1（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊相切于點D，與，分別交于點E和點G，點F是優(yōu)弧上一點，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．48° C．45° D．36°例2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果保留）例3（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）在矩形中，，點，分別是邊、上的動點，且，連接，將矩形沿折疊，點落在點處，點落在點處．（1）如圖1，當(dāng)與線段交于點時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，交于點，求證：點在線段的垂直平分線上；（3）當(dāng)時，在點由點移動到中點的過程中，計算出點運動的路線長．【變式1】（2022·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，sinD=,則BC的長為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·山東·統(tǒng)考二模）如圖，已知在矩形中，，點是邊上的一個動點，連結(jié)，點關(guān)于直線的對稱點為，當(dāng)點運動時，點也隨之運動．若點從點運動到點，則線段掃過的區(qū)域的面積是（

）A． B． C． D．【變式3】（2021·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在綜合實踐課上，某學(xué)習(xí)小組要測量塔的高度，在測量過程中，結(jié)合圖形進(jìn)行了操作（如圖所示）．在塔AB前的平地上選擇一點C，測出塔頂?shù)难鼋菫?0°，從C點向塔底B走80m到達(dá)D點，測出塔頂?shù)难鼋菫?5°，那么塔AB的高為____________m（計算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，）．【變式4】．（2022·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在第一象限，連結(jié)，過點作軸于點，，，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，則點的坐標(biāo)為______．【變式5】（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，一艘漁船位于小島的北偏東方向，距離小島千米的點處，它沿著點的南偏東的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島最近（結(jié)果保留根號）？(2)漁船到達(dá)距離小島最近點后，按原航向繼續(xù)航行千米到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島上的救援隊求救，問救援隊從處出發(fā)沿著哪個方向航行到達(dá)事故地點航程最短，最短航程是多少．（結(jié)果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)）核心考點三銳角三角函數(shù)的增減性例1（2020·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂，阻力臂，如果動力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（

）A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定例2（2022·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為__________．例3（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點B與梯架之間的距離．（1）現(xiàn)在某一時刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，求滑梯的高；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（）不超過30°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？1.三角函數(shù)值的變化規(guī)律①當(dāng)角度A在0°—90°間變化時，正弦值和正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。诋?dāng)角度A在0°—90°間變化時，余弦值和余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅??！咀兪?】（2020·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則下列說法不正確的是（

）A．隨的增大而增大 B．cos隨的減小而減小 C．tan隨的增大而增大 D．0<sin<1【變式2】．（2022·上?！ば？寄M預(yù)測）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為_____，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系__________．【變式4】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點平分，，點、分別在、上運動，且，連接、交于點，點，連接，則度數(shù)的最大值為__________．【變式5】（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知和射線上一點（點與點不重合），且點到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大??；(2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．核心考點四解直角三角形及其應(yīng)用例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長，則．再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為（

）A． B． C． D．例2（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展無人機(jī)測旗桿的活動：已知無人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無人機(jī)飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為________m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）例3（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長，斜坡的傾斜角為，．小文在點處測得樓頂端的仰角為，在點處測得樓頂端的仰角為（點，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。1.靈活運用邊角關(guān)系求邊與角;2.若所求解的直角三角形“不可直接解”,應(yīng)注意設(shè)元,借助方程來解決;3.如果圖形中沒有直角時,要添加垂線將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.【變式1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一把梯子斜靠在墻上，端點A離地面的高度長為時，．當(dāng)梯子底端點B沿水平方向向左移動到點，端點A沿墻豎直向上移動到點，設(shè)，則的長可以表示為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·河北唐山·統(tǒng)考三模）如圖，點O為的內(nèi)心，，，點M，N分別為，上的點，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形的面積為定值；丙：當(dāng)時，的周長有最小值．則下列說法正確的是（）A．只有甲正確 B．只有乙錯誤C．乙、丙都正確 D．只有丙錯誤【變式3】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙兩幢完全一樣的房子如圖1，小聰與弟弟住在甲幢，為測量對面的乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離，制定如下方案：兩幢房子截面圖如圖2，，小聰在離屋檐A處3m的點G處水平放置平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），弟弟在離點G水平距離3m的點H處恰好在鏡子中看到乙幢屋頂N，此時測得弟弟眼睛與鏡面的豎直距離．下樓后，弟弟直立站在處，測得地面點F與E，M，N在一條直線上，，，，則甲、乙兩幢間距_________m，乙幢屋頂斜坡M，N之間的距離為_____________m．【變式4】（2023·浙江金華·校考一模）金華新金婺大橋是華東第一的獨塔斜拉橋，如圖1是新金婺大橋的效果圖．2022年4月13日開始主塔吊裝作業(yè)．如圖2，我們把吊裝過程抽象成如下數(shù)學(xué)問題：線段為主塔，在離塔頂10米處有一個固定點米．在東西各拉一根鋼索和，已知等于214米．吊裝時，通過鋼索牽拉，主塔由平躺橋面的位置，繞點O旋轉(zhuǎn)到與橋面垂直的位置．中午休息時，此時一名工作人員在離M米的B處，在位于B點正上方的鋼索上A點處掛彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度為_____米，（精確到整數(shù)米）（2）吊裝過程中，鋼索也始終處于拉直狀態(tài)，因受場地限制和安全需要，與水平橋面的最大張角在到之間即，的取值范圍是_____．（注：，）．【變式5】（2023·廣西河池·校考一模）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東方向，距離小島40nmile的點A處，它沿著點A的南偏東的方向航行．(1)漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號）？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點后，按原航向繼續(xù)航行nmile到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問救援隊從B處出發(fā)到達(dá)事故地點的最短航程是多少nmile（結(jié)果保留根號）？核心考點五三角函數(shù)的綜合例1（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對角線與相交于點，點在的延長線上，連接，點是的中點，連接交于點，連接，若，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點D到CF的距離為．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤例2．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．例3（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）知識再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄浚?，之間的關(guān)系，并寫出探究過程．(2)解決問題：如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點B的距離．【變式1】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，若，，則折痕（）A． B． C．8 D．10【變式2】（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，射線互相垂直，，點B位于射線的上方，且在線段的垂直平分線l上，連接，．將線段繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段，若點恰好落在射線上，則點到射線的距離是（

）A． B． C．4 D．【變式3】（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，．矩形DEFG的頂點D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若，則矩形EDFG面積的最大值=______．【變式4】（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準(zhǔn)直角三角形”，求的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準(zhǔn)直角三角形”，求的面積．【新題速遞】1．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）已知為銳角，則的值（

）A．? B．? C．? D．?3．（2023春·九年級課時練習(xí)）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長為（

）A．12 B． C． D．4．（2023秋·河北邯鄲·九年級校考期末）興義市進(jìn)行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓的高度，工程師在D得用高的測角儀，測得樓頂端A的仰角為，然后向樓前進(jìn)到達(dá)E，又測得樓頂端A的仰角為，樓的高為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，都在格點上，以為直徑的圓經(jīng)過點，，則的值為(

)A． B． C． D．6．（2023秋·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的角平分線，如果，那么的值是（

）A． B． C． D．27．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，，垂足為，以，為鄰邊作矩形，連接交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）正三角形的邊長為，是邊上一動點，兩點關(guān)于直線對稱，連接并延長交直線于，連接，在點運動過程中，的最大值是（）A． B． C． D．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，直線與相切于點，且，則________．10．（2023秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為__________．11．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點為的中點，連接，的值為______．12．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，若，，則折痕______．13．（2023秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，某施工方計劃把一座山的，兩點用隧道打通，并利用北斗衛(wèi)星定位技術(shù)確定，，三點在東西方向的同一條直線上．在隧道沒有打通之前，技術(shù)監(jiān)督員李工每天需要駕車先從隧道口點向正西行駛到達(dá)點，然后再沿南偏東方向行駛到達(dá)點，接著再沿北偏東方向行駛一段路程才能到達(dá)隧道口，則隧道的長度為______．14．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點E為邊的中點，點F為邊上一動點，連接，把沿所在直線折疊，得到，連接，，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為______．15．（2023春·湖北省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）計算：．16．（2023春·河南鄭州·九年級河南省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校安裝了紅外線體溫檢測儀（如圖1），該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，其紅外線探測點O可以在垂直于地面的支桿上下調(diào)節(jié)（如圖2），探測最大角（）為，探測最小角（）為，已知該設(shè)備在支桿上下調(diào)節(jié)時，探測最大角及最小角始終保持不變．若要求測溫區(qū)域的寬度為2.53米，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度．（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）17．（2023秋·湖北隨州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于⊙，是⊙的直徑，切⊙于點B，E為上一點，且，延長交于點D．(1)求證：；(2)若⊙的半徑為5，，求的長．18．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形是某水壩的橫截面示意圖，其中，壩頂，壩高，迎水坡的坡度為．(1)求壩底的長；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬，背水坡坡角改為．求加固總長