專題04含半角模型(原卷版+解析)

專題04含半角模型基本模型：例題精講例1．問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法．如圖①，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至的位置，使得AB與AD重合，然后證明，從而得出結(jié)論：____________；(2)拓展延伸：如圖②，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且，連接EF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，求正方形ABCD的邊長．例2.在圖1、圖2，圖3中．點(diǎn)E、F分別是四邊形邊上的點(diǎn)；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實(shí)際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點(diǎn)，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．例3．已知如圖1，四邊形是正方形，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖l中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．課后訓(xùn)練1.(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．2．如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．拓展（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．請證明你的結(jié)論．實(shí)際應(yīng)用（3）如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．3．問題背景：“半角問題”：（1）如圖：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此“半角問題”的方法是：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：當(dāng)聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？（2）若將（1）中“∠BAD=120°，∠EAF=60°”換為∠EAF=∠BAD．其它條件不變．如圖1，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，請直接寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）（4）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．4.（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點(diǎn)，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．專題04含半角模型基本模型：例題精講例1．問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法．如圖①，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且，連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至的位置，使得AB與AD重合，然后證明，從而得出結(jié)論：____________；(2)拓展延伸：如圖②，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且，連接EF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，求正方形ABCD的邊長．【答案】(1)EF=BE+DF；(2)成立，證明過程見解析；(3)6【解析】(1)解：∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至的位置，使得AB與AD重合，∴∠EAG=∠BAD=120°，∵∠BAE=∠BAD-∠EAD=120°-∠EAD，∠DAG=∠EAG-∠EAD=120°-∠EAD，∴∠BAE=∠DAG，且AE=AG，∴△BAE≌△DAG(AAS)，∴∠EBA=∠GDA=90°，GD=BE，∴∠GDA+∠ADF=90°+90°=180°，∴G、D、F三點(diǎn)共線，又由已知：∠EAF=60°，∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=120°-60°=60°，在和中：，∴，∴．(2)解：(1)中的結(jié)論依然成立，即：，理由如下：將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，D點(diǎn)落在B點(diǎn)處，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，連接GB，如上圖，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∵旋轉(zhuǎn)90°，即∠FAG=90°，∴∠BAG+∠BAE=90°-∠DAF=90°-45°=45°，∴∠DAF=∠BAG,在△GAB和△FAD中：，∴△GAB≌△FAD(SAS)，∴∠ABG=∠ADF=90°，BG=DF，∴∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°，∴G、B、E三點(diǎn)共線，又已知∠EAF=45°，∴∠GAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠GAE=∠EAF，在△GAE和△FAE中：，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴EF=GE=GB+BE=DF+BE．(3)解：設(shè)正方形邊長為x，則EC=BC-BE=x-3，F(xiàn)C=CD-DF=x-2，由(2)中結(jié)論可知：EF=BE+DF=3+2=5，在Rt△EFC中，由勾股定理有：EC2+CF2=EF2，代入數(shù)據(jù)：∴(x-3)2+(x-2)2=25，解出：x1=6，x2=-1(負(fù)值舍去)，∴正方形的邊長為6．例2.在圖1、圖2，圖3中．點(diǎn)E、F分別是四邊形邊上的點(diǎn)；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實(shí)際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點(diǎn)，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當(dāng)兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．【答案】（1）5，2.5；（2）EF=BE+FD；（3）1650m．【分析】（1）先證明出△ABE△ADG，再根據(jù)∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出結(jié)果；延長CD到G，使BE=DG，連接AG，同理證明即可；（2）延長FD到G，使BE=DG，利用條件證明△ABE△ADG，再根據(jù)∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG，利用△AEF△AGF即可得出結(jié)論；（3）依照結(jié)論（2），延長DB到E，使BE=AC，連接OE，通過求證△OAC△OBE和△OCD△OED得出CD=DE=BD+BE=BD+AC，代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】（1）∵BE=DG=2，∠B=∠ADG=90°，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=3+2=5；延長CD到G，使BE=DG，連接AG，同理可證：△ABE△ADG，△AEF△AGF，∴EF=GD+DF=2.5；（2）延長FD到G，使BE=DG，∵BE=DG，∠B=∠ADG，AB=AD；∴△ABE△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，又∵∠DAF+∠BAE=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG，∴△AEF△AGF（SAS），∴EF=GD+DF=DF+BE；（3）分析可得（2）中結(jié)論仍然成立，延長DB到E，使BE=AC，連接OE，∵∠OAC=90°+20°=110°，∠DBE=180°-70°=110°，OA=OB,∴△OAC△OBE，∴OE=OC，即可證明△OCD△OED，∴CD=DE=BD+BE=BD+AC=（150+180）5=1650m．例3．已知如圖1，四邊形是正方形，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖l中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）的長為5．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE=∠EAF，∴在△GAE和△FAE中，∴，∴，∴，∴；（2）解：在上取一點(diǎn)，使，，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°，又∵DG=BE，∴，∴，，∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，∴∠GAD+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，∴，∴，；（3）解：在上取一點(diǎn)，使，∵，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABE+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABE，又∵AB=AD，DG=BE，∴，∴，，∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，∴∠GAD+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，∴，∴EF=FG設(shè)∴，∴在中，∴，解得：，答：的長為5．課后訓(xùn)練1.(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析【詳解】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；2．如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．拓展（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．請證明你的結(jié)論．實(shí)際應(yīng)用（3）如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）EF＝BE+FD，證明見解析；（3）168海里【詳解】解：如圖1，EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為EF＝BE+DF；如圖2，EF＝BE+DF，理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）．故答案為：168．3．問題背景：“半角問題”：（1）如圖：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此“半角問題”的方法是：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：當(dāng)聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？（2）若將（1）中“∠BAD=120°，∠EAF=60°”換為∠EAF=∠BAD．其它條件不變．如圖1，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，請直接寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）（4）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【解析】（1）EF=BE+FD．（2）如圖所示：延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵在△ABG與△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD，∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，易證△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（3）EF=BE+FD；（